22.4 图形的位似变换
第1课时
一、教学目标
1.掌握位似图形的定义，了解位似与相似的区别与联系.
2.掌握位似的性质，并且能够利用位似将一个图形成比例扩大或缩小.
3.充分体会相似与位似的相似之处，借助相似的性质类比得到位似的性质.
4.通过“一般到特殊”的方法，类比相似来研究位似，体会数学学科的一般研究方法，加强数学核心素养的培养.
二、教学重难点
重点：掌握位似图形的定义，了解位似与相似的区别与联系.
难点：掌握位似的性质，并且能够利用位似将一个图形成比例扩大或缩小.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【情境引入】 在日常生活中，经常见到这样的现象． 放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上 照相时，摄影师通过照相机，把建筑物的形象缩小在底片上 不改变图形的形状，还可以将图形放大或缩小. 那如何把一个图形进行放大或缩小呢？接下来我们一起探究一下吧！ 积极思考 通过生活实例引入，为讲解新知做铺垫. 便于学生建立起新旧知识之间的联系.
环节二 探究新知 【合作探究】 你知道如何把四边形ABCD放大为原来的2倍吗？请你试着画一画. 方法一： (1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O； (2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使 (4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求. 你还有其它的方法吗？ 方法二： (1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O； (2)分别以点A，B，C，D为端点作射线AO，BO，CO，DO； (3)分别在射线AO，BO，CO，DO上取点A′，B′，C′，D′，使 (4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求. 追问：通过画图得到的两个四边形和原四边形相似吗？ 预设：画图时都是满足 因此可以得到 再结合相似图形的判定定理，易得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD. 【归纳总结】 通过前边的分析，你能得到什么结论吗？ 位似图形：一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点： (1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O； (2) 那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心. 判断位似图形：①所有对应点的连线通过同一点；②位似中心与对应点的距离比相等. 【概念理解】 思考1：位似图形和相似图形有怎样的区别与联系呢？ (1)位似图形一定相似，它是特殊的相似图形； (2)相似图形不一定是位似图形，当相似图形的对应点连线交于同一点(该点是位似中心)时，就是位似图形. 思考2：如何判断一组图形是位似图形？下面各组图形是位似图形吗？ 预设：都是位似图形. 总结：同时满足以下两个条件的图形叫做位似图形： ①两图形相似； ②每组对应点的连线都经过同一点． 【归纳总结】 位似图形的特点： (1)对应顶点的连线必过位似中心，即对应点和位似中心在一条直线上； (2)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比； (3)位似一定相似，相似不一定位似； (4)位似图形的对应线段平行或在一条直线上. 【做一做】 图形的位似，也可用于把图形缩小.你能例举一个实际生活中的例子吗？ 例如用小平板仪测绘小范围区域图. 选定一个小区：如图，四边形ABCD是一个待测绘的小区. ①在区域内选一个测绘点O(如图)，并测出OA，OB，OC，OD的长度； ②将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O； ③由O1对准点A，B，C，D在纸上作射线O1A，O1B，O1C，O1D； ④分别在射线O1A，O1B，O1C，O1D上截取O1A1，O1B1，O1C1，O1D1上，使得 ⑤依次连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，四边形A1B1C1D1就是该小区的平面图. 问题：在画位似图形的时候，位似中心一般怎么选取？ 追问：位似中心还可以在哪呢？ 预设：位似中心还可以在4个顶点处，如图所示： 【归纳总结】 画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心； (2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点； (3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点； (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 学生思考，并回答. 学生小组交流，汇总并举手发言. 学生思考并积极回答问题. 学生自主完成，然后再在小组内讨论. 经历类比相似与位似得出概念，使学生体会类比的思想方法，学会知识的迁移，提高分析问题，解决问题的能力. 总结位似图形的定义及其相关概念，培养学生的语言表达能力和总结概括的能力. 动手画出图形，并且总结步骤与方法，使学生总结作图方法，学会知识的迁移，提高分析问题，解决问题的能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5. (1)位似中心在△ABC的一条边AB上； (2)以点C为位似中心. 分析：因为位似比是1:5，所以新图形是按比例缩小的. (1)当位似中心在△ABC的一条边AB上时，新图形在三角形内部； (2)当点C为位似中心时，新图形在三角形的内部. 解：(1)作图步骤： ①在边AB上任取一点O，连接OC； ②分别在OA、OB、 OC上取线段的五等分点A'、B'、C'. ③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求. (2) 作图步骤： ①以点C为位似中心，C的对应点是它本身； ②在AC、BC上取线段的五等分点A'、B'； ③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求. 学生思考、计算并回答. 通过典型例题的分析，加深对图形的位似变换的理解和认识，同时培养学生用数学知识解决问题的能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 判断正误. (1)两个位似图形可以有多个位似中心 ) (2)任意的位似图形都是相似形( ) (3)位似中心的位置，决定了位似比与1的大小关系( ) (4)相似图形不一定是位似图形( ) (5)位似中心不可能在图形上( ) (6)相似图形同时一定是位似图形( ) (7)位似比等于位似图形的周长比( ) (8)两个位似图形的面积比等于它们的位似比( ) 答案：× √ × √ × × √ × 2.画出五边形ABCDE的位似五边形A'B'C'D'E'，且使写出两种方法即可. 解：作法一： (1)在五边形内任选一点O； (2)分别在线段 OA，OB，OC，OD ，OE上取点A′，B′，C′，D′，E′使得 (3)顺次连接点 A′，B′，C′，D′，E′所得五边形A′B′C′D′E′就是所求图形． 作法二： (1)在五边形外任选一点O； (2)分别在线段 OA，OB，OC，OD，OE上取点 A′，B′，C′，D′，E′使得 (3)顺次连接点 A′，B′，C′，D′，E′， 所得五边形A′B′C′D′E′就是所求图形． 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第99页习题22.4 第1、2题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共22张PPT)
22.4 图形的位似变换
第1课时
学习目标
图形的位似变换
准备好了吗？一起去探索吧！
1.掌握位似图形的定义，了解位似与相似的区别与联系.
2.掌握位似的性质，并且能够利用位似将一个图形成比例扩大或缩小.
3.充分体会相似与位似的相似之处，借助相似的性质类比得到位似的性质.
4.通过“一般到特殊”的方法，类比相似来研究位似，体会数学学科的一般研究方法，加强数学核心素养的培养.
复习回顾
情境引入
在日常生活中，经常见到这样的现象．
(1)放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.
(2)照相时，摄影师通过照相机，把建筑物的形象缩小在底片上.
如何把一个图形进行放大或缩小呢？
合作探究
你知道如何把四边形ABCD放大为原来的2倍吗？
A ′
B ′
C ′
D ′
A
B
C
D
O
(1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
(2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使
方法一：
(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求.
请你试着
画一画！
合作探究
你知道如何把四边形ABCD放大为原来的2倍吗？
A
B
C
D
(1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
(2)分别以点A，B，C，D为端点作射线AO，BO，CO，DO；
(3)分别在射线AO，BO，CO，DO上取点A′，B′，C′，D′，使
方法二：
(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求.
A ′
B ′
C ′
D ′
还可以这样画！
O
思考
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
O
A ′
B ′
C ′
D ′
A
B
C
D
O
如下图，所得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，你能说明道理吗？
再结合相似图形的判定定理，易得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD.
归纳总结
位似图形
一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)
那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心.
所有对应点的连线通过同一点
位似中心与对应点的距离比相等
概念理解
思考1：位似图形和相似图形有怎样的区别与联系呢？
(2)相似图形不一定是位似图形，当相似图形的对应点连线交于同一点(该点是位似中心)时，就是位似图形.
A
C
B
相似图形
位似图形
(1)位似图形一定相似，它是特殊的相似图形；
概念理解
思考2：如何判断一组图形是位似图形？下面各组图形是位似图形吗？
答：都是位似图形.
①两图形相似；
总结：同时满足以下两个条件的图形叫做位似图形．
②每组对应点的连线都经过同一点．
归纳总结
位似图形的特点
(1)对应顶点的连线必过位似中心，即对应点和位似中心在一条直线上；
(2)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
(3)位似一定相似，相似不一定位似；
(4)位似图形的对应线段平行或在一条直线上.
O
做一做
图形的位似，也可用于把图形缩小.你能例举一个实际生活中的例子吗？
用小平板仪测绘小范围区域图
A
B
C
D
选定一个小区：如图，四边形ABCD是一个待测绘的小区.
①在区域内选一个测绘点O(如图)，并测出OA，OB，OC，OD的长度；
②将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O；
A1
B1
C1
D1
O1
③由O1对准点A，B，C，D在纸上作射线O1A，O1B，O1C，O1D；
④分别在射线O1A，O1B，O1C，O1D上截取O1A1，O1B1，O1C1，O1D1上，使得
⑤依次连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，四边形A1B1C1D1就是该小区的平面图.
在画位似图形的时候，位似中心一般怎么选取？
思考
位似中心在图上
位似中心在图外
位似中心在图外
位似中心还可以在4个顶点处，如图所示：
位似中心还可以在哪呢？
归纳总结
画位似图形的一般步骤
(1)确定位似中心；
(2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点；
(3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点；
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
典型例题
分析：因为位似比是1:5，所以新图形是按比例缩小的.
(1)当位似中心在△ABC的一条边AB上时，新图形在三角形内部；
(2)当点C为位似中心时，新图形在三角形的内部.
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
B
A
C
典型例题
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
B
A
C
o
●
作图步骤：
①在边AB上任取一点O，连接OC；
●
A'
●
B'
②分别在OA、OB、 OC上取线段的五等分点A'、B'、C'.
●
C'
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求.
典型例题
例 如图，已知△ABC，画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且使位似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
(2)以点C为位似中心.
C
B
A
●
A'
●
B'
●
(C')
作图步骤：
①以点C为位似中心，C的对应点是它本身；
②在AC、BC上取线段的五等分点A'、B'；
③顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，三角形A'B'C'即为所求.
抢答
随堂练习
1. 判断正误.
(1)两个位似图形可以有多个位似中心( )
(2)任意的位似图形都是相似形( )
(3)位似中心的位置，决定了位似比与1的大小关系( )
(4)相似图形不一定是位似图形( )
(5)位似中心不可能在图形上( )
(6)相似图形同时一定是位似图形( )
(7)位似比等于位似图形的周长比( )
(8)两个位似图形的面积比等于它们的位似比( )
√
√
×
√
×
×
×
×
抢答
随堂练习
2. 画出五边形ABCDE的位似五边形A'B'C'D'E'，且使 写出两种方法即可.
解：作法一：
(1)在五边形内任选一点O；
(3)顺次连接点 A′，B′，C′，D′，E′所得五边形A′B′C′D′E′就是所求图形．
C
B
A
D
E
O
A ′
B′
C ′
D ′
E′
(2)分别在线段 OA，OB，OC，OD ，OE上取点
A′，B′，C′，D′，E′使得
抢答
随堂练习
2. 画出五边形ABCDE的位似五边形A'B'C'D'E'，且使 写出两种方法即可.
解：作法二：
(1)在五边形外任选一点O；
(3)顺次连接点 A′，B′，C′，D′，E′，
所得五边形A′B′C′D′E′就是所求图形．
C
B
A
D
E
A ′
E ′
D ′
C ′
B ′
(2)分别在线段 OA，OB，OC，OD，OE
上取点 A′，B′，C′，D′，E′使得
O
图形的位似变换
位似图形的定义：
画位似图形的一般步骤：
一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)
那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心.
(1)确定位似中心；
分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点；
(3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点；
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
教科书第99页习题22.4
第1、2题
再见22.4 图形的位似变换
第2课时
一、教学目标
1. 掌握图形的位似变化与对应点坐标变化的规律.
2. 通过坐标的变化表示图形关于原点的位似变换.
3. 体会平移、轴对称、旋转、位似这四种图形变换的异同之处，培养数学思想的应用意识.
4. 通过“类比”的研究方法，对比其他变换来研究位似的坐标表示，加强数学核心素养的培养.
二、教学重难点
重点：掌握图形的位似变化与对应点坐标变化的规律.
难点：通过坐标的变化表示图形关于原点的位似变换.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 画位似图形的一般步骤什么？ (1)确定位似中心； (2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点； (3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点； (4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 请你试着把三角形ABC放大为原来的3倍. 按照画位似图形的步骤如下画出： 如果把位似图形放到平面直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？ 今天我们一起来探究！ 学生思考并积极回答. 回顾旧知，既是对旧知识的巩固，也是为新知的学习做铺垫.
环节二 探究新知 【合作探究】 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ ①连接OA，OB，OC，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′，使 ②连接顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，那么△A'B'C'就是所求△ABC的位似图形. 得到A'(3，3)，B'(9，6)，C'(12，3). 得到的△A'B'C'被称为是△ABC的正向位似图形，你能总结概括一下吗？ 【归纳总结】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0). 利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似比为k(k>0)的同向位似图形. 如果这里的k＜0呢？看看结果如何？ 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为–3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 根据前边得到的结论“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0)”进行画图如下： 得到的△A'B'C'被称为是△ABC的反向位似图形，你能总结概括一下吗？ 【归纳总结】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似图形. 原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k＜0). 正向位似变换和反向位似变换的结果有什么不同？ (学生自主发言) 【思考】 思考1：将下图中△ABC，按(x，y)→(x，y)的方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标.画出变换后图形，它与原图形有何关系？ 根据题目中对横纵坐标变换的要求得到下图： 满足位似图形的两点要求，所以△A'B'C'是△ABC的位似图形. 思考2：将下图中△ABC，按(x，y)→(3x，y)或(x，3y)的方式变换，画出变换后图形，它们与原图形相似吗？ 根据题目中对横纵坐标变换的要求得到下图： 显然，△A1B1C1与△ABC不相似， △A2B2C2与△ABC也不相似. 【归纳总结】 总结：在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换. 学生尝试用学过的知识思考，并回答. 学生小组交流，汇总并举手发言. 学生思考并回答. 学生实际操作画一画，再集体讨论汇总结论. 经历探索位似图形的画法，得出对应点坐标的关系，使学生体会用坐标表示图形变换的重要性，学会知识的迁移，提高分析问题，解决问题的能力. 进一步加深对正、反向位似变换的认识和理解. 通过两个问题的思考，进一步探究位似变换图形的特点和判断.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (2，4)，B (2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标. 分析：根据前面的结论可知，一共有2个位似图形. 如：点 A 的其中一个对应点 A′ 的坐标为：，即(3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 解：根据位似图形的性质可知，共有2个三角形. 利用位似中对应点坐标的变化规律，可得 A1：=(3，6)， B1：=(3，0)， O：=(0，0). 顺次连接点A′，B′，O，即为所求的三角形； 同理可得，另一个三角形的三个顶点坐标是： A2(3，6)， B2(3，0)，O (0，0). 学生思考、计算并回答. 通过典型例题的分析，加深、巩固对图形的位似变换的理解，以及提高学生的解决问题的能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 下列说法正确的是( ) A. 相似的两个五边形一定是位似图形 B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形 C. 两个位似图形一定是相似图形 D. 所有的正方形都是位似图形 答案：C 2. 在平面直角坐标系中将某个图形上的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 答案：C 3. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，2)，B (4，5)，C (5，2)，以原点 O 为位似中心将这个三角形放大为原来的 2 倍． 解：满足要求的图形有两种情况： 第一种情况： A' (4，4)，B' (8，10)，C' (10，4)； 第二种情况： A″ (4，4)，B″ (8，10)，C″ (10，4). 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 注：在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换. 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第98页练习 第1、2题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共19张PPT)
22.4 图形的位似变换
第2课时
学习目标
平面直角坐标系中图形的位似变换
准备好了吗？一起去探索吧！
1. 掌握图形的位似变化与对应点坐标变化的规律.
2. 通过坐标的变化表示图形关于原点的位似变换.
3. 体会平移、轴对称、旋转、位似这四种图形变换的异同之处，培养数学思想的应用意识.
4. 通过“类比”的研究方法，对比其他变换来研究位似的坐标表示，加强数学核心素养的培养.
复习回顾
回顾
画位似图形的一般步骤什么？
(1)确定位似中心；
(2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点；
(3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点；
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
思考
请你试着把三角形ABC放大为原来的3倍.
如果把位似图形放到平面直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
O
A
B
C
A′
B′
C′
合作探究
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
A′
B′
C′
①连接OA，OB，OC，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′，使
②连接顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，那么△A'B'C'就是所求△ABC的位似图形.
A'(3，3)
B'(9，6)
C'(12，3)
归纳总结
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似
中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么
同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形
上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似
比为k(k>0)的同向位似图形.
如果这里的k＜0呢？
合作探究
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为–3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
A′
B′
C′
A'(–3，–3)
B'(–9，–6)
C'(–12，–3)
x
y
1 2 3 4
–4 –3 –2 –1
2
1
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
O
归纳总结
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位
似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似
图形.
原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点
的坐标为(kx，ky)(k＜0).
正向位似变换和反向位似变换的结果有什么不同？
思考1：将下图中△ABC，按(x，y)→(x，y)的方式变换，求变换后所得图形中对应点的坐标.画出变换后图形，它与原图形有何关系？
思考
A
B
C
A′
B′
C′
A'(，)
B'(，1)
C'(2 ，)
x
y
1 2 3 4
–4 –3 –2 –1
2
1
O
△A'B'C'是△ABC的位似图形.
2
1
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
思考2：将下图中△ABC，按(x，y)→(3x，y)或(x，3y)的方式变换，画出变换后图形，它们与原图形相似吗？
思考
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
–4 –3 –2 –1
△A1B1C1与△ABC不相似， △A2B2C2与△ABC也不相似.
A2
B2
C2
归纳总结
在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换.
典型例题
分析：根据前面的结论可知，一共有2个位似图形.
如：点 A 的对应点 A′ 的坐标为：
，即( 3，6)，类似地，
可以确定其他顶点的坐标.
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( 2，4)，B ( 2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标.
2
4
6
2
2
4
x
y
A
B
O
典型例题
解：根据位似图形的性质可知，共有2个三角形.
利用位似中对应点坐标的变化规律，可得
A1 ： =( 3，6) ，
B1： =( 3，0) ，
O： =(0，0).
顺次连接点A′，B′，O，即为所求的三角形；
同理可得，另一个三角形的三个顶点坐标是： A2(3， 6)， B2(3，0)，O (0，0).
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( 2，4)，B ( 2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标.
2
4
6
2
2
4
x
y
A
B
O
抢答
随堂练习
1. 下列说法正确的是( )
A. 相似的两个五边形一定是位似图形
B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形
C. 两个位似图形一定是相似图形
D. 所有的正方形都是位似图形
C
抢答
随堂练习
2. 在平面直角坐标系中将某个图形上的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
抢答
随堂练习
C
解：A' (4， 4)，B' (8， 10)，
C' (10， 4)；
B'
A'
C'
A"
B"
C"
A″ ( 4，4)，B″ ( 8，10)，
C″ ( 10，4).
6
8
8
10
6
8
8
10
10
O
2
4
6
4
x
y
A
B
2
2
2
4
4
3. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2， 2)，B (4， 5)，C (5， 2)，以原点 O 为位似中心将这个三角形放大为原来的 2 倍．
平面直角坐标系中图形的位似变换
同向位似图形：
反向位似图形：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似图形.
原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k＜0).
利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似比为k(k>0)的同向位似图形.
注：在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换.
教科书第98页练习
第1、2题
再见
