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两条直线的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
知识点二 三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
知识点三 直线系方程(知识拓展)
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知识点四 常用的对称关系(知识拓展)
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( )
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0 C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
答案：D
解析：方法一 解方程组可得直线l1和l2的交点坐标为，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
方法二 根据题意可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－，所以所求直线的方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
2.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
答案：C
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
3.(2022·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当l1∥l2时，解得a＝－1或a＝2.而由ea＝，解得a＝－1，所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
4.(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A.2x＋y－1＝0 B.x－2y－3＝0 C.x＋2y＋1＝0 D.2x－y－3＝0
答案：C
解析：∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
5.(2022·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( )
A.垂直或平行 B.垂直或相交 C.平行或相交 D.垂直或重合
答案：D
解析：因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－，k2＝2，所以k1·k2＝－1 ，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．
6.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
7.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝ C.a＝6，d＝ D.a＝－6，d＝
答案：B
解析：由题知2×3＝－a，解得a＝－6，又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋＝0，∴d＝＝.
8.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
9.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
答案：B
解析：由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.
10.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A.4x－2y－1＝0 B.4x－2y＋1＝0 C.4x＋2y＋1＝0 D.4x＋2y－1＝0
答案：A
解析：设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，则整理可得∴－2y＋4x－1＝0，即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
11.直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为( )
A.(－1,3) B. (3, －1) C. (2, －1) D. (－1,2)
答案：A
解析：解方程组得所以两条直线交点的坐标为(－1,3).
12.已知两直线l1：x＋ysin α＋1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.若l1∥l2，则α＝( )
A. kπ－，k∈Z B. kπ+，k∈Z C. kπ±，k∈Z D. kπ±，k∈Z
答案：C
解析：由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，所以sin α＝±.又A1C2－A2C1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠.所以α＝kπ±，k∈Z.故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
二、填空题
13.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
答案：4x＋3y－6＝0
解析：由方程组得即P(0,2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
14.直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
答案：(0,5]
解析：当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，dmax＝＝5；当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．所以0＜d≤5.
15.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案：x＋4y－4＝0
解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
16.已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
答案：2x－y＋3＝0
解析：易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上，设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)．则解得所以A1(0,3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，所以BC边所在直线的方程为＝，即2x－y＋3＝0.
17.(2022·邯郸模拟)直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
答案：－
解析：由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)，直线l2的斜率为，所以－＝，解得a＝－，则直线l1：x－y－2＝0，即3x－4y－6＝0，直线l2：y＝x－1，即3x－4y－4＝0，所以它们之间的距离为d＝＝.
三、解答题
18.如图所示，O为原点，过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，
当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
19.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
证明:(1)直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
解:(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
解: (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
20.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则得M′.
设直线m与直线l的交点为N，由得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二 ∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，得＝，
解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
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知识点一 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
知识点二 三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
知识点三 直线系方程(知识拓展)
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
知识点四 常用的对称关系(知识拓展)
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( )
A.19x－9y＝0 B.9x＋19y＝0 C.19x－3y＝0 D.3x＋19y＝0
2.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
3.(2022·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A.2x＋y－1＝0 B.x－2y－3＝0 C.x＋2y＋1＝0 D.2x－y－3＝0
5.(2022·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( )
A.垂直或平行 B.垂直或相交 C.平行或相交 D.垂直或重合
6.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为( )
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝ C.a＝6，d＝ D.a＝－6，d＝
8.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
9.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
10.直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为( )
A.4x－2y－1＝0 B.4x－2y＋1＝0 C.4x＋2y＋1＝0 D.4x＋2y－1＝0
11.直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为( )
A.(－1,3) B. (3, －1) C. (2, －1) D. (－1,2)
12.已知两直线l1：x＋ysin α＋1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.若l1∥l2，则α＝( )
A. kπ－，k∈Z B. kπ+，k∈Z C. kπ±，k∈Z D. kπ±，k∈Z
二、填空题
13.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
14.直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
15.过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
16.已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
17.(2022·邯郸模拟)直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
三、解答题
18.如图所示，O为原点，过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
19.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
20.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
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