第二章 运动图像追及相遇问题（含解析）

运动图像　追及相遇问题
(25分钟　50分)
一、选择题(本题共5小题，每题5分，共25分)
1. (多选)近两年来，某品牌电梯在北京、上海等地频出事故，为此检修人员对电梯进行检修，检修人员搭乘电梯的v t图像如图。以下说法正确的是(　　)
A．6 s末电梯离出发点最远
B．2～4 s电梯做匀速直线运动
C．在4～5 s和5～6 s内电梯的加速度方向相反
D．在4～5 s和5～6 s内电梯的运动方向相反
【变式训练】
如图所示是A、B两质点从同一地点运动的位移—时间(x t)图像，则下列说法错误的是(　　)
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．B质点最初4 s做加速运动，后4秒做减速运动
D．A、B两质点在4 s末相遇
2．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2 s内物体位移最大的是(　　)
3．A、B两物体在同一直线上运动的v t图像如图所示。已知在第3 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．两物体从同一地点出发
B．出发时A在B前方2 m处
C．两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D．第3 s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇
4．一质点自x轴原点O出发，沿正方向以加速度a运动，经过t0时间速度变为v0，接着以加速度－a运动，当速度变为－时，加速度又变为a，直至速度变为时，加速度再变为－a，直至速度变为－，其v t图像如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.质点一直沿x轴正方向运动
B．质点将在x轴上往复运动，最终停止运动
C．质点运动过程中t0时刻质点离开O点距离最大
D．质点运动过程中离原点的最大距离为2v0t0
5.如图所示为甲、乙两物体运动的x t图像，则下列说法不正确的是(　　)
A．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动
B．两物体的初速度都为零
C．在0～t1时间内两物体平均速度大小相等
D．相遇时，甲的速度大于乙的速度
二、计算题(本题共2小题，共25分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6．(12分)如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直的公路上相向做匀速直线运动，速度大小分别为v1＝25 m/s和v2＝20 m/s，为了会车安全，两车车头距离d＝95 m时，同时开始做匀减速运动，轿车和卡车匀减速的加速度大小均为a＝5 m/s2，两车减到速度为v＝10 m/s时，又保持匀速直线运动，轿车车身全长L1＝5 m，卡车车身全长L2＝15 m。
(1)当轿车速度刚减到10 m/s时，两车是否已相遇？
(2)两车的会车时间是多少？(会车时间指从两车车头相遇至车尾分离的时间)
【变式训练】
酒后驾车严重威胁公众交通安全。若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离。科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化。一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v t图线分别如图甲、乙所示。求：
(1)正常驾驶时的感知制动距离x。
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx。
7．(13分)客车在公路上以20 m/s的速度做匀速直线运动，发现前方105 m处有一载重货车以6 m/s的速度匀速行驶，客车立即关掉油门，以a＝－0.8 m/s2的加速度匀减速行驶，问：
(1)客车司机仅靠此举是否可避免和货车相撞。
(2)如果要保证客车和货车不相撞，在其他条件不变的前提下，客车的加速度至少应为多大？
参考答案：
一、选择题(本题共5小题，每题5分，共25分)
1. (多选)近两年来，某品牌电梯在北京、上海等地频出事故，为此检修人员对电梯进行检修，检修人员搭乘电梯的v t图像如图。以下说法正确的是(　　)
A．6 s末电梯离出发点最远
B．2～4 s电梯做匀速直线运动
C．在4～5 s和5～6 s内电梯的加速度方向相反
D．在4～5 s和5～6 s内电梯的运动方向相反
【解析】选B、D。图像的“面积”等于位移大小，由图看出，5 s末位移最大，故选项A错误；在2～4 s内图像的斜率为零，说明电梯做匀速直线运动，故选项B正确；在4～6 s内，速度图像是一条直线，其斜率保持不变，说明加速度保持不变，故选项C错误；在4～5 s内速度为正，在5～6 s内速度为负，说明电梯的运动方向相反，故选项D正确。
【变式训练】
如图所示是A、B两质点从同一地点运动的位移—时间(x t)图像，则下列说法错误的是(　　)
A．A质点以20 m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．B质点最初4 s做加速运动，后4秒做减速运动
D．A、B两质点在4 s末相遇
【解析】选C。x t图像的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由x t图像可知，A质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v＝＝ m/s＝20 m/s，A正确；B质点最初4 s沿正方向做减速运动，后4 s沿负方向做加速运动，B正确、C错误；4 s末A、B两质点达到同一位置，故相遇，D正确。
2．下列图像均能正确反映物体在直线上的运动，在t＝2 s内物体位移最大的是(　　)
【解析】选B。选项A中，当t＝2 s时，x＝0，这表示物体在t＝2 s内位移为0，即物体做的是一次往返运动；v t图像与坐标轴所围图形的“面积”表示位移大小，当图形位于时间轴上方时表示位移方向为正，当位于下方时表示位移方向为负，观察选项图可知，选项B中的“图形”只位于横轴上方，这表示物体在t＝2 s内位移方向为正，大小等于图形的“面积”，而选项C、D中的“图形”有两部分组成，它们分别在横轴上下两侧，且两部分图形的“面积”大小相等，这表示物体在t＝2 s内位移均为0，选项B符合题意。
3．A、B两物体在同一直线上运动的v t图像如图所示。已知在第3 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．两物体从同一地点出发
B．出发时A在B前方2 m处
C．两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度
D．第3 s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇
【解析】选C。由速度—时间图像的“面积”表示位移可知，两物体在3 s内的位移不等，而在第3 s末两个物体相遇，可知两物体出发点不同，故A错误；A、B两物体在3 s内的位移分别为xA＝×4×3 m＝6 m，xB＝×6×3 m＝9 m，已知在第3 s末两物体相遇，则出发时A在B前方3 m处，故B错误；由A图像的斜率小于B图像的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，故C正确；3 s末两个物体相遇后，A的速度始终小于B的速度，所以两物体不可能再相遇，D错误，故选C。
4．一质点自x轴原点O出发，沿正方向以加速度a运动，经过t0时间速度变为v0，接着以加速度－a运动，当速度变为－时，加速度又变为a，直至速度变为时，加速度再变为－a，直至速度变为－，其v t图像如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.质点一直沿x轴正方向运动
B．质点将在x轴上往复运动，最终停止运动
C．质点运动过程中t0时刻质点离开O点距离最大
D．质点运动过程中离原点的最大距离为2v0t0
【解析】选B。速度为矢量，题图中质点的速度只有两个相反的方向，故质点时而沿x轴正方向运动，时而沿x轴负方向运动，由题图知，质点在2t0时刻开始反向运动，最后速度逐渐变为零，选项A错误，B正确；质点运动过程中2t0时刻质点离开O点距离最大，质点运动过程中离原点的最大距离为x＝v0·2t0＝v0t0，选项C、D错误。
5.如图所示为甲、乙两物体运动的x t图像，则下列说法不正确的是(　　)
A．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动
B．两物体的初速度都为零
C．在0～t1时间内两物体平均速度大小相等
D．相遇时，甲的速度大于乙的速度
【解析】选B。由x t图像形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度大小不为零，故A正确，B错误；0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，C正确；t1时刻甲、乙相遇，根据x t图像斜率等于速度的特点，v甲>v乙，D正确，故选B。
二、计算题(本题共2小题，共25分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6．(12分)如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直的公路上相向做匀速直线运动，速度大小分别为v1＝25 m/s和v2＝20 m/s，为了会车安全，两车车头距离d＝95 m时，同时开始做匀减速运动，轿车和卡车匀减速的加速度大小均为a＝5 m/s2，两车减到速度为v＝10 m/s时，又保持匀速直线运动，轿车车身全长L1＝5 m，卡车车身全长L2＝15 m。
(1)当轿车速度刚减到10 m/s时，两车是否已相遇？
(2)两车的会车时间是多少？(会车时间指从两车车头相遇至车尾分离的时间)
【解析】(1)设轿车减速时间为t1 ， 卡车减速时间为t2，则
t1＝＝3 s①
t2＝＝2 s②
则轿车在3 s内减速的位移为
x1＝t1＝52.5 m③
3 s内卡车先减速2 s，再匀速运动1 s，则卡车3 s内的位移为
x2＝t2＋v(t1－t2)＝40 m④
x1＋x2＝92.5 m<95 m⑤
故两车未相遇
(2)设会车时间为Δt，则
vΔt＋vΔt＝L1＋L2⑥
解得Δt＝1 s
答案：(1)两车未相遇　(2)1 s
【总结提升】解决追及与相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。
(3)数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇。
【变式训练】
酒后驾车严重威胁公众交通安全。若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离。科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化。一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v t图线分别如图甲、乙所示。求：
(1)正常驾驶时的感知制动距离x。
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx。
【解析】(1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t1、t2，由图线可得：t1＝0.5 s
t2＝1.5 s，
正常驾驶时汽车减速时间为t3＝4.0 s，
初速度v0＝30 m/s，
由图线可得：x＝v0t1＋t3，
解得：x＝75 m。
(2)Δx＝v0(t2－t1)＝30×(1.5－0.5)m＝30 m。
答案：(1)75 m　(2)30 m
7．(13分)客车在公路上以20 m/s的速度做匀速直线运动，发现前方105 m处有一载重货车以6 m/s的速度匀速行驶，客车立即关掉油门，以a＝－0.8 m/s2的加速度匀减速行驶，问：
(1)客车司机仅靠此举是否可避免和货车相撞。
(2)如果要保证客车和货车不相撞，在其他条件不变的前提下，客车的加速度至少应为多大？
【解析】(1)两车速度相等时，客车恰好追上货车是避免碰撞的临界条件，即20－0.8 t＝6，t＝17.5 s，货车位移x1＝vt＝105 m。客车位移x2＝v0t＋at2＝227.5 m，x2>x1＋105 m。客车司机仅靠此举不能避免客车和货车相撞。
(2)客车和货车恰好不相撞的临界条件是客车追上货车时，两车的速度恰好相等。
v′＝v′0＋a′t′　①
v′t′＋105 m＝v0′t′＋a′t′2　②
联立①②两式得t′＝15 s，a′＝－0.93 m/s2
答案：(1)不能避免　(2)0.93 m/s2
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