平面向量 2023 艺术体育生夯实基础突破90讲义
热考点梳理
二 、强记清单
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为||.
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作e，e＝
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
5．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
2基底给定，同一向量的分解形式唯一；
3如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
6．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
若a=b,则x1=x2且y1=y2.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
8．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
9．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．
10．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
11．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
12．平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
13．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝； (3)a⊥b x1x2＋y1y2＝0； (2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝.
14.常用结论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
三、典例热身
1．【2022年新高考1卷】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
3．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．【2021年新高考1卷】已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．【2021年新高考2卷】已知向量，，，_______．
6．【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
8．【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．
9．【2022年全国乙卷】已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
11．【2021年甲卷理科】已知向量．若，则________．
12．【2021年乙卷文科】已知向量，若，则_________．
13．【2021年乙卷理科】已知向量，若，则__________．
【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
达标自检
（一）、单选题
1、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2、已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2， 且＝r＋s，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4、在平行四边形中，若则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
5、在中，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
6、已知向量，，.若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
7、在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
8、在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
9、已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多选题
10、下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．，则 D．若与是单位向量，则||=||
11、设是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
12、已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
13、已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．向量在上的投影向量为 D．向量与的夹角为
14、设，非零向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
15、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
16、下列说法正确的有（ ）
A．若向量，，则
B．若向量，则与的方向相同或相反
C．向量是三个非零向量，若，则
D．向量是两个个非零向量，若，则
17、如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
（三）、填空题
18、已知，，则向量与的夹角为__________.
19、设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．
20、向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________.
21、已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
（四）、解答题
22、已知，，．
(1)求的值；
(2)求与的夹角．
23、已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
24、在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
(1)求外接圆半径；
(2)若点是的中点，的长度为，求的面积.
自评（自我总结)
第03讲 平面向量掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 平面向量的基本概念 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二平面向量的线性运算 平面向量的线性运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据向量线性运算求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三向量共线定理及其应用 向量共线问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
三点共线问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
向量共线性质的应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 平面向量基本定理及应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点五 平面向量的坐标运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点六 共线向量的坐标表示及应用 利用向量共线求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
利用向量共线求向量或点的坐标 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点七 平面向量数量积的概念及运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点八 平面向量数量积的应用 求平面向量的模 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求平面向量的夹角 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
两向量的垂直关系 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求向量的投影（或投影向量） 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点九 平影响量的应用 平面几何中的向量方法 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
向量在物理中的应用举例 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点十 平面向量的最值问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点十一 与平面向量的交汇问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施第3讲 平面向量 2023 艺术体育生夯实基础突破90讲义
一、热考点梳理
二 、强记清单
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为||.
2．几种特殊向量
名称 定义 备注
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作e，e＝
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
3．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
5．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
2基底给定，同一向量的分解形式唯一；
3如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
6．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
若a=b,则x1=x2且y1=y2.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
8．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
9．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b| cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零．
10．平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
11．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
12．平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|.
13．平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝； (3)a⊥b x1x2＋y1y2＝0； (2)a·b＝x1x2＋y1y2;_ (4)cos θ＝.
14.常用结论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
三、典例热身
1．【2022年新高考1卷】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合后可求.
【详解】
，故，
故选：D
2．【2022年新高考2卷】已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】
解：,,即,解得,
故选：C
3．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
4．【2021年新高考1卷】已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
5．【2021年新高考2卷】已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
6．【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】
本题考查的是向量的加减法，较简单.
7．【2022年全国甲卷】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
8．【2022年全国甲卷】已知向量．若，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
由题意知：，解得.
故答案为：.
9．【2022年全国乙卷】已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得，然后求得.
【详解】
因为，所以.
故选：D
10．【2022年全国乙卷】已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
11．【2021年甲卷理科】已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得,
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
12．【2021年乙卷文科】已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
13．【2021年乙卷理科】已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
14．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】
以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
达标自检
（一）、单选题
1、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【详解】
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
2、已知两点，，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】与非零向量同向的单位向量是.由已知，，，故与向量同向的单位向量是.
故选：A.
3、如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2， 且＝r＋s，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【详解】根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
故选：C.
4、在平行四边形中，若则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，在平行四边形中，因为,根据平面向量的加法的运算法则，可得，即平行四边形的对角线是相等的，所以该平行四边形为矩形.
故选：B.
5、在中，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以，所以，
故，若，则，，所以．
故选：．
6、已知向量，，.若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】因为，，,所以，，
，解得．
故选：．
7、在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
故选：C
8、在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】
【详解】∵，∴，∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.
故选：C
9、已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】以中点为原点，且令A在轴正半轴上，建立如图坐标系，
则，，，
设，，则，，，
所以，
由知，，故的取值范围是.
故选：B.
多选题
10、下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．，则 D．若与是单位向量，则||=||
【答案】AB
【解析】
【详解】对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当时，与 可以不共线，故B错误；
对C，，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故C正确.
故选：AB.
11、设是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】ACD
【详解】、是平面内所有向量的一组基底，
和，显然不共线，可以作为基底；
和，显然不共线，可以作为基底；
和，存在，使得，所以和共线，不可以作为基底；
因为和不存在，使得，故不共线，可以作为基底.
故选：ACD
12、已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【详解】对于A，，A错；
对于B，，，则，B对；
对于C，，故，所以，，C对；
对于D，，，故，D错.
故选：BC.
13、已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．向量在上的投影向量为 D．向量与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，，则，故A错；
对于B，，则，故B正确；
对于C，向量在上的投影向量为，故C正确；
对于D,，
又，
所以向量与的夹角为，故D正确.
故选：BCD.
14、设，非零向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．存在，使 D．若，则
【答案】ABD.
【解析】
【详解】对于A，，而，因为，
所以得，（舍去），，所以，
，所以，，故A正确；
对于B，当时，，，所以；故B正确；
对于C，若，则，且，
因此，显然，
故C不正确；
对于D，若，则，则解得（舍）或，则，即，故D正确.
故选：ABD.
15、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【详解】对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，,∴，故A对；
由上得，，B对；
对C，与的夹角为90°，又因，根据平行四边形法则，C对；
对D，，，中，由余弦定理可得，，D错；
故选:ABC
16、下列说法正确的有（ ）
A．若向量，，则
B．若向量，则与的方向相同或相反
C．向量是三个非零向量，若，则
D．向量是两个个非零向量，若，则
【答案】AD
【解析】
【详解】对于选项A，向量，，由相等向量可知，故A正确；
对于选项B，与任意向量平行，若与中有一个为，则不满足方向相同或相反，故B错误；
对于选项C，为非零向量，若，可得，
即，推不出，故C错误；
对于选项D，
因为，所以，即
因为是两个非零向量，所以，故D正确
故选：AD
17、如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
（三）、填空题
18、已知，，则向量与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，，
所以，
则，
因为，
所以，
故答案为：
19、设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】由题设可得：，
因为向量与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
可得：，
所以，解得，
若向量与反向共线时，存在实数，使得成立，
可得，解得：（正解舍），
所以与不反向共线，，
综上所述，
故答案为：.
20、向量在向量方向上的投影向量的坐标为____________.
【答案】
【解析】
【详解】根据投影的定义可得：
在方向上的投影为：．
故答案为：．
21、已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________.
【答案】
【解析】
【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为.
故答案为：
（四）、解答题
22、已知，，．
(1)求的值；
(2)求与的夹角．
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】(1)∵，，，
∴，解得:..
故；
(2)设与的夹角，则，
又∵，∴
23、已知向量，满足，，且．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量与的夹角．
【答案】（1）或．（2）
【解析】
【详解】（1）设，
因为，则，①
又因为，且，
，
所以，
即，②
由①②解得，或，
所以或．
（2）设向量与的夹角为，
所以或，
因为，所以向量与的夹角．
24、在①，，且；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上，并解答.
已知中，三个内角，，所对边分别是，，，其中，且____________.
(1)求外接圆半径；
(2)若点是的中点，的长度为，求的面积.
【答案】(1)见详解（2）的面积
【解析】
【详解】(1)选①：，则，
所以，又，
则，，故，可得外接圆半径；
选②：，而，
所以，即，
又，则，，故，外接圆半径；
选③：由，
所以，故
由，故，则外接圆半径；
(2)由题设，，
所以，
，
所以，即，则的面积.
自评（自我总结）
第03讲 平面向量掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 平面向量的基本概念 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二平面向量的线性运算 平面向量的线性运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据向量线性运算求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三向量共线定理及其应用 向量共线问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
三点共线问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
向量共线性质的应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 平面向量基本定理及应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点五 平面向量的坐标运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点六 共线向量的坐标表示及应用 利用向量共线求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
利用向量共线求向量或点的坐标 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点七 平面向量数量积的概念及运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点八 平面向量数量积的应用 求平面向量的模 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求平面向量的夹角 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
两向量的垂直关系 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
求向量的投影（或投影向量） 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点九 平影响量的应用 平面几何中的向量方法 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
向量在物理中的应用举例 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点十 平面向量的最值问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点十一 与平面向量的交汇问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施
