第二十六章 概率初步
26.3 用频率估计概率
一、教学目标
1.通过实验与操作，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性，理解重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系；
2.了解频率和概率的区别与联系，能从频率值角度估计随机事件发生的概率；
3.经历抛掷硬币试验和投图钉试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念；
4.逐步学会设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流.
二、教学重难点
重点：通过实验体会用频率估计概率的合理性．
难点：通过实验体会用频率估计概率的合理性．
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【问题引入】 问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币， (1)硬币落地后，观察向上一面，会出现哪些可能的结果？ (2)“正面向上”和“反面向上”的概率分别是多少？ 预设答案：(1)正面向上，反面向上；(2) P(正面向上)P(反面向上). 教师活动：提出问题引导学生思考并用列举法求出概率，再通过追问引出本节课要学习的内容. 追问：抛掷一枚硬币50次，一定会有25次出现正面和25次出现反面吗？ 在教师的引导下认真思考. 通过熟悉的抛硬币试验提出问题，激起学生思考，激发学生探求新知的渴望.
环节二 探究新知 【合作探究】 请同学们分组进行抛掷硬币试验，每组抛掷一枚硬币50次，统计“正面向上”出现的频数，计算频率(结果保留小数点后两位)，并完成下面的表格. 教师活动：先给出探究问题，学生小组合作，分组探究，并展示实验数据和过程，最后用课件展示参考过程. 根据表中的数据，在下图中标注出对应的点. 【思考】 问题2 过纵轴上刻度为0.5的水平直线的含义是什么？ 预设答案：“出现正面”的概率为0.5. 问题3 频率和概率有什么不同？ 预设答案：概率是确定的常数，频率是不确定的、随机的. 追问1：由图你还能发现什么？ 预设答案：大部分组的频率离0.5不远. 教师活动：在上面的问题的基础上，引导学生分析出每次随机试验的频率具有不确定性，但随机事件发生的频率也具有规律性，我们可以增加试验次数进一步探究，由于试验条件基本相同，可以逐步累加各组数据. 追问2：如果增加试验次数，频率会如何变化？ 一位同学在做“抛硬币”的试验中，将获得的数据绘制成下表及折线统计图： 【观察】 问题4 当抛掷次数很多以后，出现正面的频率有什么规律？ 预设答案：出现正面的频率在0.5左右摆动，随着抛掷次数的增加，在0.5左右摆动的幅度越来越小，呈现出一定的稳定性. 事实上，对于上面这样的抛硬币试验，历史上许多数学家都曾做过，结果如下表： 由表观察出现正面的频率的变化趋势是什么？ 随着抛掷次数的增加，出现正面的频率逐渐稳定到常数0.5. 我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数来刻画它发生可能性的大小，0.5就作为多次抛掷硬币后出现正面(或反面)这个随机事件发生的概率. 问题5 某农科所通过抽样试验来估计一大批种子(总体)的发芽率，为此，从中抽取10批，分别做发芽试验，记录下每批发芽粒数，并算出发芽的频率(发芽粒数与每批试验粒数之比)，结果如下表： 从上表中你能发现什么？ 预设答案：由上面试验所得数据可以看出：当发芽试验样本容量增大时，发芽的频率逐渐稳定到常数0.9. 问题6 某乒兵球生产厂，从最近生产的一大批乒兵球中，抽取6批进行质量检测，结果如下表： 从上表中你能发现什么？ 预设答案：由上面检测所得数据可以看出：当质量检测样本容量增大时，优等品的频率逐渐稳定到常数0.95. 教师活动：教师展示表格数据，引导学生观察并归纳出规律. 【归纳】 一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率 (这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率，即：P(A)p. 因此，我们可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率. 【想一想】 判断正误： (1)连续掷一枚质地均匀硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1. (2)小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近. (3)某彩票的中奖率是，那么买1000张彩票就一定能中奖. 答案：(1)×；(2)√；(3)×. 教师活动：先学生思考30秒，再抢答，最后给出答案. 【归纳】 频率与概率的区别与联系 小组合作：1.三人一组抛掷硬币； 2.第1名同学负责抛掷硬币，报告试验结果，第2名同学记录试验结果，第3名同学监督. 认真思考 认真观察、分析 认真观察并思考 明确利用频率估计概率的方法 思考并抢答. 熟悉频率与概率的区别与联系. 通过分组探究的形式让学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，发展学生的数据分析观念，同时提高学生的合作交流意识. 通过思考让学生初步感知频率与概率之间的关系. 让学生感受随着试验次数的增多，随机试验中的频数和频率的随机性以及一定的规律性，让学生从频率角度进一步认识概率的意义. 通过历史数据进一步验证实验次数增加时，频率的变化趋势. 通过归纳总结强调利用频率估计概率的方法. 通过抢答进一步熟悉频率和概率的关系，并为后面总结频率与概率的区别和联系作铺垫. 通过归纳总结培养学生的归纳概括能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表： (1)计算表中“击中靶心的频率”； (2)这个射手射击1次，击中靶心的概率约是多少？ 解：(1)如下表； (2)从上表数据可以看出，随着射击次数的增多，击中靶心的频率稳定在常数0.9附近，故这个射手射击1次，击中靶心的概率约是0.9. 学生思考、计算并回答. 让学生在探究过程中进一步加深对利用频率估计概率的方法的认识和理解，培养学生的应用意识，并发展利用频率的集中趋势估计概率的能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)在n次随机试验中，事件A出现m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率； (2)设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中随机抽取1000只灯泡，一定有10只次品. 答：(1)错，当n足够大时，才可以用频率作为概率的估计值. (2)错，概率被用来表示一个事件发生的可能性的大小但在不同的试验中或是次数不够大的试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等. 2.多次投掷一枚均匀的骰子，出现向上一面为5点的概率是， 小军说，这表示当投掷次数足够多时，出现5点的次数就很接近投掷总数的，他的说法正确吗，为什么？ 解：小军的说法正确. 在大次数重复试验中，随机事件发生的频率总是稳定到一个常数，即概率.因此，当试验次数足够多时，就可以把频率作为概率的估计值. 3.一家商店对进店顾客进行为期一周的调查登记，得到结果如下表： 根据这个结果求： (1)1名顾客进入该店后购买东西的概率是多少； (2)哪一种性别的顾客在该店买东西的可能性较大. 解：(1)共有5015060180440人进入了该商店，其中5060110人购买东西，故1名顾客进入该店后购买东西的概率约为. (2)男性顾客在该店买东西的概率约为：，女性顾客在该店买东西的概率约为：.故两种性别的顾客在该店买东西的可能性一样大. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第109页习题26.3第1-3题 . 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共23张PPT)
26.3 用频率估计概率
学习目标
1.通过实验与操作，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性，理解重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系；
2.了解频率和概率的区别与联系，能从频率值角度估计随机事件发生的概率；
3.经历抛掷硬币试验和投图钉试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念；
4.逐步学会设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流.
用频率估计概率
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
P(正面向上) P(反面向上) .
问题引入
抛掷一枚质地均匀的硬币，
(1)硬币落地后，观察向上一面，会出现哪些可能的结果？
正面向上
反面向上
(2)“正面向上”和“反面向上”的概率分别是多少？
抛掷一枚硬币50次，一定会有25次出现正面和25次出现反面吗？
组别 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10组
出现正面次数
出现正面的频率
请同学们分组进行抛掷硬币试验，每组抛掷一枚硬币50次，统计出现正面的次数，计算频率，并完成下面的表格.
结果保留小数点后两位
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
小组合作
1.三人一组抛掷硬币；
2.第1名同学负责抛掷硬币，报告试验结果，
第2名同学记录试验结果，第3名同学监督.
合作探究
组别 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 10组
出现正面次数
出现正面的频率
请同学们分组进行抛掷硬币试验，每组抛掷一枚硬币50次，统计出现正面的次数，计算频率，并完成下面的表格.
25
24
30
22
22
25
26
25
27
27
0.50
0.48
0.60
0.44
0.44
0.50
0.52
0.50
0.54
0.54
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
根据表中的数据，在下图中标注出对应的点.
组别
O
1组
0.5
2组
3组
4组
5组
6组
7组
8组
9组
10组
出现正面的频率
1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
合作探究
思考
(1)过纵轴上刻度为0.5的水平直线的含义是什么？
(2)频率和概率有什么不同？
“出现正面”的概率为0.5
概率是确定的常数，频率是不确定的、随机的.
大部分组的频率离0.5不远.
由图你还能发现什么？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
组别
O
1组
0.5
2组
3组
4组
5组
6组
7组
8组
9组
10组
出现正面的频率
1
抛掷一枚硬币50次并不一定有25次正面向上，所以频率是不确定的.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一位同学在做“抛硬币”的试验中，将获得的数据绘制成下表及折线统计图：
抛掷次数 50 100 200 300 400 500 600 700 800
出现正面次数 25 52 95 145 195 243 295 345 396
出现正面的频率 0.500 0.520 0.475 0.483 0.488 0.486 0.492 0.493 0.495
次数
0
0.450
200
300
400
500
600
700
800
频率
0.550
100
0.500
思考
如果增加试验次数，频率会如何变化？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
当抛掷次数很多以后，出现正面的频率有什么规律？
次数
0
0.450
200
300
400
500
600
700
800
频率
0.550
100
0.500
出现正面的频率在0.5左右摆动，随着抛掷次数的增加，在0.5左右摆动的幅度越来越小，呈现出一定的稳定性.
观察
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
对于上面这样的抛硬币试验，历史上许多数学家都曾做过，结果如下表：
试验者 抛掷次数 出现正面次数 出现正面的频率
Buffon(布丰) 4 040 2 048 0.506 9
De.Morgan(德·摩根) 4 092 2 048 0.500 5
Feller(费勒) 10 000 4 979 0.497 9
Pearson(皮尔逊) 12 000 6 019 0.501 6
Pearson(皮尔逊) 24 000 12 012 0.500 5
由表观察出现正面的频率的变化趋势是什么？
出现正面的频率逐渐稳定到常数0.5.
我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数来刻画它发生可能性的大小，0.5就作为多次抛掷硬币后出现正面(或反面)这个随机事件发生的概率.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
某农科所通过抽样试验来估计一大批种子(总体)的发芽率，为此，从中抽取10批，分别做发芽试验，记录下每批发芽粒数，并算出发芽的频率(发芽粒数与每批试验粒数之比)，结果如下表：
每批试验粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000
发芽粒数m 2 4 9 60 116 282 639 1 339 1 806 2 715
发芽的频率 1 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
从上表中你能发现什么？
由上面试验所得数据可以看出：当发芽试验样本容量增大时，发芽的频率逐渐稳定到常数0.9.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
某乒兵球生产厂，从最近生产的一大批乒兵球中，抽取6批进行质量检测，结果如下表：
每批抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 1949 470 954 1 902
优等品的频率 0.900 0.920 0.970 0.940 0.954 0.951
从上表中你能发现什么？
由上面检测所得数据可以看出：当质量检测样本容量增大时，优等品的频率逐渐稳定到常数0.95.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率
(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发生的次数)
会稳定到某个常数p.
于是，我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率，
即：P(A) p.
我们可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的 去估计它的 .
频率
概率
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
想一想
(1)连续掷一枚质地均匀硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1.
(2)小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近.
(3)某彩票的中奖率是 ，那么买1000张彩票就一定能中奖.
判断正误：
抢答
频率 概率
区别
联系 创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
频率与概率的区别与联系
不确定的数
(试验值或使用的统计值)
确定的常数
(理论值)
与试验次数的变化有关
与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、
试验地点有关
与试验人、试验时间、
试验地点无关
试验次数越多，频率越趋向于概率
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
例1 某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)计算表中“击中靶心的频率”；
(2)这个射手射击1次，击中靶心的概率约是多少？
解：(1)如上表；
(2)从上表数据可以看出，随着射击次数的增多，击中靶心的频率稳定在常数0.9附近，
故这个射手射击1次，击中靶心的概率约是0.9.
0.80
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1.判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)在n次随机试验中，事件A出现m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率；
(2)设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中随机抽取1000只灯泡，一定有10只次品.
当n足够大时，才可以用频率作为概率的估计值.
概率被用来表示一个事件发生的可能性的大小但在不同的试验中或是次数不够大的试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2.多次投掷一枚均匀的骰子，出现向上一面为5点的概率是 ， 小军说，这表示当投掷次数足够多时，出现5点的次数就很接近投掷总数的 ，他的说法正确吗，为什么？
解：小军的说法正确.
在大次数重复试验中，随机事件发生的频率总是稳定到一个常数，即概率.因此，当试验次数足够多时，就可以把频率作为概率的估计值.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
3.一家商店对进店顾客进行为期一周的调查登记，得到结果如下表：
根据这个结果求：
(1)1名顾客进入该店后购买东西的概率是多少；
(2)哪一种性别的顾客在该店买东西的可能性较大.
性别 购买 不购买
男性 50 150
女性 60 180
解：(1)共有50 150 60 180 440人进入了该商店，其中50 60 110人购买东西，
故1名顾客进入该店后购买东西的概率约为 .
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
3.一家商店对进店顾客进行为期一周的调查登记，得到结果如下表：
根据这个结果求：
(1)1名顾客进入该店后购买东西的概率是多少；
(2)哪一种性别的顾客在该店买东西的可能性较大.
解：(2)男性顾客在该店买东西的概率约为： ，
女性顾客在该店买东西的概率约为： .
故两种性别的顾客在该店买东西的可能性一样大.
性别 购买 不购买
男性 50 150
女性 60 180
用频率估计概率
我们可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
频率与概率的区别与联系：
概率是确定的常数，频率是不确定的、随机的，受试验条件影响.试验次数越多，频率越趋向于概率.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
用频率估计概率
布置作业
教科书第109页
习题26.3第1-3题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
