2.4 圆周角强化提优训练（二）(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上《2.4 圆周角》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 下列说法中正确的是(　　)
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A＝40°，则∠C＝( )
A.110° B.120° C.135° D.140°
第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 第7题图
3.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( )
A.80° B.120° C.100° D.90°
4.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心.若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为( )
A. B. C. D.
5．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D的度数为(　　)
A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数为(　　)
A．110° B．100° C．120° D．90°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠AED的度数为(　　)
A．100° B．120° C．135° D．150°
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数为(　　)
A．30°　 B．35° C．45°　 D．60°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为(　　)
A．2－2 B．3－ C．4－ D．2
10. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(　　)
A．50° B．60° C．80° D．85°
二．填空题(30分)
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠A＝n°，则∠DCE＝______°.
12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是______.
13.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是_______.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝______.
15.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是________度.
16.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧上一点.若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED＝27°，则∠BCD的度数为________.
17.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝______.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.
19．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_______．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B、C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF、CF、CE，若∠EDC＝135°，CF＝2，则AE2＋BE2的值为_______.
三。解答题（60分）
21.（6分）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若DA＝DE，求证：△BCE是等腰三角形.
22.（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点E在上，求∠E的度数.
23．(6分) 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
24．(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
25．(8分) 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.
(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.
26.（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.
(1)若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
(2)若AC＝EC，求证：AD＝BE.
27.（8分）如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.
(1)求证：DE＝AF；
(2)若⊙O的半径为，AB＝＋1，求的值.
28.（10分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
(1)如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；
(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE，请你说明理由；
(3)如图②，若点E在上，写出线段DE，BE，AE之间的等量关系，请你说明理由.
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 下列说法中正确的是(　B　)
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠A＝40°，则∠C＝(D)
A.110° B.120° C.135° D.140°
第2题图 第3题图 第4题图 第6题图 第7题图
3.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)
A.80° B.120° C.100° D.90°
4.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心.若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为(D)
A. B. C. D.
5．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，则∠D的度数为(　C　)
A．67.5° B．135° C．112.5° D．45°
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数为(　A　)
A．110° B．100° C．120° D．90°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠AED的度数为(　C　)
A．100° B．120° C．135° D．150°
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数为(　A　)
A．30°　 B．35° C．45°　 D．60°
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为(　C　)
A．2－2 B．3－ C．4－ D．2
10. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(　C　)
A．50° B．60° C．80° D．85°
二．填空题(30分)
11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠A＝n°，则∠DCE＝n°.
12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD.
13.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是120°.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°.
15.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是45度.
16.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，点D是劣弧上一点.若点E在直径AB另一侧的半圆上，且∠AED＝27°，则∠BCD的度数为117°.
17.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°.
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝___40_____°.
19．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝___2 _____．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B、C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF、CF、CE，若∠EDC＝135°，CF＝2，则AE2＋BE2的值为__16______.
三。解答题（60分）
21.（6分）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若DA＝DE，求证：△BCE是等腰三角形.
证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A＋∠DCB＝180°.又∵∠DCB＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠A.∵DA＝DE，∴∠A＝∠E.∴∠BCE＝∠E.∴△BCE是等腰三角形.
22.（6分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点E在上，求∠E的度数.
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＋∠BAD＝180°.∴∠BAD＝180°－110°＝70°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∴∠ABD＝×(180°－70°)＝55°.∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠E＋∠ABD＝180°.∴∠E＝180°－55°＝125°.
23．(6分) 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2AO＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径，∴⊙C的半径为4
24．(8分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD　
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径
25．(8分) 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E.
(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；
(2)求证：∠BAC＝2∠DAC.
【答案】 (1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝70°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.
(2)证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.
26.（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.
(1)若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
(2)若AC＝EC，求证：AD＝BE.
解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°.又∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＝86°，∴∠CBE＝∠ADC＝86°.
(2)证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE.∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAE.∴∠E＝∠DAC.
又∵∠ADC＝∠CBE，∴△ADC≌△EBC(AAS).∴AD＝BE.
27.（8分）如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.
(1)求证：DE＝AF；
(2)若⊙O的半径为，AB＝＋1，求的值.
解：(1)证明：连结EP，FP.∵四边形ABCD为正方形，∴AP＝BP，∠BAD＝90°，∠BPA＝90°.∴∠BPF＋∠FPA＝90°.∵四边形AFPE为⊙O的内接四边形，∴∠FPE＋∠BAD＝180°.∴∠FPE＝90°.∴∠FPA＋∠APE＝90°.∴∠BPF＝∠APE.又∵∠FBP＝∠EAP＝45°，
∴△BPF≌△APE(ASA).∴BF＝AE.又∵AB＝AD，∴DE＝AF.
(2)设AE＝x，则BF＝AE＝x，DE＝AF＝AB－BF＝1＋－x.连结EF.∵∠BAD＝90°，∴EF为⊙O的直径.∵⊙O的半径为，∴EF＝.在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AF2＋AE2＝EF2.∴(1＋－x)2＋x2＝()2.解得x1＝1，x2＝.当AE＝1时，DE＝1＋－1＝，＝；当AE＝时，DE＝1＋－＝1，＝.综上所述，的值为或.
28.（10分）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
(1)如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE；
(2)在(1)的条件下，小明还发现线段DE，BE，AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE，请你说明理由；
(3)如图②，若点E在上，写出线段DE，BE，AE之间的等量关系，请你说明理由.
解：(1)证明：∵所对的圆周角是∠ADE和∠ABE，∴∠ADE＝∠ABE.在△ADF和△ABE中，∴△ADF≌△ABE(SAS)．
(2)由(1)得△ADF≌△ABE，∴AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝AE，即DE－DF＝AE，∴DE－BE＝AE.
(3)BE－DE＝AE.理由如下：在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF.同理可证明△ADE≌△ABF，△EAF是等腰直角三角形，∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF，EF2＝AE2＋AF2＝2AE2，∴EF＝AE，即BE－BF＝AE，∴BE－DE＝AE.