湘教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质 课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第2章　三角形
2.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1.掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、等边对等腰.
2.知道等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
3.能运用等腰三角形的相关性质，解决相关问题.
◎重点:等腰三角形的性质定理及其证明.
◎难点:等腰三角形性质的应用.
　　金字塔是古埃及文明的象征，是世界七大奇迹之一.金字塔，阿拉伯的文意为“方椎体”，它的四面都是等腰三角形，这样的三角形有很多特别之处.本节课就让我们一起来探索有关等腰三角形的奥秘吧！
等腰三角形的轴对称性
阅读课本本课时“探究”内容，解决下列问题.
1.课堂操作:有两条边相等的三角形叫等腰三角形.试画一个等腰三角形，并剪下，将其对折.等腰三角形是轴对称图形吗？对称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
2.通过上述的“操作”，试观察右图，AD为折痕(即对称轴)，思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什么特殊线段？
能，是底边上的中线.
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什么特殊线段？
能，是顶角∠CAB的平分线.
(4)∠ADC与∠ADB能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什么特殊线段？
能，是底边上的高.
　　归纳总结　(1)等腰三角形是　轴对称图形　，对称轴平分顶角；(2)等腰三角形　三线　合一；(3)等腰三角形两底角　相等　，简称“　等边对等角　”.
轴对称图形　
三线　
相等　
等边对等角　
　在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(　D　)
A.70° B.55° C.50° D.40°
D
等边三角形的性质
阅读课本本课时“动脑筋”至“议一议”内容，解决下列问题.
1.旧知回顾:　三条边都相等　的三角形是等边三角形.
2.讨论:(1)等边三角形是等腰三角形吗？符合“等边对等角”的性质吗？
是，符合.
三条边都相等　
(2)由“等边对等角”可知等边三角形的三个内角都　相等　，由三角形的内角和为180°可知等边三角形的每个内角都为　60°　.
归纳总结　等边三角形符合等腰三角形的所有性质，并且等边三角形三个内角　相等　，每个内角都等于　60°　.
相等　
60°　
相等　
60°　
3.课本“议一议”中，AD⊥BC运用了等腰三角形　三线合一　的性质；由于AD是铅垂线，与水平面　垂直　，所以BC与水平面平行.
三线合一　
垂直　
1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(　B　)
A.36° B.54°
C.18° D.64°
B
2.下列说法不．．正．．确．．的是(　D　)
A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角
B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角
C.等腰三角形顶角平分线垂直底边，平分底边
D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角
D
3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝　30　°.
30　
4.如图，已知D为△ABC的边AB的中点，E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于(　B　)
A.65° B.50° C.60° D.55°
B
5.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，∴AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，∴AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.∴QM＝QN.
方法归纳交流　等腰三角形底边中线、　顶角平分线　、　底边上高　，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
顶角平分线　
底
边上高　
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角相等，是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个
角相等以及两条直线互相垂直的重要依据，作高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D.求证:∠BAC＝2∠DCB.
证明:如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴∠1＝∠2＝∠BAC.
∵AB＝AC，∴∠1＝∠2＝∠BAC.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠3＋∠B＝90°，
∵∠1＋∠B＝90°，∴∠1＝∠3，
∴∠BAC＝2∠DCB.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠3＋∠B＝90°，
∵∠1＋∠B＝90°，∴∠1＝∠3，
∴∠BAC＝2∠DCB.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.
解:DE∥AF.证明如下:
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD).
∴∠AED＝∠CAF，∴DE∥AF.
3.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.
解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE，∴∠A＝∠DEA＝x，∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x，
∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°，解得x＝45°.
1等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 (　C　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.6条
C
2等腰三角形的一边长等于3，另一边长等于6，则此三角形的周长等于 (　C　)
A.12 B.12或15
C.15 D.15或18
C
3下列说法中，正确的有 (　D　)
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形两底角相等；③等腰三角形是轴对称图形；④等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
4如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为 (　C　)
C
A.36° B.60°
C.72° D.108°
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是　50°，80°或65°，65°　.
50°，80°或65°，65°　
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分线和高共有(重合的算一条) (　 C　)
A.9条 B.3条
C.7条 D.3条或7条
C
7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数是 (　C　)
C
A.45° B.52.5°
C.67.5° D.75°
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝　52　度.
52　
9如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝40°，那么∠BCE＝　40°　.
40°　
10如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由.
解:猜想:AE⊥BC，BD＝CD.
∵AB＝AC(已知)，OB＝OC(已知)，AO＝AO(公共边)，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，∴∠BAO＝∠CAO，
∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合).
11如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
(1)若∠BAC＝30°，求证:AD＝BD；
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
解:(1)证明:∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，
∴∠BAC＝∠ABD，∴BD＝AD.
(2)∵∠C＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴(∠BAC＋∠ABC)＝45°.
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠DBC＝∠ABC，∠PAC＝∠BAC，
∴∠DBC＋∠PAD＝45°.
∴∠BPA＝∠PDA＋∠PAD＝∠DBC＋∠C＋∠PAD＝∠DBC＋∠PAD＋∠C＝45°＋90°＝135°.