21.2 解一元二次方程（课后习题）(含答案)

21.2 解一元二次方程（课后习题）-人教版九年级上册（带答案）
一．选择题
．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
．对于二次三项式x2+mxy﹣2x（m为常数），下列结论正确的个数有（　　）
①当m＝﹣1时，若x2+mxy﹣2x＝0，则x﹣y＝2
②无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，则（x+my）2＝25
③若x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，则x+y＝1+
④满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解（x，y）共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2，A B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有（　　）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的正数根
C．两个不相等的负数根
D．一个正数根和一个负数根
已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（　　）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．7
下列配方中，变形正确的是（　　）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
二．填空题
．若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是　 　．
．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是　 　．
．将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为　 　．
．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是　 　．
．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．
三．解答题
．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
．先化简，再求值：+÷（x+2y+），其中x、y满足x2+2x+10+y2﹣6y＝0．
．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝　 　，b＝　 　；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；
（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
．小军根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究．下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
x … ﹣2 m 0 1 2 3 4 …
y … 2 4 2 n …
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；表中m的值为 　 　，n的值为 　 　．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，补全该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　 　．
（3）若关于x的方程无解，则k的取值范围是 　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：①当m＝n时，
∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，
解得，a＝8，
∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：m＝n＝3，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m＝4或n＝4时，
∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，
∴42﹣6×4+a+1＝0，
解得：a＝7，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：m＝2，n＝4，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
．【解答】解：∵x2+mxy﹣2x（m为常数）为二次三项式，
∴m≠0，
①当m＝﹣1时，x2﹣xy﹣2x＝0，
∴x（x﹣y﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣y＝2，故①错误；
②∵无论x取任何实数，等式x2+mxy﹣2x＝3x都恒成立，
∴x2+mxy﹣5x＝0，
∴x+my﹣5＝0，
∴x+my＝5，
∴（x+my）2＝25，
故②正确；
③∵x2+xy﹣2x＝6，y2+xy﹣2y＝8，
∴x2+xy﹣2x+y2+xy﹣2y＝14，
∴（x+y）2﹣2（x+y）﹣14＝0，
∴（x+y）＝1±，
故③错误；
④∵（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0，
∴x2+y2﹣2x﹣2y≤0，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，
∴0≤（x﹣1）2≤2，0≤（y﹣2）2≤2，
∵x，y为整数，
∴满足（x2+xy﹣2x）+（y2﹣xy﹣2y）≤0的整数解为（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）共9个，
故④错误；
故选：A．
．【解答】解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，
∴n＝±2，故结论正确；
②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
而（x+1）2+2n2≥0，
∴B﹣A≥2，故结论正确；
③∵A+B＝2，A B＝﹣6，
∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣4×（﹣6）＝64，
∴A﹣B＝±8，
根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；
⑤5A2+9B2﹣12A B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，
∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，
当A＝3，B＝2时有最小值为2022，
但是根据②B﹣A≥2，
∴结论错误．
故选B．
．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，
所以第三边长为3或，
故选：D．
．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，
∴一元二次方程2x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
设方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为e、f，则ef＝﹣5＜0，则e和f异号，
即方程有一个正数根和一个负数根，
故选：D．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝6不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故选：D．
【解答】解：x2+2x
＝x2+2x+1﹣1
＝（x+1）2﹣1，
A错误．
x2﹣4x﹣3
＝x2﹣4x+4﹣4﹣3
＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）
＝（x﹣2）2﹣7．
B错误．
2x2+4x+3
＝2（x2+2x）+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3
＝2（x+1）2﹣2+3
＝2（x+1）2+1．
C正确．
﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）
＝﹣（x2﹣2x+1）+1
＝﹣（x+1）2+1
D错误．
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝5，mn＝﹣2，
则m2+n2﹣mn
＝m2+n2+2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn
＝52﹣3×（﹣2）
＝25+6
＝31，
故答案为：31．
．【解答】解：x2﹣8x﹣5＝0，
x2﹣8x＝5，
x2﹣8x+42＝5+42，
（x﹣4）2＝21，
所以a＝﹣4，b＝21，
故答案为：﹣4，21．
．【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（）2＝﹣1+（）2，
（x﹣）2＝，
故答案为：（x﹣）2＝．
．【解答】解：方程2x2﹣9x+4＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x＝或x＝4，
当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，
则三角形周长为4+4+2＝10．
故答案为：10．
．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO 2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO BO＝12，AC BD＝2AO 2BO＝4AO BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB DH＝AC BD，
∴5DH＝，
∴DH＝．
故答案为：．
三．解答题
．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，
（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2＝，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
．【解答】解：原式＝+×，
＝+×，
＝+，
＝，
化简x2+2x+10+y2﹣6y＝0得，
（x+1）2+（y﹣3）2＝0，
∵（x+1）2、（y﹣3）2均大于或等于0，
∴（x+1）2、（y﹣3）2均等于0，
解得：x＝﹣1，y＝3，
代入得：原式＝﹣．
．【解答】解：（1）a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，
∴a+2b＝0，b+3＝0，
解得a＝6，b＝﹣3．
故答案为：6，﹣3；
（2）a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝a2﹣4a+4+2b2﹣4b+2＝（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝2，b＝1，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴1＜c＜3，
∵c是正整数，
∴c＝2；
（3）A＞B，理由如下：
∵A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，
A﹣B＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣（2a2+4a﹣6）＝3a2+3a﹣4﹣2a2﹣4a+6＝a2﹣a+2＝（a﹣）2+，
∵（a﹣）2≥0，
∴（a﹣）2+＞0，
∴A＞B．
．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
．【解答】解：（1）由表格把（0，2），（1，4）代入函数中得：
∴，
∴，
∴y＝，
∵（x﹣1）2+1＞0，
∴自变量的取值范围为全体实数；
当y＝时，＝，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴m＝﹣1，
当x＝4时，y＝＝，
∴n＝；
（2）图象如图所示，当x≥1时，y随x的增大而减小；
（3）如图，
当y＝2k﹣1＝4时，关于x的方程有唯一解，
当y＝2k﹣1＞4，即k＞时，关于x的方程无解．
∵y＝，且（x﹣1）2+1＞0，
∴y＞0，
∴当2k﹣1≤0即k≤时，关于x的方程无解，
∴k＞或k≤时，关于x的方程无解．
故答案为：（1）y＝，自变量的取值范围为全体实数；m＝﹣1，n＝；
（2）图象如图所示，当x≥1时，y随x的增大而减小；
（3）k＞或k≤．