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3.1.2 直线与椭圆的位置关系
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：
联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
答案：A
解析：方法一 直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
方法二 联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．
2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，∴＝a，即2b＝，∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝．
3.AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是( )
A.b2 B.bc C.ab D.ac
答案：B
解析：S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.
4.若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A (－，) B.(，＋∞)∪(－∞，－) C.(，＋∞) D.(－∞，－)
答案：B
解析：因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<－，故选B.
5.已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A.k＜－或k＞ B.－＜k＜ C.k≤－或k≥ D.－≤k≤
答案：C
解析：由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点．∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥或k≤－.
6.点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A.(±，1) B.(，±1) C.(，1) D.(±，±1)
答案：D
解析：设P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，∵＋＝1，∴x0＝±.故选D.
7.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2.又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴()2＝，即e＝.
8.如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－1
答案：D
解析：连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝c，∴e＝＝＝＝－1.故选D.
9.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A． B．2 C． D．3
答案：A
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.解得n2＝1，∴||＝＝＝，故选A．
10.已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1 B． C． D．
答案：A
解析：设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，则k1＝，k2＝，又因为椭圆的离心率为，所以＝＝，|k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，故选A．
二、填空题
11.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②.∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1.∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，∴y1－y2＝－(x1－x2)．由①②两式相减可得＋＝0，即＋·＝0.∴a＝b.∴c＝b.∴e＝＝.
12.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3.由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
13.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
答案：20
解析：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以＝，即＝.所以＝，解得a小＝10.所以小椭圆的长轴长为20 cm.
14.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 .
答案：x2＋y2＝1
解析：不妨设点A在第一象限，如图，
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由＝3，得B，代入x2＋＝1，得＋＝1，又c2＝1－b2，∴b2＝.故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
15.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为______.
答案：1
解析：联立方程可得消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF.又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝.在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1.
三、解答题
16.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入到＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.
将y＝kx代入到＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.
故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
17.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，离心率e＝，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.
解：(1)由条件知，解之得.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)依题意，设l的方程为y＝kx＋，
由，消去y得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，
显然Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得，
a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3
＝(k2＋4)(－)＋k·＋3＝0，
解得k＝±.
18.已知离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为＝，所以设a＝n，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为＋＝1.
代入点A的坐标得＋＝1，n2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得x2＋2＝2，
即x2＋mx＋m2－1＝0，x1＋x2＝－m，x1·x2＝m2－1，Δ＝2m2－4(m2－1)>0，m2<2.
|BC|＝＝＝，
点A到直线l的距离d＝，
△ABC的面积S＝|BC|·d＝·＝≤·＝，
当且仅当m2＝2－m2，即m2＝1时等号成立．
所以当m＝±1时，△ABC面积取最大值为.
19.已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得＝3，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)不存在，理由如下：
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝.
由题意知Δ>0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)>0，
解得－2∵|AM|＝|AN|，
∴＝，
整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2＋2)＝0，
∴－m(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
∴[x1＋m－(x2＋m)]＝m(x1－x2)，
即(x1－x2)＝m(x1－x2)，
又x1≠x2，∴m＝＋2，解得m＝2.
∵m＝2不满足－221世纪教育网(www.21cnjy.com)
3.1.2直线与椭圆的位置关系 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
3.1.2 直线与椭圆的位置关系
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直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：
联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是( )
A.b2 B.bc C.ab D.ac
4.若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A (－，) B.(，＋∞)∪(－∞，－) C.(，＋∞) D.(－∞，－)
5.已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A.k＜－或k＞ B.－＜k＜ C.k≤－或k≥ D.－≤k≤
6.点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )
A.(±，1) B.(，±1) C.(，1) D.(±，±1)
7.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.－1
9.已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A． B．2 C． D．3
10.已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为( )
A．1 B． C． D．
二、填空题
11.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
12.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
13.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
14.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 .
15.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为______.
三、解答题
16.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
17.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，离心率e＝，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.
18.已知离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
19.已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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3.1.2直线与椭圆的位置关系 1/1
