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3.1.2 椭圆的几何性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
知识点二 椭圆的离心率
椭圆的离心率：e＝∈(0,1)．
注意点：
(1)e＝＝.
(2)离心率的范围为(0,1)．
(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞) B.(－∞，－2)
C.(3，＋∞)∪(－∞，－2) D.(3，＋∞)∪(－6，－2)
答案：D
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以，即，解得a>3或－6
2.焦点在y轴上的椭圆mx2＋y2＝1的离心率为，则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：椭圆的方程mx2＋y2＝1化为标准方程为＋y2＝1，由题意得，a2＝1，b2＝，∴c2＝a2－b2＝1－，∴离心率e＝＝＝，∴m＝4.
3.椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0A.等长的长轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.等长的短轴
答案：B
解析：依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝，椭圆的方程为＋＝1.
5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b＝c，a2－c2＝c2，∴e＝.
6.已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，∵∠ABF＝90°，∴kAB·kBF＝－1，∴＝1，即b2＝ac.∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，∴e＝－(舍)或e＝.
7.已知A＝{1,2,4,5}，a、b∈A，则方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵a、b∈A，∴不同的方程＋＝1共有16个．由题意a28.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.
9.若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
答案：C
解析：由题意得点F(－1,0)．设点P(x0，y0)，则有＋＝1，可得y＝3.∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，∴·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3.此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝6.
10.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A. B. C.－ D.－1
答案：D
解析：设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，设|F1F2|＝2c，|AF1|＝c，|AF2|＝c(c>0), |AF1|＋|AF2|＝2a c＋c＝2a，e＝＝＝－1.
二、填空题
11.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
答案：
解析：方法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，
等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
12.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
答案：＋＝1或＋＝1
解析：因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
13.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
答案：
解析：由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，因为e＝，014.经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．
答案：＋＝1或＋＝1
解析：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
15.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
答案：
解析：如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，＝a.解得＝，则离心率e＝.
三、解答题
16.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
∵m－＝>0，∴m>.
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝得，＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1(0，－)、B2(0，)．
17.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.
18.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
解：(1)由题意得：，解得：.
所以椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)，
设直线l：x＝2上的不同两点A、B的坐标分别为A(2，y1)、B(2，y2)，
则＝(－3，－y1)、＝(－，－y2)，由·＝0得y1y2＋6＝0，
即y2＝－，
设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，当y1＝、y2＝－时取等号，
所以|AB|的最小值是2.
19.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
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知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
注意点：
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
知识点二 椭圆的离心率
椭圆的离心率：e＝∈(0,1)．
注意点：
(1)e＝＝.
(2)离心率的范围为(0,1)．
(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞) B.(－∞，－2)
C.(3，＋∞)∪(－∞，－2) D.(3，＋∞)∪(－6，－2)
2.焦点在y轴上的椭圆mx2＋y2＝1的离心率为，则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1 (0A.等长的长轴 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.等长的短轴
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知A＝{1,2,4,5}，a、b∈A，则方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
9.若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
10.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A. B. C.－ D.－1
二、填空题
11.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
12.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是__________．
13.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
14.经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．
15.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
三、解答题
16.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
17.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
18.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
19.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
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