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有理数及其运算综合题（原题版）
一.选择题（共10题）
1．下面结论正确的有（ ）
①0是最小的整数；②在数轴上7与9之间的有理数只有8；③若a＋b＝0，则a.b互为相反数；④有理数相加，和不一定大于其中一个加数；⑤1是绝对值最小的正数；⑥有理数分为正有理数和负有理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①；②a-b>0；③a+b>0；④a，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动；设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数；给出下列结论：（1）＝3；（2）＝1；（3）；（4）．其中，正确结论的序号是（ ）
A．（1）.（2） B．（2）.（4）
C．（1）.（3）.（4） D．（1）.（2）.（3）
5．有理数m.n在数轴上分别对应点M.N，则下列式子结果为负数的个数是（ ）
①m+n；②m﹣n；③|m|﹣n；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
6．下列语句中错误有（ ）
①0是最小的整数；②-1是最大的负有理数；③在数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3；④有绝对值最小的有理数；⑤绝对值是本身的数是正数；⑥有理数的绝对值都是正数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，数轴上用点，，，表示有理数，下列语句错误的有（ ）
①点所表示的有理数大于点所表示的有理数；
②点所表示的有理数的绝对值大于点所表示的有理数的绝对值；
③点所表示的有理数与点所表示的有理数和为0；
④点所表示的有理数与点所表示的有理数的和大于0．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①负分数一定是负有理数；②有比-1大的负整数；③几个不是0的数相乘或相除，当积或者商为负数时，负因数的个数一定是奇数个；④倒数是本身的数只有1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．有理数a.b.c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
二.填空题：（共5题）
11．下列说法中，正确的是________．
（1）整数就是正整数和负整数；
（2）分数就是正分数和负分数；
（3）一个数不是正有理数就是负有理数；
（4）非负数就是正数；
（5）若一个数是整数，则它一定是有理数；
（6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数；
（7）存在最大的非正数；
（8）零是最大的非正整数．
12．在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为____，依次继续下去…第2020次输出的结果为____．
14．求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝_______．
15．计算
=_____________.
三.解答题：（共7题）
16．（1）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）；
（2）﹣1﹣（﹣0.125）+|﹣3|+（﹣2.25）；
（3）18﹣6÷（﹣）×（﹣）；
（4）（﹣3.2）[﹣|﹣1|]；
（5）﹣99×36；
（6）（）×18+14.35×8﹣39.35×8；
（7）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2×）÷（﹣2）]；
（8）1﹣|﹣1|﹣||﹣||﹣……﹣||．
17．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝ ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是___，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是___；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为___；
(3)数轴上点A用数a表示，
①若，那么a的值是___；
②当时，数a的取值范围是___；这样的整数a有___个；
③有最小值，最小值是____；
④求的最小值．
18．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)MN的长为________，如果点P到点M.点N的距离相等，那么x的值是________；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M.点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M.点N的距离相等，请直接写出t的值．
19．已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
20．已知数轴上两点M.N对应的数分别为﹣8.4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)MN的长为 ．
(2)当点P到点M.点N的距离相等时，求x的值；
(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M.点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．当点P.点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值．
21．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M.N表示的数分别为﹣1.3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M.N表示的数分别为m.n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A.B.C分别表示数a.b.c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A.C的双倍绝对点．
(1)如图1，a＝﹣1．
①若c＝2，点D.E.F在数轴上分别表示数﹣3.5.7，在这三个点中，点______是点A.C的双倍绝对点；
②若|a﹣c|＝2，则b＝______；
(2)若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A.C的双倍绝对点，则c的最小值为______；
(3)线段PQ在数轴上，点P.Q分别表示数﹣4.﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A.C同时沿数轴正方向移动，点A.C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A.C的双倍绝对点时，求t的取值范围．
22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点分别表示的是，2，，．
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，
∴的最小值是3．
解决问题：
(1)的最小值是 ；
(2)利用上述思想方法解不等式：
(3)当为何值时，代数式的最小值是2．
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2022-2023 有理数及其运算综合题
一.选择题（共10题）
1．下面结论正确的有（ ）
①0是最小的整数；②在数轴上7与9之间的有理数只有8；③若a＋b＝0，则a.b互为相反数；④有理数相加，和不一定大于其中一个加数；⑤1是绝对值最小的正数；⑥有理数分为正有理数和负有理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①因为0不是最小的整数，所以①错误，不符合题意；
②因为在数轴上7与9之间的有理数有无数个，所以②错误，不符合题意；
③因为a＋b＝0，所以a.b互为相反数，所以③正确，符合题意；
④因为有理数相加，和不一定大于其中一个加数，所以④正确，符合题意；
⑤因为1不是绝对值最小的正数，所以⑤错误，不符合题意；
⑥因为有理数分为正有理数.0和负有理数，所以⑥错误，不符合题意．
所以结论正确的有③④，2个．
故选：B．
2．下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①0是有理数，|0|＝0，故本说法错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本说法错误；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本说法正确；
④有绝对值最小的有理数，故本说法错误；
⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本说法正确；
⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本说法错误．
所以③⑤正确．
故选：B．
3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式；①；②a-b>0；③a+b>0；④a，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由数轴知，a＜0，b＞0，，b＞a.
因为a＜0．b＞0，，所以①正确，④错误；
a b＝a＋（ b）＜0，故②错误；
由于，a＋b取a的符号，所以a＋b＜0，故③错误；
综上，正确的有①．
故选：A．
4．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动；设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数；给出下列结论：（1）＝3；（2）＝1；（3）；（4）．其中，正确结论的序号是（ ）
A．（1）.（2） B．（2）.（4）
C．（1）.（3）.（4） D．（1）.（2）.（3）
解：依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5个对应的数是1，2，3，2，1；6到10是2，3，4，3，2，根据此规律即可推导判断（1）和（2），显然正确；
（3）中，108＝5×21＋3，故＝21＋1＋1＋1＝24，104＝5×20＋4，故＝20＋3﹣1＝22，24＞22，故正确；
（4）中，2020＝5×404，故＝404，2019＝403×5＋4，故＝403＋2＝405，404＜405，故错误．
故选：D．
5．有理数m.n在数轴上分别对应点M.N，则下列式子结果为负数的个数是（ ）
①m+n；②m﹣n；③|m|﹣n；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
解：∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，
∴①的结果为负数；
∵m＜0＜n，
∴m﹣n＜0，
∴②的结果为负数；
∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴|m|﹣n＞0，
∴③的结果为正数；
∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，
∴，
∴④的结果为正数；
∵m＜0＜n，
∴，
∴⑤的结果为正数，
∴式子结果为负数的个数是2个：①.②．
故选：B．
6．下列语句中错误有（ ）
①0是最小的整数；②-1是最大的负有理数；③在数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3；④有绝对值最小的有理数；⑤绝对值是本身的数是正数；⑥有理数的绝对值都是正数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：①整数包括负整数，所以①不对；
②是最大的负整数，不是最大的负有理数，所以②不对；
③数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3和，所以③不对；
④绝对值最小的有理数是0，所以④正确；
⑤绝对值是本身的数是正数和0，所以⑤不对；
⑥有理数的绝对值都是正数和0，所以⑥不对．
只有④正确，五个错误．
故选：D．
7．如图，数轴上用点，，，表示有理数，下列语句错误的有（ ）
①点所表示的有理数大于点所表示的有理数；
②点所表示的有理数的绝对值大于点所表示的有理数的绝对值；
③点所表示的有理数与点所表示的有理数和为0；
④点所表示的有理数与点所表示的有理数的和大于0．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
解：①点所表示的有理数小于点所表示的有理数，①错误；
②点所表示的有理数的绝对值大于点所表示的有理数的绝对值，②正确；
③点所表示的有理数与点所表示的有理数和为0，③正确；
④点所表示的有理数与点所表示的有理数的和小于0，④错误，
故选：B．
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①负分数一定是负有理数；②有比-1大的负整数；③几个不是0的数相乘或相除，当积或者商为负数时，负因数的个数一定是奇数个；④倒数是本身的数只有1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①负分数一定是负有理数，则原说法正确；
②是最大的负整数，即没有比大的负整数，则原说法错误；
③几个不是0的数相乘或相除，当积或者商为负数时，负因数的个数一定是奇数个，则原说法正确；
④倒数是本身的数有，则原说法错误；
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
9．有理数a.b.c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②；③|a|＜1﹣bc；④a﹣c+bc＜0．其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
解：由数轴上a.b.c的位置关系可知： ，
①∵，，，
∴ ，故①正确；
②∵，
∴，，
∴，故②错误；
③∵，，
∴，故③错误；
④∵，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④，一共2个．
故选：C．
10．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴
=
=
=
=
=0；
故选：C．
二.填空题：（共5题）
11．下列说法中，正确的是________．
（1）整数就是正整数和负整数；
（2）分数就是正分数和负分数；
（3）一个数不是正有理数就是负有理数；
（4）非负数就是正数；
（5）若一个数是整数，则它一定是有理数；
（6）若一个数不是有理数，则它一定不是整数；
（7）存在最大的非正数；
（8）零是最大的非正整数．
解：整数包括正整数.0和负整数；故（1）错误；
分数包括正分数和负分数；故（2）正确；
一个数不是正有理数就是0和负有理数；故（3）错误；
非负数包括正数和0，故（4）错误；
有理数包括整数和分数；故（5）.（6）正确；
最大的非正数是0，0也是最大的非正整数；故(7).(8)正确
故答案为：（2）.（5）.（6）.（7）.（8）
12．在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．
解：，0.23，，0，，，，，
正整数有：，，，即，
非负数有：中0.23，，0，，，即，
，
故答案为：．
13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为____，依次继续下去…第2020次输出的结果为____．
解：由题意得：第3次输出的结果为，
第4次输出的结果为，
第5次输出的结果为，
第6次输出的结果为，
第7次输出的结果为，
第8次输出的结果为，
由此可知，从第二次开始，输出结果依次以6，3，8，4，2，1循环出现，
，
∴第2020次输出的结果为8，
故答案为：3，8．
14．求所有分母不超过100的正的真分数的和，即：＝_______．
解：
＝．
＝
＝
＝
＝
＝2475．
故答案为：2475．
15．计算
=_____________.
解：设a=，b=，
则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b
=-
=，
故答案为：．
三.解答题：（共7题）
16．（1）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）；
（2）﹣1﹣（﹣0.125）+|﹣3|+（﹣2.25）；
（3）18﹣6÷（﹣）×（﹣）；
（4）（﹣3.2）[﹣|﹣1|]；
（5）﹣99×36；
（6）（）×18+14.35×8﹣39.35×8；
（7）﹣3﹣[﹣5+（1﹣0.2×）÷（﹣2）]；
（8）1﹣|﹣1|﹣||﹣||﹣……﹣||．
解：（1）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）
＝﹣20+（﹣14）+（﹣18）+13
＝﹣39；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
＝14﹣15+1+（﹣25）×8
＝14﹣15+1+（﹣200）
＝﹣200；
（7）
（8）
17．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝ ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是___，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是___；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为___；
(3)数轴上点A用数a表示，
①若，那么a的值是___；
②当时，数a的取值范围是___；这样的整数a有___个；
③有最小值，最小值是____；
④求的最小值．
（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是8-3＝5，
数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是-1-（-3）＝2，
故答案为：5，2；
（2）解：若，那么a的值为5或-5，
故答案为：5或-5；
（3）解：数轴上点A用数a表示，
①若，则a-3＝5或a-3＝-5，
∴a＝8或-2，
故答案为：-2或8；
②∵的意义是表示数轴上到表示﹣2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
∴-2≤a≤3，其中整数有-2，-1，0，1，2，3共6个，
故答案为：-2≤a≤3，6；
③表示数轴上到表示3与表示﹣2021的点距离之和，由两点之间线段最短可知：当-2021≤a≤3时，|a-3|+|a+2021|有最小值，最小值为2021-（-3）＝2024，
故答案为：2024；
④∵的中间一项是 ，
∴a＝-1012时，原式有最小值，
∴
＝2×（1011+1010+…+3+2+1）
＝2×
＝1023132，
∴的最小值为1023132．
18．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)MN的长为________，如果点P到点M.点N的距离相等，那么x的值是________；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M.点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M.点N的距离相等，请直接写出t的值．
（1）解：由题意得，
∵点P到点M.点N的距离相等，
∴点P为M.N的中点，
∴，
故答案为：4，1；
（2）解：假设存在P，，使点P到点M.点N的距离之和是8，
∴，
∴，
当时，，
解得；
当时，，方程不成立；
当时，，
解得；
综上所述，存在或时使点P到点M.点N的距离之和是8；
（3）解：由题意得，t分钟后点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，
∵t分钟时点P到点M.点N的距离相等，
∴
∴，
∴或，
解得或．
19．已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为∶-4；
（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为∶ -5；
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A.B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5，
∵中心点是表示2的点，
∴A.B两点表示的数分别是-3，7；
③当点P在点A的左侧时，
∵PA+PB＝12，
∴-3-x+7-x=12，
解得x=-4；
当点P在点A.B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A.B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵PA+PB＝12，
∴x-(-3)+x-7=12，
解得x=8，
综上x的值为-4或8．
20．已知数轴上两点M.N对应的数分别为﹣8.4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)MN的长为 ．
(2)当点P到点M.点N的距离相等时，求x的值；
(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M.点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．当点P.点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值．
（4）分三种情况讨论求解即可：当PM=QM时， 当PQ=PM时， 当QM=PQ时．
（1）解：∵数轴上两点M.N对应的数分别为﹣8.4，
∴，
故答案为：12；
（2）解：由题意得，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：由题意得，
∴，
当时，
∴，
解得；
当时，
∴，即此种情况不存在；
当时，
∴，
解得；
综上所述，数轴上存在点P对应的数为8或-12，使得点P到点M.点N的距离之和是20；
（4）解：由题意得，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，
当PM=QM时，
∴，
∴，
解得；
当PQ=PM时，
∴，
∴或，
解得或；
当QM=PQ时，
∴，
∴或，
解得或0（舍去）；
综上所述，t=3或4或4.8或6．
21．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M.N表示的数分别为﹣1.3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M.N表示的数分别为m.n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n﹣m|．
请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A.B.C分别表示数a.b.c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A.C的双倍绝对点．
(1)如图1，a＝﹣1．
①若c＝2，点D.E.F在数轴上分别表示数﹣3.5.7，在这三个点中，点______是点A.C的双倍绝对点；
②若|a﹣c|＝2，则b＝______；
(2)若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A.C的双倍绝对点，则c的最小值为______；
(3)线段PQ在数轴上，点P.Q分别表示数﹣4.﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A.C同时沿数轴正方向移动，点A.C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A.C的双倍绝对点时，求t的取值范围．
（1）解：（1）①∵a＝﹣1，c＝2，∴|﹣1﹣b|＝2|﹣1﹣2|，解得b＝5或﹣7，∴点E是点A，C的双倍绝对点，故答案为E；②∵a＝﹣1，|a﹣c|＝2，∴|﹣1﹣b|＝2×2，解得b＝﹣5或3，故答案为﹣5或3；
（2）（2）∵|b﹣c|＝5，∴c＝b+5或c＝b﹣5，∵a＝3，∴|3﹣b|＝2|3﹣c|，①当c＝b+5时，|3﹣b|＝2|3﹣b﹣5|，解得b＝﹣7或，∴c＝﹣2或；②当c＝b﹣5时，|3﹣b|＝2|3﹣b+5|，解得b＝13或，∴c＝8或，综上，c最小值为﹣2，故答案为﹣2；
（3）（3）①当PQ在A左端时，Q点最有可能先成为A，C的双倍绝对点，由题意得|t+3﹣3t+2|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≥；由题意得|t+3﹣3t+4|＝4，解得t＝或（舍去），∴t≤，综上，t的取值范围为≤t≤．②当PQ在A右端时，P点最有可能最先成为A，C的双倍绝对点，同法可得，满足条件的t的值为≤t≤（t≠5），综上所述．满足条件的t的值为：≤t≤或≤t≤（t≠5）．
22．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
发现问题：代数式的最小值是多少？
探究问题：如图，点分别表示的是，2，，．
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，
∴的最小值是3．
解决问题：
(1)的最小值是 ；
(2)利用上述思想方法解不等式：
(3)当为何值时，代数式的最小值是2．
解：（1）
设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6．
故答案为：6．
（2）
设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
（3）
设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或．
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