数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2 等差数列 讲义（有答案）

4.2等差数列
-----基础知识+同步练习
基础知识
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。
点睛：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 .这个常数叫做等差数列
的公差 ，通常用字母表示。
等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为，公差为，那么通项公式是 。
点睛：① 等差数列通项公式是
当时，是关于的一次函数。
当时，为增函数，数列为递增数列；
当时，为减函数，数列为递减数列。
② 变式：求等差数列通项公式时，也可由第项和公差，
等差数列前项和公式
等差数列 中，
（1） 已知首项，末项 ，前项和 . （2） 已知首项，公差，前项和 .
点睛：差数列前项和公式
①
②
当时，是关于的二次函数。
当时，数列为递增数列，有最小值；
当时，数列为递增数列，有最大值。
等差中项
已知、、是等差数列，则 叫做和的等差中项，并且有
+ = .
点睛： 等差中项的性质是
等差中项的这个性质也可以推广到多项。
例如，在等差数列 中 ，以下关系式都成立。
+=+
+ + =
以上成立的条件有两个：一是等号两边的项数相等，二是序号之和相等。
判断等差数列的常用方法
（1） 定义法：
利用等差数列的定义判定， 即满足（这里为常数，特别
），则数列 是等差数列。
（2） 通项公式法：
若满足（这里同样有为常数，），则数列是等差数列.
（3） 等差中项法：
若满足2，则数列是等差数列。
点睛：判定等差数列时，有时需要从整体上考虑。
例如,下面数列给出了前四项，根据前四项的规律，求数列的通项公式。
, , , ，
解：虽然数列不是等差数列，但数列是等差数列。
∵ 是等差数列，首项是2，公差3
∴
数列的通项公式是
等差数列前项和的性质
① 等差数列 前项和
点睛： 这个命题可以证明：
例如，已知是等差数列，以下等式都成立.
， ,
② 在等差数列 中，为其前项和，
则 、、也是等差数列。
点睛：例如，等差数列 中，令
++,
++,
++,
,
则数列 也是等差数列。
同步阶梯练习
（一） 基础巩固
已知等差数列 中， , ，则 , ，
.
已知是和的等差中项，则 .
在等差数列中，++ += 40 ，则 ， .
已知等差数列 的前 项和为，且+ =10，=16，则等差数列 的公差
为（ ）
1 B. 2 C. 3 D. 4
已知等差数列 的前项和为，且+ =4 ，则 .
已知等差数列 的前项和为20，前项和为72，则数列 的前3 项和
为 .
（二）能力拓展
已知数列 满足 ，=2 （）.
证明数列 是等差数列;
求数列 的通项公式.
已知等差数列 、的前 项和分别为和，若，则 .
（多选）已知等差数列 的前项和为，公差为，且满足，2+ =0，
则以下判定正取的是（ ）
当且仅当时，取得最大值
满足时的最大值是6
已知等差数列中， ，=18.
求通项公式；
数列的前项和为，令 ， ,求的值。
参考答案:
, , 295 .
3.
8， 88 .
B
60
156
(1) 证明： =2
等式两边都除以 ，得
∴ 数列是等差数列.
解：∵数列是等差数列
首项为公差 2
∴
∴
提示：由，得 17, 17,
∴
ABC
提示：
① ∵ 2+ =0
∴
整理，得
∴ 故A正确。
②
故B正确。
③
可看作是关于的二次函数，开口向下，对称轴是 , 与轴交点的坐标是（0，0）和（7，0），∵是正整数，∴当时，取最大值。当 时，，此时最大值是7. C正确，D错误。
（1）
（2）∵ , ,
∴ )
+