_1.1 命题及其关系
1．1.1 命 题
观察下列语句：
①x＝2是方程x2－4x＋4＝0的解；
②函数f(x)＝在定义域上是减函数吗？
③一个整数不是质数就是合数；
④3100不是整数；
⑤若sin α＝sin β(α，β∈R)，则α＝β或α＋β＝π；
⑥空间中与同一条直线平行的两条直线互相平行；
⑦x2－x－1>0.
问题1：哪几个语句能判断为真？
提示：①⑥
问题2：哪几个语句能判断为假？
提示：③④⑤
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题，如“对数函数是单调函数吗？”“勿踏草地”“正弦函数的图象真优美啊！”都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．
命题是由条件和结论两部分组成，它的结构形式为“若p，则q”．其中，p是命题的条件，q是命题的结论．有些命题表面上没有明确的条件和结论，即不是“若p，则q”的形式．为了找到命题的条件和结论，我们可把命题改写成“若p，则q”的形式．
命题的判断
[例1] 判断下列语句是否是命题．若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根．
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0.
[思路点拨] →→
[精解详析] (1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，所以是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
[一点通] 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”( )
A．不是命题 B．是真命题
C．是假命题 D．不能判断真假
解析：由不等式性质得a>b?a＋c>b＋c，
所以该命题是真命题．
答案：B
2．判断下列语句是否是命题．若是，判断其真假．
(1)一个数列不是递增数列就是递减数列吗？
(2)矩形是平行四边形．
(3)在空间垂直于同一条直线的两条直线必平行．
(4)当x＝0时，2x＋1>0.
解：(1)是疑问句，不是命题；
(2)是命题，且是真命题；
(3)是命题，是假命题；
(4)是命题，是真命题.
命题的结构
[例2] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
[思路点拨] 先写成“若p，则q”的形式，再由推理或举反例判断它们的真假．
[精解详析] (1)若ac>bc，则a>b；假命题．
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根；真命题．
(3)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0；真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1；真命题．
[一点通] 数学中，“若p，则q”这种形式是命题的结构形式，这里p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．但有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．
3．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p：______，结论q：________.它是________(填“真”或“假”)命题．
解析：该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以它是假命题．
答案：一个数是正整数 它不是合数就是素数 假
4．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0.
解：命题(1)中的条件是一个三角形是等腰三角形，结论是这个三角形的两个底角相等．故命题可以写成：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等．显然这个命题是真命题．
命题(2)中的条件是x＝2或x＝4，结论是x2－6x＋8＝0.故命题可以写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0.通过检验可知这个命题是真命题．
1．判断一个语句是不是命题的两个要素：
(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
(2)可以判断真假．
2．判断真假命题的方法：
首先考虑特例法，根据给定条件举出特例，如果得出与给定结论相反的结果，那么就可证明它是假命题．若条件和结论的因果关系不明显，不容易找到反例，只能根据所学知识进行证明．
3．任何一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
1．下列语句中命题的个数是( )
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①③④是命题；②不能判断真假，不是命题．
答案：D
2．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
答案：C
3．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；
当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；
当·>0时，向量→与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
答案：B
4．(2011·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
5．有下列语句：①集合{a，b，c}有3个子集；②x2－1≤0；③今天天气真好啊；④f(x)＝2log3x(x>0)是一个对数函数；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为________．
解析：①是命题，但不是真命题，因为{a，b，c}应有8个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题，f(x)＝2log3x不是一个对数函数；⑤是命题且是真命题．
答案：⑤
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：______.它是________命题(填“真”或“假”)
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
8．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B＝?是假命题，求实数m的取值范围．
解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥}．
若设方程x2－4mx＋(2m＋6)＝0的两根分别为x1，x2，则当两根均为非负实根时，有
解得m≥.
而{m|m≥}关于U的补集是{m|m≤－1}，
∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
1．1.2 & 1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
观察下列四个命题：
(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．
(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．
(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．
(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
1．四种命题
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表示形式
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中，一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
原命题为“若p，则q”； 逆命题为“若q，则p”.
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.
原命题为“若p，则q”； 否命题为“若?p，则?q”.
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
原命题为“若p，则q”； 逆否命题为“若?q，则?p”
2．四种命题之间的关系
3．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，再根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．
2．互为逆否命题的两个命题真假性相同．
四种命题之间的转换
[例1] 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[思路点拨] 首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．
[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
[一点通]
(1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．
(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
1．(2012·湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
答案：C
2．写出命题“若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：逆命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a>1.
否命题：若a≤1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增函数．
逆否命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增函数，则a≤1.
四种命题真假的判断
[例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
[思路点拨] →→
[精解详析] (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．
[一点通] 要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．
3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
(1)
真
原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题.
(2)
假
原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题.
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题.
(4)
假
该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题.
答案：B
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；
(2)相等的两个角的正弦值相等；
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；
(4)若x∈A，则x∈A∩B.
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B；真命题．
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b；真命题．
(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题．
(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0；真命题．
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3；真命题．
逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0；假命题．
(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A；真命题．
否命题：若x?A，则x?A∩B；真命题．
逆否命题：若x?A∩B，则x?A；假命题.
等价命题的应用
[例3] 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
[思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．
[精解详析] 法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－≤0.
∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．
法三：p：m>0，q：方程x2＋2x－3m＝0有实数根；
綈p：m≤0，綈q：方程x2＋2x－3m＝0无实数根．
綈p：A＝{m|m≤0}，
綈q：B＝{m|方程x2＋2x－3m＝0无实数根}
＝{m|m<－}．
∴B?A，∴“若綈q，则綈p”为真，
即“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．
[一点通]
(1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．
5．把本例命题改换成“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”，判断其逆否命题的真假．
解：法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a≥2，∴4a－7>0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
法二：判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
∴a<，∴a<2，∴原命题为真命题．
因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．
6．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都大于或等于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，得
a＋b＋c≥1.
显然逆否命题为真命题．
所以原命题也为真命题．
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，
则a，b，c中至少有一个小于.
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
1．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．等价命题
解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．
答案：B
2．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D正确．
答案：D
3．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题；逆命题“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”为真命题；否命题“若a≤b，则ac2≤bc2(a，b，c∈R)”为真命题；逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．
答案：B
4．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，
则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.
∴其逆命题是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．
解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．
答案：2 2
6．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
7．写出命题“如果|x－2|＋(y－1)2＝0，则x＝2且y＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：如果x＝2且y＝1，则|x－2|＋(y－1)2＝0；真命题．
否命题：如果|x－2|＋(y－1)2≠0，则x≠2或y≠1；真命题．
逆否命题：如果x≠2或y≠1，则|x－2|＋(y－1)2≠0；真命题．
8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
所以假设不成立，故a＋b≥0.
_1.2 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．
问题1：A开关闭合时B灯一定亮吗？
提示：一定亮．
问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：不一定，还可能是C开关闭合．
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
p?/_q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
充要条件
已知p：整数x是6的倍数；
q：整数x是2和3的公倍数．
问题1：“若p，则q”是真命题吗？
提示：是．
问题2：“若q，则p”是真命题吗？
提示：是．
问题3：p是q的什么条件？
提示：是充分条件，也是必要条件．
充要条件
(1)如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．
3．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．
4．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
[思路点拨] 首先判断是否有p?q和q?p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．
[精解详析] (1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即綈q?綈p，
但綈p?/ 綈q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p?/ q，
又取∠A＝30°，∠B＝120°，q?/ p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，
A?B，所以p是q的充分不必要条件．
[一点通]
(1)若p?q且q?/ p，则p是q的充分不必要条件；
若p?/ q且q?p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q且q?p，则p是q的充要条件；
若p?/ q且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
1．下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a＝0，q：ab＝0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p?q；
对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p?/ q；
对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p?/ q；
对D，当a>b>0时，有>，
而a>0>b或0>a>b时，或无意义，∴p?/ q.
答案：A
2．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故φ＝0是函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．
答案：A
3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，
∴cos B＝<0，
∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形．反之，若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，
∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p?q.若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要条件.
根据充分、必要条件求参数的取值范围
[例2] 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 解决本题可先求出命题p和q成立的条件，再得到綈p，利用綈p是綈q的必要不充分条件，即綈q?綈p求出a的取值范围，或利用等价条件p?q求得a.
[精解详析] 由x2－4ax＋3a2<0且a<0得
3a∴p：3a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
∴q：－2≤x≤3.
∵綈q?綈p，∴p?q.∴?－≤a<0，
∴a的取值范围是[－，0)．
[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
4．集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|A．[－2,0) B．(0,2]
C．(－2,2) D．[－2,2]
解析：A＝{x|<0}＝{x|－1答案：C
5．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式x2－8x－20>0的解集为
A＝{x|x>10或x<－2}；
不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q但q?/ p，说明A?B.
于是有或解得0所以正实数a的取值范围是(0,3].
充要条件的证明和求解
[例3] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么，然后证明p?q(充分性)和q?p(必要性)成立．
[精解详析] 充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[一点通]
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
6．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
7．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解：当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1.
因为f(0)＝1>0，
∴若a>0时，则－<0，>0，∴只要Δ＝4－4a≥0，即a≤1，∴0若a<0，则<0，Δ＝4－4a>0，
方程恒有两异号实数根．
综上所述，a≤1为所求．
1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：
(1)定义法(直接法).
条件p与结论q的关系
结论
p?q，但q?/ p
p是q成立的充分不必要条件
q?p，但p?/ q
p是q成立的必要不充分条件
p?q，q?p，即p?q
p是q成立的充要条件
p?/ q，q?/ p
p是q成立的既不充分也不必要条件
(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p，q对应的集合分别为A，B.
若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B，且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
(3)等价转化法，即利用A?B与綈B?綈A，A?B与綈B?綈A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．
2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
答案：B
2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2?(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.
答案：A
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙?乙，但乙?/ 丙，如图．
综上，有丙?甲，但甲?/ 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由已知得綈p：－1≤x≤1，綈q：－2≤x≤1，所以綈p是綈q的充分不必要条件．
答案：A
5．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________．
解析：直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切?圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于
?＝?|m＋2|＝2?m＝－4或0.
答案：m＝－4或0
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?/ B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[－，2]}，B＝{x||x－m|≥1}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：先化简集合A，由y＝x2－x＋1，配方，得
y＝(x－)2＋.
∵x∈[－，2]，
∴y∈[，2]．
∴A＝{y|≤y≤2}．
由|x－m|≥1，
解得x≥m＋1或x≤m－1.
∴B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．
∵命题p是命题q的充分条件，
∴A?B.
∴m＋1≤或m－1≥2，解得m≤－或m≥3.
故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[3，＋∞)．
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1，
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
_1.3 简单的逻辑联结词
逻辑联结词“且”或“非”
如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合．
问题2：乙图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合或q闭合．
问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？
提示：开关p不闭合时．
构成新命题
记作
读作
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题
p∨q
p或q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题
p∧q
p且q
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题
綈p
非p或p的否定
含有逻辑联结词的命题的真假判断
如知识点一中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．
问题1：什么情况下，p∧q为真？
提示：当p真，q真时．
问题2：什么情况下，p∨q为假？
提示：当p假，q假时．
问题3：什么情况下，綈p为真？
提示：当p假时．
“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断：
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
1．对“或”的理解，可联想集合中并集的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，是指“x∈A”“x∈B”其中至少一个是成立的，即可以是x∈A，且x?B，也可以是x?A，且x∈B，还可以是x∈A，且x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义．生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．由“或”联结两个命题p和q构成的复合命题“p或q”，当“p真q假”“p假q真”“p真q真”时，都为真．
2．对“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，是指“x∈A”“x∈B”同时满足，即x既属于集合A，同时又属于集合B.用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，为真．
3．对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”．当p真时，则“非p”为假；当p假时，则“非p”为真．若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集?UP.
分析命题的构成
[例1] 指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；
(3)矩形不是平行四边形．
[思路点拨] 解答本题先进行命题结构分析，再写出每个简单命题．
[精解详析] (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．
[一点通]
(1)不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，因此就有“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题，其中p，q为简单命题．
(2)在“p∨q”“p∧q”“綈p”中，p，q都是命题，但在“若p，则q”中，p，q可以是命题，也可以是含有变量的陈述句．
(3)正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是解题的关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．
1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是( )
A．简单命题 B．“(綈p)∧(綈q)”的形式
C．“p∧q”的形式 D．“p∨q”的形式
解析：含有逻辑联结词“且”，故为“p∧q”的形式．
答案：C
2．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题．
(1)方程x2＋x＋1＝0无实根；
(2)他是运动员兼教练；
(3)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且逻辑上有错误；
(4)3≥1.
解：(1)这个命题是“綈p”的形式，其中p：方程x2＋x＋1＝0有实根．
(2)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：他是运动员，q：他是教练．
(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品逻辑上有错误．
(4)此命题为“p∨q”的形式，其中p：3>1，q：3＝1.
判断含有逻辑联结词的命题的真假
[例2] 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6.
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分．
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解．
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，
q：函数y＝cos x是奇函数．
[思路点拨] 先判断p，q的真假，再利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．
[精解详析] (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，
綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，
綈p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
[一点通] 判断复合命题的真假可以总结为三句话，即
(1)对“p∨q”命题：一真必真．也就是p，q中只要有一个是真命题，则“p∨q”一定是真命题．
(2)对“p∧q”命题：一假必假．也就是p，q中只要有一个是假命题，则“p∧q”一定是假命题．
(3)对“綈p”命题：真假相反，也就是p与非p的真假不同，p真，非p就假；p假，非p就真．
3．由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是( )
A．p：3是偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5>3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R，q：N＝N*
解析：“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，所以可知：p假、q真．对照分析四个选项，只有B符合．
答案：B
4．判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x＝1是方程x2＋3x＋2＝0的根或x＝－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A?(A∪B)．
解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p真q真，则“p且q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根．因为p假q真，则“p或q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“非p”的形式，其中p：A?(A∪B)．因为p真，则“非p”假，所以该命题是假命题.
根据命题的真假求参数的范围
[例3] 命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 解答本题可先求p，q中a的范围，再利用p∨q为真，p∧q为假，构造关于a的不等式组，求出a的范围．
[精解详析] 设g(x)＝x2＋2ax＋4.因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，
∴－2∴命题p：－2函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a>1，即a<2.∴命题q：a<2.
由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1) 若p真q假，则此不等式组无解．
(2)若p假q真，则
∴a≤－2.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
[一点通]
(1)根据p，q的真假可判断命题p∧q，p∨q的真假；反之根据命题p∧q，p∨q的真假也可以判断命题p，q的真假．
(2)解答这类问题的一般步骤：
①求出命题p，q为真时参数的条件；
②根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；
③根据p，q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值范围．
5．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
解析：p：x<3；q：－1∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
6．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解：p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∴p为真，q为假，或p为假，q为真．
故或
解得m≥3，或1所以m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
1．一个复合命题，从字面上看不一定含“或”、“且”字样．这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”“x＝±3”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”．
2．判断复合命题真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式，是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”的形式；
②判断其中简单命题p，q的真假；
③根据真值表判断复合命题的真假．
3．已知命题的真假求参数的取值范围，可以先求出构成命题的p和q为真时参数的范围，然后根据条件判断出p和q的真假，建立不等式(组)求参数的范围．
1．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当p或q为真时，可以得到p和q中至少有一个为真，这时q且p不一定为真；反之当q且p为真时，必有p和q都为真，一定可得p或q为真．
答案：B
2．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1]．在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“非p”中，真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：p为真命题．对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，
∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，非p假．
答案：B
3．已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：命题p是真命题．y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．
∴p且q为假，p或q为真，綈p为假．
答案：B
4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．
在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x＝()x在R上为减函数，
∴y＝－2－x＝－()x在R上为增函数，
∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．
y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．
∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D.
q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，
(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.
答案：C
5．已知p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题．p假?a≤0，q假?a≥b，则b≤a≤0.
答案：b≤a≤0
6．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为
________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
7．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题，并判断其真假：
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：??{0}；q：?＝{0}．
解：(1)p∧q：6是自然数且是偶数．它是真命题．
p∨q：6是自然数或是偶数．它是真命题．
綈p：6不是自然数．它是假命题．
(2)p∧q：??{0}且?＝{0}．它是假命题．
p∨q：??{0}或?＝{0}．它是真命题．
綈p：??{0}．它是假命题．
8．已知a>0，a≠1.设p：函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
解：当0当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时0q真等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
又a>0，∴0.
∵p或q为真，p且q为假，
∴p，q中必定是一个为真一个为假．
(1)若p真，q假，
则
?≤a<1，
即a∈[，1)．
(2)若p假，且q真，
则
?a>，
即a∈(，＋∞)．
综上可知，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
观察下列命题：
(1)被7整除的整数是奇数；
(2)有的函数是偶函数；
(3)至少有一个三角形没有外接圆．
问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？
提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．
问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？
提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．
问题3：判断命题(3)的否定的真假．
提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．
含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定
[例1] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数．
[思路点拨] 先判断命题的真假，再写出命题的否定．
[精解详析] (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是全称命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称命题且为真命题．
命题的否定：某个负数的平方不是正数．
[一点通]
(1)全称命题的否定为特称命题．p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x0∈M，綈p(x0)成立．
(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．
1．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
解析：“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，有綈p(x0)”．
∴其否定为?x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案：?x0∈R,3x－2x0＋1≤0
2．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)?a，b∈R，a2＋b2>0.
(4)被5整除的整数，末位数字是0.
解：(1)是全称命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．
(2)是全称命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．
(3)是全称命题，其否定为?a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．
(4)是全称命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，
所以是真命题．
特称命题的否定
[例2] 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x0∈R，x＋1<0；
(4)?x0，y0∈Z，使得 x0＋y0＝3.
[思路点拨] 写命题的否定时注意更换量词并否定结论．
[精解详析] (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x＋1<0”，即“?x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．
(4)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
[一点通]
(1)特称命题的否定是全称命题，特称命题“?x0∈M，p(x0)”的否定为对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“?x∈M，綈p(x)”．
(2)要证明特称命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．
3．命题“?x0∈R，x－x＋1>0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－x2＋1<0
B．?x0∈R，x－x＋1≤0
C．?x0∈R，x－x＋1<0
D．?x∈R，x3－x2＋1≤0
解析：特称命题的否定是全称命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．
答案：D
4．写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x0＞1，使x－2x0－3＝0；
(2)p：若an＝－2n＋10，则?n0∈N*，Sn0＜0；
(3)p：?x0∈R，x0＞2；
(4)p：?x0∈R，x＜0.
解：(1)綈p：?x＞1，x2－2x－3≠0.(假)
(2)綈p：若an＝－2n＋10，则?n∈N*，Sn≥0.(假)
(3)綈p：?x∈R，有x≤2.(假)
(4)綈p：?x∈R，x2≥0.(真)
根据全称命题的概念求参数的范围
[例3] 若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 因为此命题是全称命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f(x)＝x2－2ax＋2，只需当x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．
[精解详析] 法一：由题意，?x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为?x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．
又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴?x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
因为f(x)的最小值f(x)min≥a，∴或?－1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为?x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[一点通] 全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上．
5．若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)
解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对?x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0.当a＋2＝0时，不符合题意．
故有
解得a≥2.
答案：B
6．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0.
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
3．常用词语的否定如下表：
量词
否定
量词
否定
都是
不都是(即至少有一个不是)
存在
不存在
必有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
任意的
某一个
大于
不大于
1．已知命题p：?x∈R，cos x≤1，则( )
A．綈p：?x0∈R，cos x0≥1
B．綈p：?x∈R，cos x≥1
C．綈p：?x0∈R，cos x0>1
D．綈p：?x∈R，cos x>1
解析：全称命题的否定为特称命题，
∴?x∈R，cos x≤1的否定为：?x0∈R，cos x0>1.
答案：C
2．下列命题中，真命题是( )
A．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．?m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．?m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．
答案：A
3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此?x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：C
4．已知命题p：对?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
解析：因为綈p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．
由4x＋2xm＋1＝0，
得－m＝＝2x＋≥2.
∴m≤－2.
答案：C
5．命题“?x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．
解析：“?x∈M，p(x)”的否定是“?x0∈M，綈p(x0)”，
∴其否定为：?x0∈R，x－x0＋4≤0.
答案：?x0∈R，x－x0＋4≤0
6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”．
答案：有的向量与零向量不共线
7．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．
(3)有些四边形存在外接圆．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1)?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
8．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：对于命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，
只需12－a≥0恒成立，即a≤1；
对于命题q：?x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0成立，
则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.
若p且q为真，则a≤－2或a＝1.
故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．
_1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 & 1.4.2 全称量词 存在量词
全称量词与全称命题
观察下列语句：
(1)x≤2；
(2)2x是偶数；
(3)对于所有的x∈R，x≤2；
(4)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题，且(3)是假命题，(4)是真命题．
问题2：语句(3)与(1)有什么不同？
提示：语句(3)在(1)的基础上，加了对x范围的限定条件“对所有x∈R”．
问题3：语句(3)和(4)有什么共同特点？
提示：都有对变量x的限定条件：“对所有的x∈R”，“对任意一个x∈Z”．
全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”， 可简记为“?x∈M，p(x)”
存在量词与特称命题
1．观察下列语句：
(1)4x＋2＝10；
(2)x能被5,8整除；
(3)存在一个x0∈R，使2＋x0＋2＝10；
(4)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)(2)不是，(3)(4)是，且都是真命题．
问题2：语句(3)(4)有什么特点？
提示：含有对变量x取值的限定条件“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．
存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”， 可用符号记为“?x0∈M，p(x0)”
判断一个语句是全称命题还是特称命题时，首先要判断语句是否是命题，然后分析命题中所含量词，含有全称量词的是全称命题，含存在量词的是特称命题．有些全称命题中虽然不含有全称量词，但我们可根据命题所涉及的意义去判断，如“实数的绝对值是非负数”，省略了“任意”，但它仍然是全称命题．
全称命题与特称命题的辨析
[例1] 判断下列语句是全称命题还是特称命题．
(1)有一个实数α，使tan α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率吗？
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(4)圆内接四边形的对角互补；
(5)指数函数都是单调函数．
[思路点拨] 先判断量词类型，再判断命题类型．
[精解详析] (1)是特称命题．α＝时，tan α不存在．
(2)不是命题．
(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题．
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．
(5)虽然不含逻辑联结词，但其实是指“所有的指数函数都是单调函数”，省略了“所有的”，所以该命题是全称命题．
[一点通] 判断一个语句是全称命题还是特称命题可分三个步骤：
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
1．下列语句是特称命题的是( )
A．整数n是2和5的倍数
B．存在整数n能被11整除
C．若3x－7＝0，则x＝
D．?x∈M，p(x)
解析：B中含有存在量词“存在”．
答案：B
2．下列语句是全称命题的是________(填序号)．
①三角形两边之和大于第三边；
②所有的x∈R，x3＋1>0；
③有些函数为奇函数；
④平行四边形对角相等．
解析：③为特称命题，①④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．
答案：①②④
用“?”或“?”表示全称命题或特称命题
[例2] 将下列命题用量词符号“?”或“?”表示．
(1)整数中1最小；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；
(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；
(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线．
[思路点拨] 先判断命题是全称命题还是特称命题，再用符号表示．
[精解详析] (1)?x∈Z，x≥1.
(2)?x0＜0，ax＋2x0＋1＝0(a＜1)．
(3)?x0∈R,2x0＋1＞0.
(4)若l⊥α，则?a?α，l⊥a.
[一点通] 全称命题表示为“?x∈M，p(x)”的形式；特称命题表示为“?x0∈M，p(x0)”的形式．
3．用量词符号“?”“?”表述下列命题：
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x0满足x＝3.
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解：(1)?x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.
(2)?x0∈Q，x＝3.
(3)?α∈R，sin2α＋cos2α＝1.
全称命题和特称命题真假的判断
[例3] 给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③?x0∈Z，x<1；
④?x0∈Q，x＝3.
其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上)．
[思路点拨] 首先正确理解命题的含义，再采用举反例等方法给予判断．
[精解详析] ①?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.
所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题．
②0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．
所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
③－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立．
所以命题“?x0∈Z，x<1”是真命题．
④使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．
因此，没有任何一个有理数的平方等于3.
所以命题“?x0∈Q，x＝3”是假命题．
[答案] ①③
[一点通]
(1)全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)特称命题的真假判断：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
4．下列命题中的假命题是( )
A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0
解析：选项A，lg x＝0?x＝1；选项B，tan x＝1?x＝＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0?x>0；选项D,2x>0?x∈R.
答案：C
5．已知以下三个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2＝0；
②?x0∈Q，x＝2；
③?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①中当且仅当x＝1或2时，x2－3x＋2＝0成立；
②中当x＝2时，x0＝±?Q；③中不等式变形为
x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时不成立，故选A.
答案：A
6．判断下列命题的真假．
(1)?x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；
(2)?x0∈R，x－6x0－5＝0；
(3)?x0∈R，x－x0＋1＝0；
(4)?x∈R，|x＋1|>0.
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10，
5×3＋1＝16，均为偶数，∴是真命题．
(2)∵x－6x0－5＝0中，Δ＝36＋20＝56>0，
∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题．
(3)∵x－x0＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3<0，
∴x－x0＋1＝0无解，
∴是假命题．
(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
1．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
2．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．
1．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B．存在实数x0，使sin x0＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
解析：由命题是特称命题，排除C、D；在A中，当α＝45°时，结论正确；B中，>1，∴不存在x0，使sin x0＝.
答案：A
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x＋1>0
B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1
D．?x0∈R，tan x0＝2
解析：B中，当x＝1时，(x－1)2＝0，∴B不正确，是假命题．
答案：B
3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是( )
A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy
B．?x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0
C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy
D．?x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0
解析：B，D为特称命题；C中改变了x，y的取值范围，都不正确；只有A正确．
答案：A
4．有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x0∈N，x≤x0；④?x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，这是全称命题，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，因为当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案：C
5．下列命题中，________是全称命题；________是特称命题．
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
解析：①②③为全称命题，④为特称命题．
答案：①②③ ④
6．下列语句是真命题的是________(填序号)．
①所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立；②存在一个实数x0，使不等式x－3x0＋6<0成立；③存在一个实数x0，使x－3x0＋6＝0.
解析：∵x2－3x＋6＝0中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，
∴x2－3x＋6＝0无解，x2－3x＋6>0恒成立．
∴①正确，②③错误．
答案：①
7．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x0，y0，使得3x0－2y0＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．
(2)?a、b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．
(3)?x0、y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．
8．确定m的范围，使下列命题为真命题．
(1)?x∈R，sin x＋cos x>m；
(2)?x0∈R，sin x0＋cos x0>m.
解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R.
∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)≥－，
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m为真命题，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R.
∵y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[－， ]，
又∵?x0∈R，sin x0＋cos x0>m为真命题，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
解得a<0或∴a的取值范围是(－∞，0)∪(，4)．
