数学人教A版2019选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系（共20张ppt）

(共20张PPT)
直线
2.5.2 圆与圆的位置关系
复习引入
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前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
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我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
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思考1：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
例析
例5.已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.
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解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组
，得, ③
由③，得.把上式代入，并整理，得 ④
方程④的根的判别式，
所以，方程④有两个不相等的实数根，.
把，分别代入方程③，得到，.
因此圆与圆有两个公共点，，这两个圆相交.
例析
例5.已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.
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解法2：将圆的方程化成标准方程，得
圆的圆心是，半径.
把圆的方程化成标准方程，得
圆的圆心是，半径.
圆与圆的圆心距为.
圆与圆的两半径之和，两半径长之差.
因为，即，
所以圆与圆相交(如图)，它们有两个公共点，.
新知探索
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思考2：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当时，两圆是什么位置关系？
代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断.联立圆和圆的方程，得到方程组后消元，得到一元二次方程，
若，则两圆相交；
若，则两圆内切或外切；
若，则两圆外离或内含.
例析
例6.已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍.试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系.
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解：如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴，
线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.
由，得，.
设点的坐标为，由，得
，化简，得，
即.
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.
因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，
又，所以点的轨迹与圆相交.
新知探索
答案：×，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( )
(2)若两圆外切，则两圆有且仅有一个公共点，反之也成立.( )
(3)若两圆有公共点，则.( )
答案：C.
辨析2.圆与圆的位置关系是( ).
A.相交 B.外离 C.外切 D.内切
练习
题型一：圆与圆位置关系的判断
例1.已知两圆和圆.
(1)当为何值时，两圆外切；(2)当时，试判断两圆的位置关系.
解：将两圆的方程写成标准方程为所以两圆的圆心和半径分别为
设两圆的圆心距为，则
(1)当，即时，两圆外切，
此时或.
(2)当时，
因为，所以两圆相交.
练习
方法技巧：
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离；
③通过，的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.
练习
变1.已知圆，圆().试求为何值时，两圆，的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.
解：圆，的方程，经配方后可得
所以圆心和半径分别为，.
所以.
(1)当，即时，两圆外切；
当即时，两圆内切.
(2)当，即时，两圆相交.
(3)当，即时，两圆外离.
(4)当，即时，两圆内含.
练习
题型二：与两圆相交的有关问题
例2.已知两圆和圆
(1)判断两圆的位置关系；
解：(1)将两圆的方程写成标准方程为
.
所以两圆的圆心和半径分别为
又∵
，，
∴
∴两圆相交.
练习
题型二：与两圆相交的有关问题
例2.已知两圆和圆
(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为
(3)法一：由(2)知圆的圆心到直线的距离
，
∴公共弦长为.
法二：设两圆相交于与点，则，两点满足方程组解得或
∴.即公共弦长为.
练习
方法技巧：
1.当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆与圆
相交，则两圆公共弦所在的直线方程为.
2.公共弦长的求法：
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
练习
变2.圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为_________.
解：由题意将两圆的方程相减，可得圆和圆公共弦所在的直线的方程为.
又圆的圆心坐标为，
其到直线的距离为，
答案：
由条件知，，
所以弦长为.
练习
题型三：与两圆相切有关的问题
例3.求与圆且与直线相切于点的圆的方程.
解：圆的方程可化为，圆心，半径为，
设所求圆的方程为，
由题意可得解得或
所以所求圆的方程为或.
练习
方法技巧：
处理两圆相切问题的步骤：
1.定性：即必须正确把握是内切还是外切，若只告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论.
2.转化：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
练习
变3.若圆与圆相切，则的值为( ).
A. B. C.或 D.或
解：据题意，得
圆与圆的圆心距为.
当两圆外切时，有，∴；
当两圆内切时，有，所以.
答案：D.
课堂小结
圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为，，两圆心连线的长为，则两圆的位置关系的判定方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
与的关系
课堂小结
圆与圆位置关系的判定
(1)代数法：通过两圆方程组成的方程组的公共解的个数进行判断.联立圆和圆的方程，得到方程组后消元，得到一元二次方程，
若，则两圆相交；
若，则两圆内切或外切；
若，则两圆外离或内含.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P98的练习1、2题；
(3)课本P98习题2.5第7、9、10、13、14题.