数学人教A版2019选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共23张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版2019选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程（共23张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-04 17:23:12 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
直线
2.4.1 圆的标准方程
复习引入
l
思考1：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
l
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.
新知探索
我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合
.
新知探索
根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件
可以表示为，两边平方，得
.(1)
由上述方程可知，若点在上，点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.这时，我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
新知探索
答案：×，×，×.
辨析1.判断正误.
(1)方程一定表示圆.( )
(2)圆的圆心坐标是，半径是.( )
(3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是.( )
答案：C.
辨析2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ).
A. B.
C. D.
例析
例1.求圆心为，半径为的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为的圆的标准方程是
把点的坐标代入方程
的左边，得，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程
的左边，得，左右两边不相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
新知探索
问题1.点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？若圆的标准方程为呢？
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
例析
例2.的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是①
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例析
例3.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，
所以.① 因为，是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.② 由①②可得，.
所以圆心的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
例析
例3.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
解法二：如图，设线段的中点为.由两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为.
因此，线段的垂直平分线的方程是，
即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分
线上，所以它的坐标是方程组的解.解得
所以圆心的坐标是.圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
练习
题型一：直接法求圆的标准方程
例1.(1)以和两点为直径端点的圆的方程是( ).
A. B.
C. D.
答案：D.
解：∵为直径，
∴的中点为圆心，
为半径，
∴该圆的标准方程为.
练习
例1.(2)与轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为__________.
答案：.
解：∵圆心坐标为，又与轴相切
∴该圆的半径为，
∴该圆的标准方程为.
练习
方法技巧：
用直接法求圆的标准方程的策略
(1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等.
练习
变1.已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为___________.
答案：.
解：设圆心坐标为，
由题意知，解得，
则圆的半径为.
∴圆的标准方程为.
练习
题型二：待定系数法求圆的标准方程
例2.求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程.
解：设圆的标准方程为，
则有解得
∴圆的标准方程是.
练习
方法技巧：
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(1)设方程：设所求圆的方程为.
(2)列方程组：由已知条件，建立关于，的方程组.
(3)解方程组：解方程组，求出
(4)得方程：将代入所设方程，得所求圆的方程.
练习
变2.已知某圆圆心在轴上，半径长为，且截轴所得线段长为，求该圆的标准方程.
解：由题意设所求圆的方程为.
∵圆截轴线段长为，
∴圆过点
代入方程得，∴.
∴所求圆的方程为或.
练习
题型三：点与圆位置关系的判断
例3.已知圆心在点，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点，
，和圆的位置关系.
解：∵圆心是，且经过原点，
∴圆的半径，
∴圆的标准方程是.
因为，所以在圆内；
因为，所以在圆上；
因为，所以在圆外.
练习
方法技巧：
判断点与圆位置关系的两种方法
几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断.
练习
变3.已知圆的标准方程为.
(1)若点在圆上，求的值；
(2)已知点和点，线段(不含端点)与圆有且只有一个公共点，求的取值范围.
解：(1)∵点在圆上，∴.
又，可得
(2)由两点间的距离公式可得，
.
因为线段与圆有且只有一个公共点，
所以，两点一个在圆内，另一个在圆外，
又，所以.即的取值范围是.
课堂小结
1.圆的标准方程：
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示.
(3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆.
课堂小结
2.点与圆的位置关系：
圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则：
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P85的练习1、3、4题；
(3)课本P88习题2.4第1、2、3、4题.
直线
2.4.1 圆的标准方程
复习引入
l
思考1：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
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多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.
新知探索
我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，就是以下点的集合
.
新知探索
根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件
可以表示为，两边平方，得
.(1)
由上述方程可知，若点在上，点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.这时，我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
新知探索
答案：×，×，×.
辨析1.判断正误.
(1)方程一定表示圆.( )
(2)圆的圆心坐标是，半径是.( )
(3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是.( )
答案：C.
辨析2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ).
A. B.
C. D.
例析
例1.求圆心为，半径为的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上.
解：圆心为，半径为的圆的标准方程是
把点的坐标代入方程
的左边，得，左右两边相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程
的左边，得，左右两边不相等，
点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
新知探索
问题1.点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？若圆的标准方程为呢？
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
例析
例2.的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
解：设所求的方程是①
因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
例析
例3.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，
所以.① 因为，是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.② 由①②可得，.
所以圆心的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
例析
例3.已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
解法二：如图，设线段的中点为.由两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为.
因此，线段的垂直平分线的方程是，
即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分
线上，所以它的坐标是方程组的解.解得
所以圆心的坐标是.圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
练习
题型一：直接法求圆的标准方程
例1.(1)以和两点为直径端点的圆的方程是( ).
A. B.
C. D.
答案：D.
解：∵为直径，
∴的中点为圆心，
为半径，
∴该圆的标准方程为.
练习
例1.(2)与轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为__________.
答案：.
解：∵圆心坐标为，又与轴相切
∴该圆的半径为，
∴该圆的标准方程为.
练习
方法技巧：
用直接法求圆的标准方程的策略
(1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等.
练习
变1.已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的标准方程为___________.
答案：.
解：设圆心坐标为，
由题意知，解得，
则圆的半径为.
∴圆的标准方程为.
练习
题型二：待定系数法求圆的标准方程
例2.求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程.
解：设圆的标准方程为，
则有解得
∴圆的标准方程是.
练习
方法技巧：
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(1)设方程：设所求圆的方程为.
(2)列方程组：由已知条件，建立关于，的方程组.
(3)解方程组：解方程组，求出
(4)得方程：将代入所设方程，得所求圆的方程.
练习
变2.已知某圆圆心在轴上，半径长为，且截轴所得线段长为，求该圆的标准方程.
解：由题意设所求圆的方程为.
∵圆截轴线段长为，
∴圆过点
代入方程得，∴.
∴所求圆的方程为或.
练习
题型三：点与圆位置关系的判断
例3.已知圆心在点，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点，
，和圆的位置关系.
解：∵圆心是，且经过原点，
∴圆的半径，
∴圆的标准方程是.
因为，所以在圆内；
因为，所以在圆上；
因为，所以在圆外.
练习
方法技巧：
判断点与圆位置关系的两种方法
几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断.
练习
变3.已知圆的标准方程为.
(1)若点在圆上，求的值；
(2)已知点和点，线段(不含端点)与圆有且只有一个公共点，求的取值范围.
解：(1)∵点在圆上，∴.
又，可得
(2)由两点间的距离公式可得，
.
因为线段与圆有且只有一个公共点，
所以，两点一个在圆内，另一个在圆外，
又，所以.即的取值范围是.
课堂小结
1.圆的标准方程：
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示.
(3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆.
课堂小结
2.点与圆的位置关系：
圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则：
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P85的练习1、3、4题；
(3)课本P88习题2.4第1、2、3、4题.