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第十一章 三角形
第2课时 三角形的高、中线与角平分线
【A组】（基础过关）
1.三角形的高、中线、角平分线都是( )
A.直线 B.线段
C.射线 D.以上情况都有
B
2.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )
A
3.如图F11-2-1，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.若∠1=30°，∠2=20°，则∠B的度数为________.
50°
4.如图F11-2-2，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线.若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，则BC的长为________.
5
【B组】（能力提升）
5.如图F11-2-3，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8 cm2，则阴影部分的面积为________cm2.
2
6.如图F11-2-4，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，求∠C的度数.
解：∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B＝70°，∴∠BAD＝90°-70°=20°.
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝38°.
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝76°.
∴∠C＝180°－∠B-∠BAC=34°.
7.(无图题)已知AD是△ABC的高，∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，求∠BAC的度数.
解：①如答图F11-2-1①，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+30°＝90°；
②如答图F11-2-1②，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝60°-30°＝30°.
综上所述，∠BAC的度数为
90°或30°.
【C组】（探究拓展）
8.如图F11-2-5，在△ABC中，AD⊥BC，
AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°.
（1）求∠DAE的度数；
（2）探究：如果将“∠B=70°，∠C=
30°”改成“∠B-∠C=40°”，是否也能得出∠DAE的度数.若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
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第十一章 三角形
第8课时 多边形的内角和
【A组】（基础过关）
1.若四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶5，且∠C=150°，则∠D的度数为( )
A.90° B.105° C.120° D.135°
2.如果一个多边形的内角和等于1 440°，那么这个多边形的边数为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
3.下列度数不能成为某多边形的内角和的是( )
A.1 440° B.1 080° C.900° D.600°
C
C
D
4.已知一个正多边形的内角和为1 080°，那么从它的一个顶点出发可以引 ________条对角线.
5.如图F11-8-1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为________.
5
360°
【B组】（能力提升）
6.如图F11-8-2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（ ）
A.180°
B.360°
C.270°
D.540°
B
7.如图F11-8-3，五边形ABCDE的各内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的值.
解：∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
则每个内角为540°÷5＝108°.
∴∠E＝∠C＝108°.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由三角形内角和定理可知，
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°-108°)÷2＝36°.
∴x＝∠EDC-∠1-∠3＝108°-36°×2＝36°.
【C组】（探究拓展）
8.一个多边形除去一个内角α之外，其余内角之和为2 680°，求这个多边形的边数和这个内角α的度数．
解：∵一个多边形的内角和一定是180°的倍数，
∴α+2 680°是180°的倍数，且0°＜α＜180°.
∵180°×15=2 700°，则α=20°.
根据多边形的内角和公式，180°×（n-2）=2 700°，解得n=17.
∴这个多边形的边数为17，这个内角α的度数为20°.
9.探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图F11-8-4①，∠FDC，∠ECD为△ADC的两
个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为
_____________________________．
∠FDC+∠ECD=180°+∠A
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图F11-8-4②，在△ADC中，DP，CP分别平分
∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系为
____________________________．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
如图F11-8-4③，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系为___________________．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图F11-8-4④，则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系为______________________________________．
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第十一章 三角形
第9课时 多边形的外角和
【A组】（基础过关）
1．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的内角和为（ ）
A.180° B.720° C.540° D.360°
2.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A.10 B.9 C.8 D.6
C
C
3.科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照如图F11-9-1所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A.6 m B.8 m
C.12 m D.不能确定
B
4.如图F11-9-2，一束平行太阳光照射到每个内角都相等的五边形上.若∠1=47°，则∠2=________.
25°
5.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形
的边数.
解：设多边形的边数为n.
由题意，得（n-2）×180°=5×360°.
解得n=12.
∴这个多边形的边数为12.
【B组】（能力提升）
6.一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半.
(1)求这个多边形是几边形；
(2)求这个多边形的内角和.
7.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2 260°.求这个多加的外角的度数.
解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则(n-2)×180°+α＝2 260°.
∵2 260°＝12×180°+100°，内角和应是180°的倍数，
∴这个多加的外角的度数为100°.
【C组】（探究拓展）
8.（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图F11-9-3①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）=360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4=360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是___________________________；
∠1+∠2=∠A+∠D
解：（2）由（1）可得，∠MDA+∠NAD=∠B+∠C=230°.
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE=230°，即∠EDA+∠DAE=115°．
∴∠E=180°-（∠EDA+∠DAE）=65°．
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第十一章 三角形
第1课时 三角形的边
【A组】（基础过关）
1.如图F11-1-1，三角形有( )
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
A
2.一个三角形的两边长分别是2 cm和6 cm，则它的第三边不可能是 （ ）
A.2 cm B.5 cm C.7 cm D.6 cm
3.一个等腰三角形的两条边长分别为9 cm和4 cm，则这个等腰三角形的周长是____________.
4.三角形的三边长分别是5,8,x,那么x应满足不等式是_______A
22 cm
3
13
4
【B组】（能力提升）
5.四根木棒分别长5 cm，7 cm，10 cm，12 cm，选三根组成三角形，选法有________种.
6.已知等腰三角形的周长是24 cm.
（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；
（2）已知其中一边长为6 cm，求其他两边长.
3
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
由题意，得x+2x+2x=24.
解得x=4.8.则2x=9.6.
∴腰长为9.6 cm.
（2）因为长为6 cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论：
①若底边长是6 cm，设腰长为y cm，则2y+6=24.解得y=9；
②若腰长是6 cm，设底边长为z cm，则2×6+z=24.解得z=12.
∵6+6=12，不符合三角形两边之和大于第三边，则不能围成腰长为6 cm的等腰三角形.
∴这个等腰三角形的其他两边长均为9 cm.
7.已知a，b，c是三角形的三边长.
(1)化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
(2)在(1)的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值.
解：(1)∵a，b，c是三角形的三边长，
∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c.
∴a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0.
∴原式=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)
＝-a+b+c-b+c+a-c+a+b
＝a+b+c.
(2)当a＝5，b＝4，c＝3时，
原式＝5+4+3＝12.
【C组】（探究拓展）
8.如图F11-1-2，在△ABC中，A1，A2，A3，…，
An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中
出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便
有6个不同的三角形……
（1）完成下表：
连接点个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 ______ ______ ______ ______ ______ ______
3
6
10
15
21
28
（2）若出现了45个三角形，则共连接了______个点；
（3）若一直连接到An，则图中共有______________________个三角形.
8
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第十一章 三角形
第7课时 多边形
【A组】（基础过关）
1.下列属于正多边形的特征的有( )
①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.下列说法不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．各边都相等的多边形是正多边形
C．三角形是边数最少的多边形
D．六条边都相等且六个角都相等的六边形是正六边形
B
3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )
A.六边形 B.五边形
C.四边形 D.三角形
4.一个正多边形的周长是100，边长为10，则这个正多边形的边数为________.
A
10
5.如图F11-7-1，画出六边形ABCDEF的所有对角线，再回答问题.
（1）从这个六边形的一个顶点可以作______
条对角线；
（2）这个六边形一共有______条对角线.
3
9
图略.
【B组】（能力提升）
6.一个六边形至少可以分割成的三角形的个数为( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
7.若经过n边形的一个顶点的所有对角线可以将该n边形分成6个三角形，则这个n边形的对角线条数为________.
B
20
8.已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数的2倍，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n.
由题意，得n=2（n-3）.
解得n=6．
∴这个多边形的边数为6．
【C组】（探究拓展）
9.如图F11-7-2，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点A，B，C，D，E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）.
（1）填写下表：
（2）原五边形能否被分割成2 021个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点；若不能，请说明理由.
五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 … n
分割成的三角形的个数 5 7 9 _____ … 2n+3
11
解：（2）能.
由（1）知2n+3=2 021，解得n=1 009.
∴此时五边形ABCDE内部有1 009个点.
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第十一章 三角形
第4课时 三角形的内角和(一)
【A组】（基础过关）
1.已知△ABC中，2（∠B+∠C）=3∠A，则∠A的度数是( )
A．54° B．72° C．108° D．144°
2.数学活动课上，小明将一副三角板按如图F11-4-1所示的方式摆放，则∠α等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
B
D
3.如图F11-4-2，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处的仰角∠CBD＝55°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB的度数是( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
B
4.如图F11-4-3，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=46°，则∠CDE的度数是( )
A.45° B.40°
C.39° D.35°
B
5.如图F11-4-4，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【B组】（能力提升）
6.如图F11-4-5，BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，∠BDC=120°，则∠A的度数为( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
C
7.在纸片△ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图F11-4-6）.若∠1=20°，则∠2的度数为________．
60°
8.如图F11-4-7，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．若∠B-∠C=32°，求∠DAE的度数．
【C组】（探究拓展）
9.如图F11-4-8，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平
分线.
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的
度数;
（2）若∠C＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B
之间的数量关系，并说明理由.
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第十一章 三角形
第6课时 三角形的外角
【A组】（基础过关）
1.如图F11-6-1，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点．下列结论不正确的是( )
A.∠BCD＞∠A
B.∠BCD＞∠1
C.∠2＞∠3
D.∠BCD=∠A+∠B
B
2.如图F11-6-2，若∠A =20°，∠B =30°，∠C=50°，则∠ADB的度数是________
100°
3.如图F11-6-3，D，B，C，E四点共线，∠ABD+∠ACE＝230°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
A
4.如图F11-6-4，在△ABC中，点E在边BA的延长线上，∠B=∠C，AD平分∠EAC．求证：AD∥BC．
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD.
∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠EAC=2∠B.
∴∠EAD=∠B.
∴AD∥BC．
5.如图F11-6-5，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=74°，求∠2的度数.
解：∵∠B=∠1，∠BAC=74°，
∴∠2=∠B+∠BAD=∠1+∠BAD=∠BAC=74°．
【B组】（能力提升）
6.如图F11-6-6，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为( )
A.360°
B.720°
C.540°
D.240°
D
7.如图F11-6-7，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°.
(1)求∠C的度数；
(2)求∠BED的度数.
解：(1)∵∠BDC＝60°，∠A=45°，
∴∠ABD＝∠BDC-∠A＝15°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝30°.
∴∠C＝180°-∠A-∠ABC＝105°.
(2)∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝30°.
∴∠BED＝180°-∠AED＝150°.
【C组】（探究拓展）
8.(创新题)(1)如图F11-6-8①，这是一个五角星ABCDE，请计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)如图F11-6-8②，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？
(3)如图F11-6-8③，当点B向右移动到AC另一侧时，（1）中的结论还成立吗？
解：(1)如答图F11-6-1①，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
(2)如答图F11-6-1②，由三角形的外角性质，∠A+∠D＝∠1，
∵∠1+∠2+∠C+∠E＝180°，
∴∠A+∠2+∠C+∠D+∠E＝180°.
(3)如答图F11-6-1③，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
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第十一章 三角形
第5课时 三角形的内角和(二)
【A组】（基础过关）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A=( )
A.30° B.45° C.60° D.70°
2.若△ABC各内角的度数满足∠A+∠B=120°，∠C=2∠A，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
C
D
3.如图F11-5-1，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC.若∠B=50°，则∠DCA的度数为( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
C
4.如图F11-5-2，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，下列结论正确的是( )
A.∠B=∠C
B.∠BAD=∠B
C.∠C=∠BAD
D.∠DAC=∠C
5.在直角三角形中，一个锐角等于另一个锐角的2倍，则较小的锐角的度数为________.
C
30°
6.如图F11-5-3，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD=∠ACB，∠COD=∠B，求证：△AOE是直角三角形．
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°，∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°.
∵∠AOE=∠COD，∠COD=∠B，
∴∠AOE=∠B.
∵∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠AOE=90°.
∴∠AEO=90°，即△AOE是直角三角形．
【B组】（能力提升）
①②③④⑤
8.如图F11-5-4，AB，ED分别垂直于BD，点B，D是垂足，
且∠ACB＝∠CED.求证：△ACE是直角三角形.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°.
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∠CED+∠DCE＝90°.
又∵∠ACB＝∠CED，
∴∠BAC＝∠DCE.
∴∠ACB+∠DCE＝90°.
∴∠ACE＝180°-(∠ACB+∠DCE)＝90°.
∴△ACE是直角三角形.
【C组】（探究拓展）
9.如图F11-5-5，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数为( )
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
D
10.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______________．
11.如图F11-5-6，在四边形ABCD中，AB∥CD，
E为BC上一点，若∠BAE=25°，∠CDE=65°．
求证：△ADE是直角三角形．
60°或10°
证明：如答图F11-5-1，作EF∥AB交AD于点F.
∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.
∴ ∠AEF=∠BAE=25°，∠DEF=∠CDE=65°.
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=25°+65°=90°.
∴△ADE是直角三角形．
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第十一章 三角形
第3课时 三角形的稳定性
【A组】（基础过关）
1.下列图形中，不具有稳定性的是( )
D
2.如图F11-3-1，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是( )
A.两点之间，线段最短
B.垂线段最短
C.两直线平行，内错角相等
D.三角形具有稳定性
D
3.下列是利用了三角形的稳定性的有________.
①自行车的三角形车架；②可伸缩的电闸门；③照相机的三脚架；④信号塔上部的三角形结构．
①③④
4.要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形，工人准备再钉上两根木条，如图F11-3-2的两种钉法中正确的是________.
方法一
【B组】（能力提升）
5.有一个六边形钢架ABCDEF（如图F11-3-3），它由6条钢管铰接而成．在生活中，要保持该钢架稳定且形状不变，必须在接点处增加一些钢管铰接，通过实践发现至少要用三根钢管．请同学们想一想，下面的固定方法中（如图F11-3-4）能保持该六边形钢架稳定且形状不变的有_________________．（填序号）
①②③④⑤⑥
6. 如图F11-3-5是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易
变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明
位置．
解：因为四边形不具有稳定性，所以椅子会变形.利用三角形的稳定性，可用三角形角铁对椅子修复加固，如答图F11-3-1.（答案不唯一）
【C组】（探究拓展）
7.(创新题)如图F11-3-6，一个四边形木框，四边长分别为BC＝8 cm，CD＝6 cm，AB＝4 cm，AD＝5 cm，为了让它牢固，现有一根3 cm长的木条，能否用这根木条把这个四边形木框固定，请说明理由.
解：能.理由如下.
∵四边长分别为BC＝8 cm，CD＝6 cm，AB＝4 cm，AD＝5 cm，它的形状是不稳定的，
∴BC-AB＜AC＜BC+AB，DC-AD＜AC＜DC+AD；AD-AB＜BD＜AD+AB,BC-DC＜BD＜BC+DC.
∴4 cm＜AC＜12 cm，1 cm＜AC＜11 cm，即AC的取值范围是4 cm＜AC＜11 cm；
1 cm＜BD＜9 cm，2 cm＜BD＜14 cm，即BD的取值范围是2 cm＜BD＜9 cm.
则当BD=3 cm时，这个四边形木框可固定.
∴能用这根3 cm长的木条把这个四边形木框固定.
谢 谢
