第二十五章 投影与视图
25.1正投影
教学目标
1. 了解正投影的含义，理解正投影是平行投影的特例;
2. 掌握线段、平面图形、几何体的正投影规律;
3. 通过对实例的观察比较，引入基本概念，归纳基本规律．理论联系实际，
增强学生对数学学习的兴趣;
4. 通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应
用价值，培养积极思维的学习习惯.
教学重难点
重点：了解正投影的含义，理解正投影是平行投影的特例
难点：掌握线段、平面图形、几何体的正投影规律
三、教学用具
教学课件.
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 上节课，我们学行投影和中心投影，以及相关概念，如下图的投影分别是地上房子的影子和墙上的“影子”. 如何判定是平行投影，还是中心投影呢？你又什么好方法吗？ 特点： 1.中心投影中，对应点的连线互相平行 2.中心投影中，对应点的连线相交于一点 【教学建议】通过复习旧知，巩固基础，同时为后面的学习铺垫． 思考并积极回答问题. 通过复习回顾，为讲解新知做铺垫. 便于学生建立起新旧知识之间的联系.
环节二探究新知 【合作探究】 在平行投影中，投影面与投射线有时是垂直的，有时是相交的，如下图 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，这样的投影称为正投影 【教学建议】根据图形，总结特点，引出定义， 如图，把一根铅笔(记为线段AB)放在三个不同的位置. 铅笔平行于投影面时，正投影是什么形状？ 结论： 当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，它们的大小关系为AB=A1B1. 如图，把一根铅笔(记为线段AB)放在三个不同的位置. 铅笔倾斜于投影面时，正投影是什么形状？ 当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，它们的大小关系为AB>A2B2. 如图，把一根铅笔(记为线段AB)放在三个不同的位置. 铅笔垂直于投影面时，正投影是什么形状？ 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3. 【总结】 总结： 如图，线段AB的正投影用线段表示. 当线段AB平行于投影面时，=AB 当线段AB倾斜于投影面时，＜AB 当线段AB垂直于投影面时， =0，此时线段的正投影是一个点. 线段正投影的规律: (1)平行长不变 (2)倾斜长缩短 (3)垂直成一点 【教学建议】探究出线段的正投影，共分三种情况，培养学生的观察能力。 【探究】 如图，把一块矩形硬纸板P(记为ABCD)放在三个不同的位置. 当纸板平行于投影面时，正投影是什么形状？ 结论：当纸板P平行于投影面时， P的正投影与P的形状、大小均一样. 当纸板倾斜于投影面时，正投影是什么形状？ 结论：当纸板P倾斜于投影面时， P的正投影与P的形状、大小均不一样. 当纸板垂直于投影面时，正投影是什么形状？ 当纸板P垂直于投影面时， P的正投影成为一条线段. 【总结】 如图，矩形ABCD在投影面H上的正投影是四边形 (1)当矩形ABCD平行于投影面H时， ABCD (2)当矩形ABCD倾斜于投影面H时，四边形 的大小与形状均改变 (3)当矩形ABCD倾斜于投影面H时，四边形 变为线段 平面图形正投影的规律： (1)平行形不变 (2)倾斜形改变 (3)垂直成线段 【教学建议】探究出面的正投影，共分三种情况，培养学生的观察能力。 【合作探究】 观察下面几何体在投影面上的正投影，你有什么发现？ 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 思考：我们来观察长方体在水平面上的正投影是怎样的？ 如图，长方体的两个底面都平行于投影面H， 因此，两个底面在投影面上的正投影是矩形，并且与底面全等 四个侧面都与投影面垂直，所以正投影分别是线段，，，， 因此，这个长方体在H上的正投影是矩形， 【结论】 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 小结：几何体的正投影转化为面的正投影来思考 【教学建议】通过实际例子的解释，加深学生对物体投影的画法，验证并在此理解投影的画法。 小组交流合作，思考并积极回答问题. 经历知识的探究过程，使学生通过全程参与思考过程，学会并掌握知识，提高分析问题，解决问题的能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行，那么它们的正投影分别是什么图形？球的正投影呢？ 解：如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行， 圆柱的正投影是与底面全等的圆形 圆锥的正投影是与底面全等的圆形，并且圆心处有一点. 球的正投影是圆形 例2.画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影． 正方体的一个面ABCD平行于投影面； 解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A'B'C'D' ，它与正方体的面是全等关系． 【教学建议】教师适当引导，学生自主完成. 思考并积极回答. 运用所学知识解决问题，巩固学生对实数的认识与理解.
环节四 巩固新知 【巩固练习】 1. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( D ) 2.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影： 答案： 【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并给与指导，根据学生完成情况适当分析讲解. 自主完成练习. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 【课堂小结】 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 【教学建议】教师可以提问学生总结所学内容，提高学生的总结能力和表达能力. 回顾本节课所讲的内容. 通过小结，让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识，帮助学生把握知识要点，理清知识脉络.
环节六 布置作业 【课后作业】 教科书习题 课后完成练习. 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
25.1 正投影
学习目标
1.了解正投影的含义，理解正投影是平行投影的特例．
2. 掌握线段、平面图形、几何体的正投影规律
3.通过对实例的观察比较，引入基本概念，归纳基本规律．理论联系实际，
增强学生对数学学习的兴趣.
4.通过丰富的数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应
用价值，培养积极思维的学习习惯.
投
影
重点
难点
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
复习回顾
由平行的光线所形成
上节课，我们学行投影和中心投影，以及相关概念，如下图的投影分别是地上房子的影子和墙上的“影子”.
平行投影
中心投影
投射线
投射线
投影面
投影面
由一点发出的光线所形成
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
复习回顾
下图是平行投影，还是中心投影呢？你是如何判断的？
(1)
(2)
(3)
平行投影
中心投影
中心投影
特点：
1.平行投影中，对应点的连线互相平行
2.中心投影中，对应点的连线相交于一点
点光源
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
在平行投影中，投影面与投射线有时是垂直的，有时是相交的，如下图
(1)
(2)
投射线与投影面相交
投射线与投影面垂直
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，这样的投影称为正投影
正投影
投影线垂直投影面
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
如图，一根铅笔(记为线段AB)放在三个不同的位置，与投影面的位置关系各不相同时，投影是怎样的？
A
B
A
B
A
B
A1
B1
铅笔平行于投影面时，正投影是什么形状？
当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，它们的大小关系为AB=A1B1.
合作探究
H
平行
倾斜
垂直
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
A
B
A
B
A
B
A1
B1
铅笔倾斜于投影面时，正投影是什么形状？
当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，它们的大小关系为AB>A2B2.
A2
B2
合作探究
平行
倾斜
垂直
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
A
B
A
B
A
B
A1
B1
铅笔垂直于投影面时，正投影是什么形状？
当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3.
A2
B2
A3(B3)
合作探究
平行
倾斜
垂直
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
总结：
如图，线段AB的正投影用线段 表示.
(1)当线段AB平行于投影面时， =AB
(2)当线段AB倾斜于投影面时， ＜AB
(3)当线段AB垂直于投影面时， =0，此时线段的正投影是一个点
线段正投影的规律：
(1)平行长不变
(2)倾斜长缩短
(3)垂直成一点
归纳
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
如图，把一块矩形硬纸板P(记为ABCD)放在三个不同的位置.
当纸板P平行于投影面时， P的正投影与P的形状、大小均一样.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A
B
C
D
合作探究
平行
(1)当纸板平行于投影面时，正投影是什么形状？
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
如图，把一块矩形硬纸板P(记为ABCD)放在三个不同的位置.
当纸板P倾斜于投影面时， P的正投影与P的形状、大小均不一样.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
合作探究
(2)当纸板倾斜于投影面时，正投影是什么形状？
倾斜
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
如图，把一块矩形硬纸板P(记为ABCD)放在三个不同的位置.
当纸板P垂直于投影面时， P的正投影成为一条线段.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A'(C')
B'(D')
合作探究
垂直
(3)当纸板垂直于投影面时，正投影是什么形状？
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
归纳
平面图形正投影的规律：
(1)平行形不变
(2)倾斜形改变
(3)垂直成线段
总结：
如图，矩形ABCD在投影面H上的正投影是四边形
(1)当矩形ABCD平行于投影面H时， ABCD
(2)当矩形ABCD倾斜于投影面H时，四边形 的大小与形状均改变
(3)当矩形ABCD垂直于投影面H时，四边形 变为线段
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形
观察下面几何体在投影面上的正投影，你有什么发现？
我们来观察长方体在水平面上的正投影是怎样的？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
合作探究
观察下面的长方体在投影面上的正投影，你有什么发现？
分析：如图，长方体的两个底面都平行于投影面H，
因此，两个底面在投影面上的正投影是矩形 ，并且与底面全等
四个侧面都与投影面垂直，所以正投影分别是线段
因此，这个长方体在H上的正投影是矩形 并且与底面全等
几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图
小结：几何体的正投影转化为面的正投影来思考
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
巩固新知
应用新知
例1.如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行，那么它们的正投影分别是什么图形？球的正投影呢？
典型例题
解：如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行，
圆柱的正投影是与底面全等的圆形
圆锥的正投影是与底面全等的圆形，并且圆心处有一点.
球的正投影是圆形
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
巩固新知
应用新知
例2.画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
正方体的一个面ABCD平行于投影面；
典型例题
A
B
C
A′
B′
C′
D′
P
D
(1)如图，正方体的正投影为正方形A'B'C'D' ，它与正方体的面是全等关系．
解：
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
随堂练习
1. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的
正投影图是( )
D
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
随堂练习
2.投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影：
(1)
(2)
布置作业
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
性质：
定义：
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
正
投影
线段正投影的规律：
(1)平行长不变(2)倾斜长缩短(3)垂直成一点
平面图形正投影的规律：
(1)平行形不变(2)倾斜形改变(3)垂直成线段
创设情境
探究新知
探究新知
应用新知
巩固新知
布置作业
课堂小结
教科书习题
再见
