数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 章节检测 （有答案）

高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章节检测
一、单选题
1．已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（　　）
A．0 B． C． D．
3．如图，直三棱柱 中， ，点P在棱 上，且三棱锥A-PBC的体积为4，则直线 与平面PBC所成角的正弦值等于(　　)
A． B． C． D．
4．三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（　　）
A． B． C． D．
5．在正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，下列说法错误的是（　　）
A． B． 与 是异面直线
C． ， ， ， 四点共面 D．直线 与平面 相交
6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．在直三棱柱 中， 是 中点. ， ， ， .则下列结论正确的是（　　）
A．点 到平面 的距离是
B．异面直线 与 的角的余弦值是
C．若 为侧面 （含边界）上一点，满足 平面 ，则线段 长的最小值是5.
D．过 ， ， 的截面是钝角三角形
8．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 为 的中点，则正确的结论有（　　）
A． 平面
B． 与平面 所成的角为
C．三棱锥 的体积为
D． 到平面 的距离为
10．正方体 棱长为 ，若 是空间异于 的一个动点，且 ，则下列正确的是（　　）
A． 平面
B．存在唯一一点 ，使
C．存在无数个点 ，使
D．若 ，则点 到直线 的最短距离为
11．某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）．已知球的体积为 ，金属底座是由边长为4的正三角形 沿各边中点的连线向上垂直折叠而围成的几何体（如图②），则（　　）
A．A ，B，D，F四点共面
B．经过A，B，C三点的截面圆的面积为
C．直线 与平面 所成的角为
D．奖杯整体高度为
12．如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
三、填空题
13．已知 为 所在平面内一点，若 ， ， ，则 　 　.
14．在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
15．平面内一点 到直线 ： 的距离为： ．由此类比，空间中一点 到平面 ： 的距离为　 　．
16．如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是　 　.
四、解答题
17．如图，多面体 中， 平面 ，点 为 的中点，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的大小.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为梯形，二面角P－AD－C为直二面角，且AB∥DC，AB⊥AD，AD＝AB＝ DC，F为PC的中点.
（1）求证：BF∥平面PAD；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.
19．在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 为BC的中点， .
（1）证明： 平面ABCD；
（2）若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角 的余弦值.
20．已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角形，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．如图，三棱锥 的底面是等腰直角三角形，其中 ， ，平面 平面 ，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 与平面 所成的角为 时，求四棱锥 的体积．
22．如图，在四棱台 中，底面四边形 为菱形， ， ， 平面 .
（1）若点 是 的中点，求证： ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】A,B,C
13．【答案】-10
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】②③
17．【答案】（1）取 中点 ，连接 ，
则 且 ，
又 且 ，
所以 ，即四边形 为平行四边形，
从而 ，
而 ，
所以 ，
平面 ，
所以 平面 ，
所以
且 ，
所以 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以平面 平面
（2）由（1）知，分别以 为 轴建立空间坐标系，
又 ，
所以 ，
所以平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量分别为 ，
所以 ，
即 ，
可得平面 的一个法向量为
所以二面角 为余弦值 ，
沂以二面角 的大小为 .
18．【答案】（1）证明：证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
为 的中点， ．
又 ， 且 ．
四边形 为平行四边形． ．
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，连接 ，由 为正三角形， ．
取 的中点 ，连接 ， 四边形 为梯形，
． ． 为二面角 的平面角．
又二面角 为直二面角， ． ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ， ， ， ，
故 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则
则可取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ．
．
， ．
故直线 与平面 所成的角的余弦值为 ．
19．【答案】（1）证明：易知 ，
所以 ，故 ，即 ，
又 ，
所以 平面PAE，又 平面PAE，
所以 又 ，
所以 平面ABCD.
（2）由 平面平面ABCD，得 ，又 ，
所以 平面PAD，
所以 为PC与平面PAD所成的角，则 ，
在 中， ，所以 ，又 ，所以 .
以A为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
，
设平面PDE的法向量为 ，
则
取 ，则 ，所以 ，
易知平面PAE的一个法向量为 ，
所以 ，
由图可知二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
20．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 和 ，因为 为等边三角形，所以 ；又四边形 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，所以 ；又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ；又 ，所以 、 、 两两垂直；以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ；不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；所以 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，1， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
21．【答案】（1）证明：由题意可得， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
故 ∥AC，故 ，
平面 平面 ，交线为
故 平面
在平面 内，
故平面 平面 ；
（2）连结 ，由 ，点 是 的中点，可知 ，
再由平面 平面 ，可知 平面 ，
连结 ，可知 就是直线 与平面 所成的角，
于是 ，
因为 ， 是 中点，故 ，
又平面 平面 ，故 平面 ，
即点 到平面 的距离为 ．
点 是 中点，故点 到平面 的距离为 ，
即四棱锥 的体积为 ．
22．【答案】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，
因为四边形 为菱形，则 ，
∵ ，∴ 为等边三角形，
∵ 为 的中点，则 ，
∵ ，∴ ，
由于 平面 ，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，∴ ；
（2）假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
取 ，则 ， ，所以， ，
平面 的一个法向量为 ，
所以， ，解得 ，
又由于二面角 为锐角，由图可知，点 在线段 上，
所以 ，即 .
因此，棱 上存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时
(
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