2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式 课件（52张PPT）

2.2 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.
学习新知
你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？
B
A
C
D
E
F
G
H
学习新知
学习新知
B
A
C
D
E
F
G
H
则正方形ABCD的面积是________，
这4个直角三角形的面积之和是_________，
设AE=a,BE=b,
a2+b2
2ab
>
Z.x.x. K
有可能相等吗？又什么时候取等于号呢？
学习新知
a
b
>
(a≠b)
a
b
D
A
B
C
＝
(a=b)
如果 a,b∈R
，那么
（当且仅当 a=b
时取“=”）
证明：
1．不等式适用范围：
2．强调取“=”的条件：
a,b∈R
a=b
重要不等式
文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍
习题演练
特别地，如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？
新知探究
基本不等式
当且仅当a=b时，等号成立
算术平均数
几何平均数
文字表述：两个正数的算术平均数大于等于几何平均数
证明：要证
只要证
①
要证①，只要证
②
要证②，只要证
③
显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
基本不等式
分析法：执果索因
问题 能否用几何角度解释基本不等式？
在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．你能在这个图中找到　　和　　分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？
由图可知，圆的半径长为 ，那么哪条线段长为 呢？
新知探究
解：如图2.2-1，可证?????????????∽?????????????， 即可得CD2=ab, 因而CD=????????.
由于CD小于或等于圆的半径，
用不等式表示为 .
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.
?
新知探究
√
探究一 对基本不等式的理解
例题讲解
探究一 对基本不等式的理解
例2.已知x>0,求 的最小值。
例题讲解
例3.已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
探究一 对基本不等式的理解
例题讲解
例3.已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
探究一 对基本不等式的理解
例题讲解
探究一 对基本不等式的理解
例3.已知x，y都是正数，求证：
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
总结：和定积最大，积定和最小
例题讲解
一正：符合基本不等式 成立的前提条件，a＞0，b＞0
二定：化不等式的一边为定值（a+b为定值或ab为定值）
三相等：必须存在“=”成立的条件
小结--基本不等式求最值问题
一正、二定、三相等！！！！！！
和定积最大，积定和最小
探究二 和定积最大，积定和最小
√
例题讲解
探究二 和定积最大，积定和最小
例题讲解
例5 求函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。
探究二 和定积最大，积定和最小
例题讲解

1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80 B．77
C．81 D．82
√
习题演练
习题演练
探究三 分式形函数求最值
例6 已知x>0，函数 的最小值。
【答案】6
例题讲解
3. 已知t＞0，求 的最小值。
【答案】-2
习题演练
例题讲解
探究四 配凑积定和最小，和定积最大

配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．
归纳小结
4(1)求函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。
(2)已知x、y>0，且x+4y=1，则xy的最大值为多少？xy取最大值时x、y的值为多少。
习题演练
习题演练
5.(1)若函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。
(2)已知x、y>0，且满足 ，则xy的最大值是多少？xy取最大值时x、y的值为多少？
习题演练
习题演练
例题讲解
探究五 拆裂项求最值
√

裂项与拆项的应用技巧
裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．
归纳小结
习题演练
答案：9
探究六 常数代换求最值
例题讲解
7.已知x、y>0，且x+3y=1，求 的最小值。
习题演练
8.已知x、y>0，且 ，则4x+y的最小值是多少？4x+y取最小值时x、y的值为多少？
习题演练
基本不等式
重要不等式
积定和最小
和定积最大
应用
基本不等式求最值使用条件
证明
归纳总结
利用基本不等式比较大小
例题讲解
归纳小结
√
习题演练
利用基本不等式证明不等式
例题讲解
习题演练
书本P46练习2
10.已知x,y都是正数，且x≠y，求证：
(1)????????+????2>2;(2)2????????????+?????

利用基本不等式证明不等式的关注点
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
归纳小结
习题演练
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.
例12 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
例题讲解
基本不等式的应用
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.
例12 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
例题讲解
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36, x+ y=18，
矩形菜园的面积为xy m2 .
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
例13某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
例题讲解
例题讲解
解：
设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得
当
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低造价是297600元
12.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时．
(1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/时)的函数；
习题演练
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
习题演练