2.3 匀变速直线运动位移与时间的关系（含解析）

匀变速直线运动位移与时间的关系
基础全面练　　(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移必与时间的平方成正比
C．物体速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
2．(多选)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝6＋5t－t2(各物理量均采用国际单位制)，则该质点(　　)
A．第1 s内的位移是10 m
B．前2 s内的平均速度是3 m/s
C．运动的加速度为1 m/s2
D．任意1 s内的速度增量都是－2 m/s
3．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(　　)
A．6 m　　　B．8 m　　　C．4 m　　　D．1.6 m
4．如图所示，一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m。则刹车后6 s内的位移是(　　)
A．20 m　　B．24 m　　C．25 m　　D．75 m
【变式训练】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2。则物体运动的加速度为(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
5．如图甲所示，甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会儿，甲同学继续骑车前行，在70 min时到家，甲同学的x t图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.在前20 min内甲同学做匀加速运动
B．甲同学在乙同学家停留了50 min
C．甲、乙两同学家相距4.8 km
D．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2 m/s
【变式训练】某质点做直线运动的速度v和时间t的关系，如图所示，则该质点在3 s内的位移是(　　)
A．4.5 m　　　 B．3 m
C．1 m D．0.5 m
6．a、b两物体在t＝0时刻沿同一直线开始运动，为了定量描述它们的运动情况，建立了直线坐标系，如图甲所示。它们的位置坐标随时间的变化关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.a、b两物体的出发点不同
B．t＝2 s时a的速度大于b的速度
C．a、b两物体的运动方向相同
D．0～6 s内a通过的位移大于b通过的位移
二、计算题(本题共2小题，共30分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
7.(14分)如图所示，一辆汽车以72 km/h的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方40 m处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。已知该车在刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从刹车开始经过5 s汽车前进的距离是多少？此时是否已经进入危险区域？
【变式训练】一架飞机表演后返回某机场，降落在跑道上减速过程简化为两个匀减速直线运动。飞机以速度v0着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为a1，运动时间为t1；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下。在平直跑道上减速滑行总路程为x。求：第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间。
8．(16分)如图所示，一艘快艇以2 m/s2的加速度在海面上做匀加速直线运动，快艇的初速度是6 m/s，求这艘快艇在8 s末的速度的大小和8 s内经过的位移的大小。
综合突破练　　(15分钟·40分)
9．(6分)一物体的x t图像如图所示，那么此物体的v t图像可能是(　　)
10．(6分)一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动。已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为(　　)
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
11．(6分)汽车刹车做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，则汽车在停止运动前1 s内的平均速度为(　　)
A.8 m/s　　 B．5 m/s　 　C．2 m/s　 　D．1 m/s
12．(22分)在同一条平直的公路上并排有甲、乙两辆汽车，甲车开始以v0＝20 m/s的速度做匀速运动，乙车静止。甲车运动到乙车前方x0＝25 m处时突然刹车，刹车时的加速度大小a1＝4 m/s2，同时乙车由静止开始以a2＝6 m/s2的加速度做匀加速运动追赶甲车。
(1)乙车经过多长时间追上甲车？
(2)乙车追上甲车前，甲、乙两车之间的最大距离是多少？
【变式训练】一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度大小和通过树B时的速度大小。
参考答案：
基础全面练　　(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的末速度与时间成正比
B．物体的位移必与时间的平方成正比
C．物体速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小
【解析】选C。根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误。由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确。当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可以增大，故D错误。
2．(多选)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝6＋5t－t2(各物理量均采用国际单位制)，则该质点(　　)
A．第1 s内的位移是10 m
B．前2 s内的平均速度是3 m/s
C．运动的加速度为1 m/s2
D．任意1 s内的速度增量都是－2 m/s
【解析】选B、D。第1 s内的位移x1＝(6＋5×1－1) m－6 m＝4 m，故A错误。前2 s内的位移x2＝(6＋5×2－4) m－6 m＝6 m，则前2 s内的平均速度＝＝ m/s＝3 m/s，故B正确。根据x＝v0t＋at2＝6＋5t－t2得，加速度a＝
－2 m/s2，任意1 s内速度的增量Δv＝at＝－2×1 m/s＝－2 m/s，故C错误，D正确。故选B、D。
3．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是(　　)
A．6 m　　　B．8 m　　　C．4 m　　　D．1.6 m
【解析】选A。根据速度公式v1＝at，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2。第1 s末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋at2＝4×1 m＋×4×12 m＝6 m。故选A。
4．如图所示，一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m。则刹车后6 s内的位移是(　　)
A．20 m　　B．24 m　　C．25 m　　D．75 m
【解析】选C。由Δx＝aT2得：7 m－9 m＝a·(1 s)2，a＝－2 m/s2，由v0t1＋at＝x1得：v0×1 s－×2 m/s2×(1 s)2＝9 m，v0＝10 m/s，汽车刹车时间t＝－＝
5 s<6 s，故刹车后6 s内的位移为x＝v0t＋at2＝25 m，则C正确，A、B、D错误。
【变式训练】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t2。则物体运动的加速度为(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
【解析】选A。第一段位移中间时刻的瞬时速度v1＝，第二段位移中间时刻的瞬时速度v2＝。两个中间时刻的时间间隔Δt＝，则物体运动的加速度a＝＝。故A正确，B、C、D错误。
5．如图甲所示，甲、乙两位同学在放学时，从学校所在地骑自行车沿平直的公路回家，先到乙同学家，休息一会儿，甲同学继续骑车前行，在70 min时到家，甲同学的x t图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A.在前20 min内甲同学做匀加速运动
B．甲同学在乙同学家停留了50 min
C．甲、乙两同学家相距4.8 km
D．甲从离开学校至到家的这段时间内，平均速度为2 m/s
【解析】选D。前20 min，甲同学做匀速直线运动，A错；20～50 min甲同学一直在乙同学家，共停留30 min，B错；甲、乙两同学家的距离为8.4 km－4.8 km＝3.6 km，C错；甲同学从学校到家的位移x＝8.4 km，所用时间t＝70 min＝
4 200 s，平均速度v＝＝ m/s＝2 m/s，D对。
【变式训练】某质点做直线运动的速度v和时间t的关系，如图所示，则该质点在3 s内的位移是(　　)
A．4.5 m　　　 B．3 m
C．1 m D．0.5 m
【解析】选A。图线与t轴围成的面积即为位移大小，经计算可得x＝4.5 m。
6．a、b两物体在t＝0时刻沿同一直线开始运动，为了定量描述它们的运动情况，建立了直线坐标系，如图甲所示。它们的位置坐标随时间的变化关系如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.a、b两物体的出发点不同
B．t＝2 s时a的速度大于b的速度
C．a、b两物体的运动方向相同
D．0～6 s内a通过的位移大于b通过的位移
【解析】选C。a、b两物体均从x＝5 m处开始运动，选项A错误；a、b两物体均沿－x方向做匀速直线运动，选项C正确；a的斜率大小小于b的斜率大小，所以a的速度小于b的速度，选项B错误；0～6 s内a通过的位移大小xa＝(5－3)m＝2 m，b通过的位移大小xb＝(5－1)m＝4 m，选项D错误。
二、计算题(本题共2小题，共30分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
7.(14分)如图所示，一辆汽车以72 km/h的速度正在平直公路上匀速行驶，突然发现前方40 m处有需要紧急停车的危险信号，司机立即采取刹车措施。已知该车在刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从刹车开始经过5 s汽车前进的距离是多少？此时是否已经进入危险区域？
【解析】设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，选初速度方向为正方向，由于汽车做匀减速直线运动，加速度a＝－5 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s
则由v＝v0＋at0，得t0＝＝＝4 s可见，该汽车刹车后经过4 s就已停下，其后的时间内汽车是静止的，由运动学公式x＝v0t＋at2知，刹车后经过5 s汽车通过的距离为x＝v0t0＋at＝40 m
即汽车在4 s末恰好未进入危险区域。
答案：40 m　未进入危险区域
【变式训练】一架飞机表演后返回某机场，降落在跑道上减速过程简化为两个匀减速直线运动。飞机以速度v0着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为a1，运动时间为t1；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下。在平直跑道上减速滑行总路程为x。求：第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间。
【解析】如图，A为飞机着陆点，AB、BC分别为两个匀减速运动过程，C点停下。
A到B过程，依据运动学规律有：
x1＝v0t1－a1t，vB＝v0－a1t1，
B到C过程，依据运动学规律有：
x2＝vBt2－a2t，0＝vB－a2t2，
A到C过程，有：x＝x1＋x2，
联立解得：a2＝ eq \f(（v0－a1t1）2,2x＋a1t－2v0t1) ，
t2＝ eq \f(2x＋a1t－2v0t1,v0－a1t1)
答案： eq \f(（v0－a1t1）2,2x＋a1t－2v0t1) 　 eq \f(2x＋a1t－2v0t1,v0－a1t1)
8．(16分)如图所示，一艘快艇以2 m/s2的加速度在海面上做匀加速直线运动，快艇的初速度是6 m/s，求这艘快艇在8 s末的速度的大小和8 s内经过的位移的大小。
【解析】快艇8 s末的速度
vt＝v0＋at＝(6＋2×8) m/s＝22 m/s
快艇8 s内经过的位移
x＝v0t＋at2＝(6×8＋×2×82) m＝112 m
答案：22 m/s　112 m
综合突破练　　(15分钟·40分)
9．(6分)一物体的x t图像如图所示，那么此物体的v t图像可能是(　　)
【解析】选A。非匀速直线运动的x t图像是曲线，但并不是说物体的运动轨迹是曲线；x t、v t图像均只能描述直线运动；分析求解本题的关键是明白两种图像斜率的物理意义。因x t图像的切线斜率表示速度，由题图可知0～时间内图像的斜率为正且越来越小，在时刻图像斜率为0，即物体正向速度越来越小，时刻减为零；～t1时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，比照v t图像可知，只有A正确。
10．(6分)一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动。已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为(　　)
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
【解析】选B。设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，则加速阶段的平均速度1＝＝，减速阶段的平均速度2＝＝，
汽车的总位移x＝1t1＋2t2＝(t1＋t2)＝vmt，代入数据解得vm＝5 m/s。
11．(6分)汽车刹车做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，则汽车在停止运动前1 s内的平均速度为(　　)
A.8 m/s　　 B．5 m/s　 　C．2 m/s　 　D．1 m/s
【解析】选C。采取逆向思维，汽车在停止运动前1 s内的位移：x＝at2＝×4×
12 m＝2 m，则平均速度：＝＝ m/s＝2 m/s。故C正确。
12．(22分)在同一条平直的公路上并排有甲、乙两辆汽车，甲车开始以v0＝20 m/s的速度做匀速运动，乙车静止。甲车运动到乙车前方x0＝25 m处时突然刹车，刹车时的加速度大小a1＝4 m/s2，同时乙车由静止开始以a2＝6 m/s2的加速度做匀加速运动追赶甲车。
(1)乙车经过多长时间追上甲车？
(2)乙车追上甲车前，甲、乙两车之间的最大距离是多少？
【解析】(1)设甲车做减速运动的时间为t1，根据v＝v0＋at，则：
t1＝＝ s＝5 s ①
设乙车启动后经过t时间，甲、乙两车相遇
甲车的位移：x1＝v0t－a1t2 ②
乙车的位移：x2＝a2t2 ③
x0＋x1＝x2 ④
联立②③④解得：
t＝5 s(另解t＝－1 s舍去) ⑤
(2)设乙车启动后经过t0时间，两车速度相同，此时两车间的距离最大，有：
v0－a1t0＝a2t0 ⑥
解得：
t0＝2 s
这段时间内，甲车的位移：
x甲＝v0t0－a1t ⑦
解得：
x甲＝32 m
乙车的位移：
x乙＝a2t ⑧
解得：
x乙＝12 m
所以甲、乙两车间的最大距离：
xm＝x甲＋x0－x乙＝32 m＋25 m－12 m＝45 m ⑨
答案：(1)5 s　(2)45 m
【变式训练】一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3 s，通过BC两相邻的树用了2 s，求汽车运动的加速度大小和通过树B时的速度大小。
【解题指南】解答此题应分析以下两点：
(1)根据题图明确AB、BC两段位移大小。
(2)根据位移—时间关系式，列出这两段位移的具体关系式，联立求解。
【解析】汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。对AB段运动，由x＝v0t＋at2有：15＝vA×3＋a×32，同理，对AC段运动，有30＝vA×5＋a×52，两式联立解得：vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2
再由vt＝v0＋at
得：vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s
答案：1 m/s2　6.5 m/s
PAGE