21.2 解一元二次方程同步练习(含解析)

21.2 解一元二次方程（巩固训练）-人教版九年级上册（带答案）
一．选择题
．一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（　　）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
．对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（　　）
A．2 B． C．﹣ D．
．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1 x2＝6，则该一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（　　）
A．2023 B．2021 C．2026 D．2019
．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
．对于二次三项式x2+mxy﹣2x（m为常数），下列结论正确的个数有（　　）
①当m＝﹣1时，若x2+mxy﹣2x＝0，则x﹣y＝2
②无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，则（x+my）2＝25
③若x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，则x+y＝1+
④满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解（x，y）共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2，A B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二．填空题
．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　 　．
．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
．若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝　 　．
．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝　 　．
三．解答题
．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是方程x2﹣2x＝0的解．
．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，①用数学关系式可以表示为 　 　；
A．
B．
C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为4，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，①用数学关系式可以表示为 　 　；
A．
B．
C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
．在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；
解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0
∴，解得．请解决以下问题：
（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求yx的值；
（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？
．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2+6n+9）＝0，
∴（m﹣n）2+（n+3）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n+3）2＝0，
∴m＝﹣3，n＝﹣3．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，求Rt△ABC的斜边上的高h的值；
（2）已知x﹣y＝6，z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，求x+y+z的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，
故选：A．
．【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝．
故选：D．
．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1 x2＝6，
∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，
故选：B．
．【解答】解：4x+
＝4x﹣4++4
＝4（x﹣1）++4，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，
∴4x+的最小值是8．
故选：B．
．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，
∴a2﹣b+2022
＝﹣a+3﹣b+2022
＝﹣（a+b）+2025
＝1+2025
＝2026．
故选：C．
．【解答】解：①当m＝n时，
∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，
解得，a＝8，
∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：m＝n＝3，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m＝4或n＝4时，
∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，
∴42﹣6×4+a+1＝0，
解得：a＝7，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：m＝2，n＝4，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
．【解答】解：∵x2+mxy﹣2x（m为常数）为二次三项式，
∴m≠0，
①当m＝﹣1时，x2﹣xy﹣2x＝0，
∴x（x﹣y﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣y＝2，故①错误；
②∵无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，
∴x2+mxy﹣5x＝0，
∴x+my﹣5＝0，
∴x+my＝5，
∴（x+my）2＝25，
故②正确；
③∵x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，
∴x2+xy﹣2x+y2+xy﹣2y＝14，
∴（x+y）2﹣2（x+y）﹣14＝0，
∴（x+y）＝1±，
故③错误；
④∵（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0，
∴x2+y2﹣2x﹣2y≤0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，
∴0≤（x﹣1）2≤2，0≤（y﹣2）2≤2，
∵x，y为整数，
∴满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个，
故④错误；
故选：A．
．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，
∴n＝±2，故结论正确；
②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
而（x+1）2+2n2≥0，
∴B﹣A≥2，故结论正确；
③∵A+B＝2，A B＝﹣6，
∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，
∴A﹣B＝±8，
根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；
⑤5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，
∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，
当A＝3，B＝2时有最小值为2022，
但是根据②B﹣A≥2，
∴结论错误．
故选B．
．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，
所以第三边长为3或，
故选：D．
．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
二．填空题
．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，
解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，
在等腰△ABC中，
①4为底时，则b＝a＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②4为腰时，b＝4，
∵2+4＞4，
∴能组成三角形，
∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．
综上可知，△ABC的周长是10．
故答案为：10．
．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
∴．
解得：．
∴a+b+c＝﹣1﹣2＝﹣．
故答案为：﹣．
．【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
三．解答题
．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣．
．【解答】解：（﹣a+1）÷
＝[﹣（a﹣1）]÷
＝
＝
＝
＝
＝﹣，
解方程x2﹣2x＝0得：x1＝0，x2＝2，
要使分式（﹣a+1）÷有意义，a+1≠0且a﹣2≠0，
所以a不能为﹣1和2，
∵a是方程x2﹣2x＝0的解，
∴a只能为0，
当a＝0时，原式＝﹣＝1．
．【解答】解：（1）①A；
②证明：
＝
＝
＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴；
（2）①A；
②证明：＝
＝
＝
＝，
∵≥0，
∴≥，
∴．
．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，
∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，
∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，
∴x+2y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣4，y＝2，
∴yx＝2﹣4＝；
（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，
解得：a＝6，b＝4，
由△ABC中最长的边是c，
∴6≤c＜10，
∵c为偶数，
∴c可能是6或8．
．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，
∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144＝0，
（a﹣5）2+（b﹣12）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣12＝0，
解得a＝5，b＝12，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，
∴c＝＝＝169，
∴h＝×5×12÷÷13＝．
故Rt△ABC的斜边上的高h的值为；
（2）∵z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，
∴z2﹣4z+4+（xy）2﹣14xy+49＝0，
（z﹣2）2+（xy﹣7）2＝0，
z﹣2＝0，xy﹣7＝0，
解得z＝2，xy＝7，
∵x﹣y＝6，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝36+28＝64，
∴x+y＝±8，
当x+y＝﹣8时，x+y+z＝﹣8+2＝﹣6；
当x+y＝8时，x+y+z＝8+2＝10．
故x+y+z的值是﹣6或10．