课时练（1）答案
一、单项选择题
1 f(x) x
2＋4
．函数 ＝ 的最小值为( )
|x|
A．3 B．4 C．6 D．8
答案 B
2．已知 a，b∈(0，1)且 a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2 ab C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 只需比较 a2＋b2与 a＋b.由于 a，b∈(0，1)，∴a2
3 1．已知 a>0，且 b>0，若 2a＋b＝4，则 的最小值为( )
ab
A.1 B．4 C.1 D．2
4 2
答案 C
解析 ∵4＝2a＋b≥2 2ab，∴ab 2 1 1≤ ， ≥ ，当且仅当 a＝1，b＝2时取等号．
ab 2
4 1 1．若 x<0，则函数 y＝x2＋ －x－ 的最小值是( )
x2 x
A 9．－ B．0 C．2 D．4
4
答案 D
1
解析 y＝x2 1
－
＋ －x 1－ ≥2 x2 1· ＋2 （－x） x ＝4，当且仅当 x＝－1时取等号．
x2 x x2
5．已知正数 a，b满足 a＋b＝2，则 a＋ b＋1的最大值为( )
A. 3 B. 2＋1 C. 6 D. 3＋1
答案 C
解析 ∵( a＋ b＋1)2＝a＋b＋1＋2 a· b＋1≤a＋b＋1＋a＋b＋1＝6，当且仅当 a＝b＋1，
a 3 1即 ＝ ，b＝ 时取等号．∴ a＋ b＋1≤ 6.故选 C.
2 2
6．已知当 x<0时，2x2－mx＋1>0恒成立，则 m的取值范围为( )
A．[2 2，＋∞) B．(－∞，2 2]
C．(－2 2，＋∞) D．(－∞，2 2)
答案 C
解析 由 2x2－mx＋1>0，得 mx<2x2＋1.因为 x<0，
2 1
m>2x ＋1 1 1
2|x|＋ 1 1
所以 ＝2x＋ ，而 2x＋ ＝－ |x| ≤－2 2|x|· ＝－2 2，当且仅当 2|x|＝ ，
x x x |x| |x|
即 x 2＝－ 时取等号．所以 m>－2 2.故选 C.
2
7．设实数 x，y，m，n满足 x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么 mx＋ny的最大值是( )
A. 3 B．2
C. 5 D. 10
2
答案 A
解析 由已知 (x2＋y2)(m2＋ n2)＝3，即 m2x2＋ n2y2＋ n2x2＋m2y2＝ 3，∴m2x2＋n2y2＋
2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤ 3.
2
8．已知 x，y，z∈(0，＋∞)，且满足 x－2y 3z y＋ ＝0，则 的最小值为( )
xz
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 A
9．已知 a>b>0，则 a 4 1＋ ＋ 的最小值为( )
a＋b a－b
A.3 10 B．4
2
C．2 3 D．3 2
答案 D
a 1[(a b) (a b)] a 4 1 1 4 1解析 因为 ＝ ＋ ＋ － ，所以 ＋ ＋ ＝ (a＋b)＋ ＋ (a b) 1－ ＋ .因为
2 a＋b a－b 2 a＋b 2 a－b
a>b>0，所以 a＋b>0，a－b>0 1 4 1 4，由基本不等式可得 (a＋b)＋ ≥2 （a＋b）· ＝2 2
2 a＋b 2 a＋b
①
1(a－b) 1 1 1 2＋ ≥2 （a－b）· ＝2× ＝ 2②
2 a－b 2 a－b 2
a 3 2 b 2 a 4 1由①②可知当且仅当 ＝ ， ＝ 时， ＋ ＋ 的最小值为 3 2.故选 D.
2 2 a＋b a－b
二、多项选择题
10．小王从甲地到乙地往返的速度分別为 a和 b(aA．aC. ab2 a＋b
答案 AD
s s 2s 2ab
解析 设甲、乙两地之间的距离为 s，则全程所需的时间为 ＋ ，∴v＝s s＝ .a b ＋ a＋b
a b
∵b>a>0 a＋b 2ab 2ab，由基本不等式可得 ab< ，∴v＝ < ＝ ab，
2 a＋b 2 ab
a＋b 2
2 2 2
另一方面 v 2ab <2· 2 a＋b v a 2ab a ab－a >a －a＝ ＝ ， － ＝ － ＝ ＝0，
a＋b a＋b 2 a＋b a＋b a＋b
∴v>a，则 a三、填空题与解答题
11．(1) 4当 x>1时，x＋ 的最小值为________；
x－1
(2) 4当 x≥4时，x＋ 的最小值为________．
x－1
答案 (1)5 (2)16
3
解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x 4＋ ＝x－1 4＋ ＋1≥2 4＋1＝5.
x－1 x－1
(当且仅当 x 1 4－ ＝ ，即 x＝3 4时“＝”号成立)∴x＋ 的最小值为 5.
x－1 x－1
(2)∵x≥4，∴x－1≥3. 4∵函数 y＝x＋ 在[3，＋∞)上为增函数，
x
4 16
∴当 x－1＝3时，y＝(x－1)＋ ＋1有最小值 .
x－1 3
12．若 a>0，b>0，a＋b＝1，则 ab 1＋ 的最小值为________．
ab
17
答案
4
a＋b 2 1 1
解析 ab≤ 2 ＝ ，当且仅当 a＝b＝ 时取等号．
4 2
0 11 ，y x x 4 1 1 17∵ ＝ ＋ 在 ∈ 上为减函数．∴ab＋ 的最小值为 ＋4＝ .
x ab 4 4
13．已知 a>b>0，求 a2 16＋ 的最小值．
b（a－b）
答案 16
64
思路 求出 b(a－b)的最大值，从而消去 b，再求出 a2＋ 的最小值．
a2
b＋（a－b） 2 a2
解析 ∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤ 2 ＝ .
4
a2 16 a2 64∴ ＋ ≥ ＋ ≥2 a2 64· ＝16.
b（a－b） a2 a2
a2 64当 ＝ 且 b＝a－b，即 a＝2 2，b＝ 2时等号成立．
a2
16
∴a2＋ 的最小值为 16.
b（a－b）
14．(1) 1 1证明：a2＋ ≥a＋
a2 a
(2)证明： 2（a2＋b2）≥a＋b
(3)若 a＋b≠0，则 a2＋b2 1＋ 的最小值．
（a＋b）2
答案 (1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 2
解析 (1)当 a<0时，a2 1＋ ≥a 1 1＋ 显然成立．易知函数 f(x)＝x＋ 在区间(0，1)上单调递减，
a2 a x
在区间[1，＋∞)上单调递增，当 a>1时，a2>a>1，所以 f(a2)>f(a) 1 1，即 a2＋ >a＋ ；当 0a2 a
时，0f(a) a2 1>a 1 a 1 a2 1 1，所以 ，即 ＋ ＋ ；当 ＝ 时， ＋ ＝a＋ .
a2 a a2 a
(2) 2（a2＋b2）≥ a2＋b2＋2ab＝|a＋b|≥a＋b恒成立．
(3)方法一：因为 2ab≤a2＋b2，所以(a＋b)2 1≤2(a2＋b2)，由 a＋b≠0，知 a2＋b2＋ ≥
（a＋b）2
a2＋b2 1＋ ≥2 （a2＋b2 · 1） ＝ 2，当且仅当
2（a2＋b2） 2（a2＋b2）
4
a 1 2＝b且 a2＋b2＝ ，即 a＝b＝± 时，等号成立．
2（a2＋b2） 2
2
方法二：因为 a2＋b2≥2ab，所以 2(a2 b2) (a b)2 a2 b2 （a＋b）＋ ≥ ＋ ，所以 ＋ ≥ ，所以 a2＋b2＋
2
1 （a＋b）2 1 （a＋b）2
≥ ＋ ≥2 1· ＝ 2，当且仅当 a＝b 且
（a＋b）2 2 （a＋b）2 2 （a＋b）2
（a＋b）2
4
1 a b ± 2＝ ，即 ＝ ＝ 时，等号成立．
2 （a＋b）2 2
15.如图，在半径为 30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料
ABCD，其中点 A，B在直径上，点 C，D在圆周上．
(1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD的面积最大？并求最大面积；
(2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD为母线的圆柱形罐子
的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子
体积最大？并求最大体积．
答案 (1)取 BC为 15 2 cm时，矩形 ABCD的面积最大，最大值为 900 cm2
(2)取 BC为 10 3 cm 6 000 3时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3
π
解析 (1)连接 OC.
设 BC＝x，矩形 ABCD的面积为 S.
则 AB＝2 900－x2，
其中 0所以 S＝2x 900－x2＝2 x2（900－x2）≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当 x2＝900－x2，即 x＝
15 2时，S取最大值 900 cm2.
所以取 BC为 15 2 cm时，矩形 ABCD的面积最大，最大值为 900 cm2.
(2)设圆柱底面的半径为 r，高为 x，体积为 V.
AB 2 900 x2 2 r r 900－x
2
由 ＝ － ＝ π ，得 ＝ .
π
V 1所以 ＝πr2x＝ (900x－x3)，其中 0π
由 V 1′＝ (900－3x2)＝0，得 x＝10 3.
π
V 1因此 ＝ (900x－x3)在(0，10 3)上是增函数，在(10 3，30)上是减函数．
π
所以当 x＝10 3时，V 6 000 3取最大值为 cm3.
π
6 000 3
所以取 BC为 10 3 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm3.
π一、单项选择题
1．函数f(x)＝的最小值为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
2．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
3．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. B．4 C. D．2
4．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是( )
A．－ B．0 C．2 D．4
5．已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A. B.＋1 C. D.＋1
6．已知当x<0时，2x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－2，＋∞) D．(－∞，2)
7．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )
A. B．2 C. D.
8．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
9．已知a>b>0，则a＋＋的最小值为( )
A. B．4 C．2 D．3
二、多项选择题
10．小王从甲地到乙地往返的速度分別为a和b(aA．a三、填空题与解答题
11．(1)当x>1时，x＋的最小值为________；
(2)当x≥4时，x＋的最小值为________．
12．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________．
13．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
14．(1)证明：a2＋≥a＋
(2)证明：≥a＋b
(3)若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值．
15.如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．
高一上学期数学课时练（1）