24.1.2 垂直于弦的直径基础卷 (含答案)

24.1.2 垂直于弦的直径（基础卷）-人教版九年级上册（含答案）
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
3．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）
A． B．4 C． D．5
5．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
6．一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（　　）
A． B． C． D．
7．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
8．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A．5 B．2.5 C．3 D．2
10．如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，在点P运动的过程中，OQ的长度为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
二．填空题
．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝　 　．
．如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 　 　.（结果保留π）
．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．
．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 　 　，⊙C上的整数点有 　 　个．
．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝　 　．
三．解答题
．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．
．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．
．已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足．
（1）若AB＝AC，求证：四边形ADOE为正方形．
（2）若AB＞AC，判断OD与OE的大小关系，并证明你的结论．
．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD＝80°，B是的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD＝4cm，求AP+PB的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A．
2．【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
3．【解答】解：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°，
∵AD＝DE，
∴DC＝AD，
∴∠DAC＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝AB＝＝4，
∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝30°，
∴BC＝BD＝，
故选：D．
4．【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
则OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP＝＝＝5，
故选：D．
5．【解答】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
6．【解答】解：连接OA，OB，如图，
根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，
∴cos∠AOC＝，
∴∠AOC＝60°，则∠AOB＝120°，
∴AC＝3cm，AB＝2AC＝6cm，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h，
依题意得：，
∴，
故选：B．
7．【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故选：C．
8．【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x＝，
即ON＝，
∴OA2＝52+（）2＝，
∴S⊙O＝π×OA2＝π，
故选：A．
9．【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5，
即CD的最大值为2.5，
故选：B．
10．【解答】解：连接OP，PQ，则OP＝2，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴MN＝OP＝2，
∵∠MON＝90°，Q为MN中点，
∴OQ＝MN＝＝1，
故选：A．
二．填空题
．【解答】解：设OA＝OC＝r，
∵OC⊥AB，OC是半径，
∴AE＝EB＝4，
在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
∴r＝5．
故答案为：5．
．【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．
．【解答】解：过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，
y＝，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x+＝0，解得：x＝﹣3，
所以OC＝，OA＝3，
∵tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OM⊥AC，
∴∠OMA＝90°，
∴OM＝OA＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝，
∵OM⊥AB，OM过圆心O，
∴AM＝BM＝，
∴AB＝AM+BM＝+＝3，
故答案为：3．
．【解答】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC＝×10＝5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，
∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，
由勾股定理得：CO＝＝＝3，
∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，
即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），
同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
．【解答】解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形AOMD是矩形，
∴OM＝AD，
∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4，
∴EM＝FM＝2，
∵OG＝OB，BG＝5，
∴OB＝OG＝2.5＝OE，
在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5，
∴AD＝OM＝1.5，
故答案为：1.5．
三．解答题
．【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC＝8，DE∥AB，
∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，
∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形，
∴OG＝EF＝4，
∴AG＝5﹣4＝1，
在Rt△OEG中，EG＝，
在Rt△AGE中，AE＝．
．【解答】解：（1）正确的结论有：CE＝BE，＝，OE＝AC，∠C＝90°，AC∥OD；
（2）∵OD⊥BC，OD过圆心O，BC＝8，
∴∠OEB＝90°，BE＝CE＝4，
设⊙O的半径为R，则OB＝OD＝R，
由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即⊙O的半径是5．
．【解答】（1）证明：连接OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD和OE都过圆心O，
∴∠OEA＝∠ODA＝90°，AE＝CE，AD＝BD，
∵AC＝AB，
∴AE＝AD，
∵AB、AC为互相垂直的两条弦，
∴∠EAD＝90°，
即∠OEA＝∠EAD＝∠ODA＝90°，
∴四边形EADO是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；
（2）解：OD＜OE，
证明：∵AB＞AC，AE＝CE，AD＝BD，
∴AD＞AE，
在Rt△ODA和Rt△OEA中，由勾股定理得：
OE2＝OA2﹣AE2，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD2＜OE2，
即OD＜OE．
．【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是正方形；
（2）解：连接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半径是cm．
．【解答】解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．
∵BB′⊥CD
∴＝，
∵∠AOD＝80°，B是的中点，
∴∠DOB′＝∠AOD＝40°．
∴∠AOB′＝∠AOD+∠DOB′＝120°，
又∵OA＝OB′，
∴∠A＝＝30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB′E＝90°，
∴直角△AEB′中，B′E＝AE＝×4＝2，
∴AB′＝＝＝2cm．