_2.1 曲线与方程
曲线与方程
在平面直角坐标系中：
问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？
提示：对．
问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？
提示：不对，还可能在直线x＝－5上．
问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？
提示：直线x＝±5.
曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
求曲线的方程
在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．
问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？
提示：|PA|＝.
问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？
提示： ＝.
问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？
提示：轨迹是一条直线．
1．求曲线的方程的步骤
2．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．
(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
正确理解曲线与方程的概念
(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．
曲线与方程的概念
[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．
[精解详析] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
[一点通]
(1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．
(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．
答案：B
2.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
解析：方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
∴表示两条直线2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
答案：C
曲线与方程关系的应用
[例2] 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．
[思路点拨] 对于(1)，只需判断点P，Q的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M的坐标代入方程，从而得到关于m的方程，进而求出m的值．
[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝，y＝－m适合上述方程，
即()2＋(－m－1)2＝10.解之得m＝2或m＝－，
∴m的值为2或－.
[一点通]
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将M点的坐标代入直线l、曲线C的方程验证可知点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．如果曲线ax2＋by2＝4过A(0，－2)，B(，)，则a＝________，b＝________.
解析：曲线过A(0，－2)，B(，)两点，
∴A(0，－2)，B(，)的坐标就是方程的解．
∴∴b＝1，a＝4.
答案：4 1
5．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
解：∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是(－∞，].
求曲线的方程
[例3] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
[思路点拨] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．
[精解详析] 法一：(直接法)
如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得
|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
法二：(定义法)
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
法三：(代入法)
设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得
即
又因为x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋4(y－)2＝9，
即x2＋(y－)2＝(去掉原点)．
[一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点
直接法
动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程
定义法
动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量
代入法
动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程
待定系数法
根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数
6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设动点C的坐标为(x，y)．
∵△ABC为以A为顶点的等腰三角形，
∴|AB|＝|AC|，
∴＝，
即(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3,5)．
所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10，它表示以(4,2)为圆心，以为半径且去掉(3,5)，(5，－1)的圆．
7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
解：设△ABC的重心为G(x，y)，
顶点C的坐标为(x1，y1)．
由重心坐标公式得
∴代入y1＝3x－1，得
3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．
2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上．反之点M在y＝－2上时，一定在y2＝4x上．
答案：B
2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )
解析：A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A错；B中方程x2－y2＝0可化为(x－y)(x＋y)＝0，表示两条直线x－y＝0，x＋y＝0，故B错；
C中方程lg x＋lg y＝1可化得y＝(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故C错；D中的方程y＝|x|去绝对值得y＝表示两条射线，所以D正确．
答案：D
3．一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是
( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1
解析：设动点C的坐标为(x0，y0)，
P点坐标为(x，y)，
则由中点坐标公式可得
x＝，y＝，
即x0＝2x－3，y0＝2y.
又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
4．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：由两点式，得直线AB的方程是
＝，
即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
5．方程x2＋y2－3x－2y＋k＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k＝________.
解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k＝0.
答案：0
6．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA―→·PB―→＝x2，则点P的轨迹方程是
________．
解析： ＝(－x－2，－y)，＝(3－x，－y)，
则·＝(－x－2)(3－x)＋(－y)2＝x2，
化简得y2＝x＋6.
答案：y2＝x＋6
7．求方程(x＋y－1)＝0表示的曲线．
解：(x＋y－1)＝0写成
或x－y－2＝0.
由得
∴表示射线x＋y－1＝0(x≥)，
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)或直线x－y－2＝0.
8．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：
如图，设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴A点坐标是(2x,0)，
B点坐标是(0,2y)．
∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，
∴PA⊥PB.当x≠1时，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝＝，kPB＝＝，
∴·＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，
它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)．连接PM，如图．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
∴2＝.
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M.
∴|MP|＝|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．
∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，
∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
_2.2 椭__圆
2．2.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长L大于两点F1，F2的距离，移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？
提示：|MF1|＋|MF2|＝L.
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的标准方程
在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则P点的轨迹方程是什么？
提示：轨迹方程为＋＝1.
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则P点的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a.
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．标准方程中根据x2，y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上：x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
3．标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，是椭圆定型的条件．a，b，c三个量满足：a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义．
椭圆定义的应用
[例1] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路点拨] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．
[精解详析] 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
将②代入①解得|PF1|＝.
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
[一点通] 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形．解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
1．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．不确定
解析：椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，∴c＝4.
△PF1F2的周长为
|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×5＋2×4＝18.
答案：B
2．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是( )
A．2 B．4
C．8 D.
解析：设椭圆的另一个焦点为E，如图，
则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8.
又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
答案：B
用待定系数法求椭圆的标准方程
[例2] 已知椭圆经过点(，)和点(，1)，求椭圆的标准方程．
[思路点拨] 解答本题可设出椭圆的标准方程，也可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式，以便讨论和运算简化，再确定相应系数，要注意对焦点位置的讨论．
[精解详析] 法一：当椭圆的焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为点(，)和点(，1)在椭圆上，
所以
所以而a>b>0，
所以a2＝1，b2＝9，不合题意，即焦点在x轴上的椭圆不存在．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为点(，)和点(，1)在椭圆上，
所以所以
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
法二：设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为点(，)和点(，1)都在椭圆上，
所以即
解得
所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1.
[一点通] 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为
3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，
又∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
与椭圆有关的简单的轨迹问题
[例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[思路点拨] 由△ABC的周长等于18，|BC|＝8，可知点A到B，C两个定点的距离之和是10，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A与点B，C不能在同一直线上．适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
[精解详析] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[一点通] 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
4．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×4＝8，
∴2a＝8，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
∴椭圆方程是＋＝1.
答案：B
5．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.
由题意得动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r.
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为＋＝1.
1．运用椭圆定义解题时，一定要注意隐含条件a>c.
2．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．
3．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．
4．解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sin α>4，sin α>.
∵α为锐角，∴<α<.
答案：C
4．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：∵a＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝，a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
答案：D
5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
6．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其两焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
解析：由已知得a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，取等号．
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案：9
7．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得
＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1.
把M点的坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
8．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图．
由于动圆M与已知圆B内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|.
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
2．2.2 椭圆的简单几何性质
图中椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
提示：b越小，椭圆越扁．
(1)椭圆的简单几何性质：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0
(2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．
1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处．
2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．
3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．
第一课时 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单的几何性质
[例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质．
[精解详析] 将椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2，
∴c＝ ＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝.
[一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
1．若椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由椭圆方程知长轴长为2a，短轴长为2，
∴2a＝2×2＝4，∴a＝2，∴c＝ ＝，
∴e＝＝.
答案：A
2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1.
∵m－＝>0，∴m>，
即a2＝m，b2＝，c＝ ＝ .
由e＝得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)；
四个顶点分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，).
利用椭圆的几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.
[精解详析] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意2a＝12，∴a＝6.又e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝62－22＝32，∴椭圆方程是＋＝1.
答案：D
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．
解：(1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，可得椭圆焦距为2c＝2.又因为离心率e＝，即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20.
若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；
若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1.
(2)依题意2a＝2·2b，即a＝2b.
若椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
则有解得
所以标准方程为＋＝1.
若椭圆焦点在y轴上，
设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则有解得
所以标准方程为＋＝1.
椭圆的离心率问题
[例3] 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
[思路点拨] 通过已知条件MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°，得到Rt△MF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率．
[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，|MF2|＝，
∴2c＝×，即＝，
即椭圆的离心率是.
[一点通] 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：
(1)直接求出a和c的值，套用公式e＝求得离心率；
(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及a2＝b2＋c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或范围．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
答案：D
6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
解析：由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝·2c，从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(＋1)，所以e＝＝＝－1.
答案：－1
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由已知得a＝9,2c＝·2a，∴c＝a＝3.
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：A
3．(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，
∴2(a－c)＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.
答案：C
4．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )
A．3 B．3或
C. D.或
解析：由椭圆的标准方程，易知m>0且m≠5.
①若0由＝1－()2＝，得m＝3.
②若m>5，则a2＝m，b2＝5.
由＝1－()2＝，得m＝.
所以m的值为3或.
答案：B
5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，则椭圆的方程是________．
解析：如图所示，
cos∠OF2A＝cos 60°＝，
即＝.又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.
答案：＋＝1
6．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.∴e＝＝.
答案：
7.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，
∴e＝.
法二：设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则M(c，b)．
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
8.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2 ，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
第二课时 椭圆方程及几何性质的应用
直线与椭圆的位置关系
[例1] m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1相交、相切、相离？
[思路点拨] 根据方程组的解的个数判断相应位置关系．
[精解详析] 由
得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③
此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定，
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，
方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交．
当m＝－或m＝时，Δ＝0，
方程③有两个相等的实数根，
代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切．
当m<－或m>时，Δ<0，
方程③没有实数根，直线与椭圆相离．
[一点通] 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)位置关系的判断方法：联立消y得一个一元二次方程．
①Δ>0?直线与椭圆有两个公共点．
②Δ＝0?直线与椭圆有一个公共点．
③Δ<0?直线与椭圆无公共点．
1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
解：由方程组消去y整理，得
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
解之得－≤m≤，
即m的取值范围为[－，]．
2．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短．
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为
y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0.
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4.
显然y＝x－4与椭圆＋＝1的切点P距l最近，
切点坐标为.
弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[思路点拨] 可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解．
[精解详析] 法一：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，
又直线的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.由方程组
得交点A(0，－2)，B(，)．
|AB|＝
＝ ＝ ＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标为方程组的解．
消y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
∴|AB|＝
＝
＝
＝ ＝.
法三：由方程组
消x得3y2＋2y－8＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∴|AB|＝
＝
＝
＝ ＝.
[一点通] 关于弦长的求法，基本思路是：①求出弦端点的坐标，利用两点间的距离公式求解；②结合根与系数的关系，利用变形公式l＝或l＝求解．
3．直线y＝x－与椭圆x2＋4y2－4＝0交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．
解：由消去y并整理得
5x2－8x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·＝ ＝.
又O到AB的距离d＝＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝.
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又知椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为.求椭圆的方程．
解：∵a＝2b，∴设椭圆方程为＋＝1(b>0)．
联立得5x2＋16x＋16－4b2＝0，
∴
∴|AB|＝
＝·＝.
∴5b2－4＝16.
∴b2＝4，即b＝2，满足Δ>0.
∴椭圆的方程为＋＝1.
中点弦问题
[例3] 焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程．
[思路点拨] 法一：设出椭圆的方程，再与直线方程联立消去y.由中点横坐标为建立方程，再与a2－b2＝c2解方程组即可得a2，b2.
法二：由“点差法”求解．
[精解详析] 法一：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5)2＝50.①
由消去y得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
∵＝，∴＝，
即a2＝3b2.②
此时Δ>0.
由①②得a2＝75，b2＝25，
∴椭圆的方程为＋＝1.
法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
直线y＝3x－2与椭圆交于A，B两点，且
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得
＝－，
即＝＝－.
∵kAB＝3，AB中点为(x0，y0)，x0＝，y0＝－，
∴3＝－＝，即a2＝3b2.
又a2－b2＝(5)2＝50，∴a2＝75，b2＝25，
∴椭圆方程为＋＝1.
[一点通] 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则
①－②得a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．
5．直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为
________．
解析：法一：由消去y并整理得
3x2＋2mx＋m2－2＝0.
设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
∴－＝，m＝－.
由中点在直线y＝x－上得纵坐标y＝－＝－.
法二：设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则2x＋y＝2,2x＋y＝2.相减得
2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)·(y1＋y2)＝0.
把＝1，x1＋x2＝代入上式得＝－，
即为中点的纵坐标．
答案：－
6．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
解：法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
∴x1＋x2＝＝8，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设直线l与椭圆的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
两式相减，有
(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，
即k＝－.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
与椭圆有关的最值(范围)问题
[例4] 已知点P在圆C：x2＋(y－4)2＝1上移动，点Q在椭圆＋y2＝1上移动，求|PQ|的最大值．
[思路点拨] 结合图形可知，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点的坐标是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题．
[精解详析] 设椭圆上的一点Q(x，y)，又C(0,4)，
故|QC|2＝x2＋(y－4)2
＝4(1－y2)＋(y－4)2
＝－3y2－8y＋20
＝－3(y＋)2＋.
∵－1≤y≤1，
∴当y＝－1时，
|QC|max＝5.
∴|PQ|的最大值为5＋1＝6.
[一点通] 解决与椭圆有关的最值问题，一般是用坐标法，即设出椭圆上任一点的坐标(x，y)，依据椭圆方程将距离(或距离的平方)转化为关于x或y的二次函数，而椭圆的范围限制了x，y的取值范围，因此问题转化为定区间上二次函数的最值问题，从而可解．
7．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，] D．(1，)
解析：()2＝
＝＝1＋＝1＋≤1＋＝2，
当且仅当b＝c时取等号，
∴1<()2≤2，∴1<≤.
答案：C
8．设点F1是椭圆＋y2＝1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求△F1AB的面积的最大值．
解：如图，S△F1AB＝S△F1F2A＋S△F1F2B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
S△F1AB＝·|F1F2|·|y1－y2|＝|y1－y2|(∵c＝1)．
设直线AB的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，得
(2＋m2)y2＋2my－1＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
从而|y1－y2|＝
＝
＝＝.
∵＋≥2，
当且仅当m＝0时等号成立，
∴|y1－y2|≤＝，
即△F1AB面积的最大值为.
(1)点P(x0，y0)与椭圆＋＝1的位置关系：
P在椭圆上?＋＝1；
P在椭圆外?＋>1；
P在椭圆内?＋<1.
(2)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要注意判别式的应用．在有些问题中，这一条件是暗含的，易忽略．
(3)解决解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法或基本不等式法及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围．
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10 B．12
C．16 D．18
解析：∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
答案：B
2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为
( )
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
解析：当直线AB为y轴时面积最大，|AB|＝2b，△AFB的高为c，∴此时S△AFB＝·2b·c＝bc.
答案：D
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)．
由题意，(0,1)在椭圆上或在椭圆内部，
∴m≥1.又方程＋＝1表示椭圆，
∴m≠5.∴m≥1且m≠5.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A. B.
C. D.
解析：椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋.
由得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝＝.
答案：B
5．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
7．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝－1的点．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设点C(－2,0)，若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率．
解：(1)设P(x，y)，A(x，y1)，B(x，－y1)，
则＝(0，y1－y)，＝(0，－y1－y)．
∵·＝－1，∴y2－y＝－1，
∴y＝y2＋1.①
又点A在椭圆上，∴x2＋2y＝4.②
由①②得x2＋2(y2＋1)＝4.
因此，点P的轨迹方程是＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝k(x＋2)，
由
消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ＝0得(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝0，
∴k＝±，则直线的斜率为±.
8．(2011·北京高考)已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由
得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，
即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝＝.
当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，
且当m＝±时，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值为2.
2．3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
双曲线的定义
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．
问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？
提示：340×3＝1 020(米)．
问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？
提示：|MB|－|MA|＝1 020.
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
双曲线的标准方程
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．
问题1：若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则M的轨迹方程是什么？
提示：－＝1.
问题2：若动点M满足||MC|－|MD||＝4，则点M的轨迹方程呢？
提示：－＝1.
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．双曲线定义的理解
(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略．若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若|PF1|－|PF2|＝2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支．
②若|PF1|－|PF2|＝－2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支．
(2)若|F1F2|＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线．
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程－＝1(焦点在x轴上)和－＝1(焦点在y轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c2＝a2＋b2.
求双曲线的标准方程
[例1] 已知双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程．
[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程；也可以设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，可避免讨论并简化运算．
[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵P1，P2在双曲线上，∴
解得(不合题意，舍去)
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)．
∵P1，P2在双曲线上，∴
解得即a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵P1，P2在双曲线上，所以
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[一点通] 求双曲线标准方程的步骤：
1．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为
( )
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C.－y2＝1 D.－＝1
解析：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
故双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：A
2．求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．
解：法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
双曲线定义的应用
[例2] 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
[思路点拨] 根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|·|PF2|即可．
[精解详析] 由－＝1，得a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线定义及勾股定理得
|PF1|－|PF2|＝±6，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100.
∴|PF1|·|PF2|＝＝32.
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
[一点通] 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形的使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．
3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
A．2 B．4
C．8 D．12
解析：双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8.由双曲线定义知
||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，
所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
答案：B
4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________．
解析：设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.
相减得|MC1|－|MC2|＝4.
又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|＝6>4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3.
所以b2＝5，所求的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
答案：－＝1(x≥2)
曲线类型的讨论
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0(5)当k>1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．
5．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
解析：由题意，方程可化为－＝3，
∴解得m<－2.
答案：C
6．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线如何变化？
解：(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．
1．求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样能减少运算量．
(2)待定系数法，其步骤为
①定类型：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．
②定量：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．解方程组，将解代入所设方程即为所求．
2．椭圆与双曲线的比较
椭圆
双曲线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)
方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F(±c,0)
F(0，±c)
F(±c,0)
F(0，±c) a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
c2＝a2＋b2
1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：C
2．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得解得即－1答案：A
3．P为双曲线－＝1上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|等于( )
A．13或1 B．1
C．13 D．15
解析：由双曲线方程得a＝3，b＝4，c＝5，显然双曲线右支上的点P到F1的距离最小为a＋c＝8，因此P在双曲线左支上，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝13.
答案：C
4．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )
A．48 B．24
C．24 D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
所以△PF1F2的面积
S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24.
答案：B
5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设右焦点为F1(4,0)，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，
∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|
＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
答案：9
6．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
7．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程．
解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，
从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，
所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝2.
所以圆心C的轨迹是双曲线，
其中2a＝4,2c＝|F1F2|＝2，
即a＝2，c＝，所以b2＝c2－a2＝1.
故L的方程为－y2＝1.
8．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为
x2－＝1(x>1)．
2．3.2 双曲线的简单几何性质
有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点……
问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？
提示：坐标轴、坐标原点
问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？
提示：双曲线的渐近线．
问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？
提示：只有一个交点．
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴 x轴、y轴， 对称中心 坐标原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e＞1)
渐近线
±＝0或y＝±x
±＝0或y＝±x
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.
1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．
2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x＝±a，y＝±b(或x＝±b，y＝±a)围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．
3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程－＝1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程±＝0.
第一课时 双曲线的简单几何性质
已知双曲线的标准方程求其几何性质
[例1] 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[思路点拨] →→
[精解详析] 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程
－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长a＝，
半虚轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝ ，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
渐近线的方程为y＝± x，即y＝±x.
[一点通] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a，b对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，
所以a2＝4，a＝2，2a＝4.
答案：C
2．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
解析：由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，
∴双曲线方程为－＝1.
∴渐近线方程为－＝0，即±＝0.
答案：A
由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共的渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路点拨] →→→
[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)法一：当焦点在x轴上时，＝且a＝3，
∴b＝.
∴所求的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，＝且a＝3，
∴b＝2.
∴所求的方程为－＝1.
法二：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴所求的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[一点通] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．
当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．若已知双曲线的渐近线方程y＝±x，还可以将方程设为－＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．
3．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13.
又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
答案：D
4．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．
解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，
∴c＝4，e＝，
∴双曲线的离心率等于－＝2，
∴＝2，∴a＝2.
∴b2＝42－22＝12.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1.
双曲线的离心率问题
[例3] 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
[思路点拨] →→→
[精解详析] 设F1(c,0)，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c.
由双曲线的定义得2c－2c＝2a.
∴e＝＝＝1＋.
所以所求双曲线的离心率为1＋.
[一点通]
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围．
5．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝ ＝a，于是e＝＝.
答案：B
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(， )
C．(2,5) D．(2, )
解析：e2＝＝＋＋2＝(＋1)2＋1，
∵a>1，∴0<<1,1<＋1<2，
∴21，∴答案：B
7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
解析：由题意得m＞0，
∴a＝，b＝，c＝，
由e＝＝得＝5，解得m＝2.
答案：2
1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．
2．如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
3．双曲线的离心率e＝＝ (a>0，b>0)．
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意e＝＝2，∴c＝2a.
又c＝4，∴a＝2.
∴b2＝42－22＝12.
∴双曲线方程是－＝1.
答案：A
2．(2011·湖南高考)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为－＝0，即3x±ay＝0.
又双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，∴a＝2.
答案：C
3．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为
( )
A. B.
C．2 D．2
解析：∵a＝3，b＝，∴＝，∴m＝5，
∴c＝ ＝，
∴一个焦点的坐标为(，0)，
到渐近线的距离d＝＝.
答案：A
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正△MF1F2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( )
A．1＋ B．4＋2
C．2－2 D．2＋2
解析：如图，设N为MF2的中点，N在双曲线上，
∴|NF1|－|NF2|＝2a.
又|F1N|＝c，|NF2|＝c，
∴c－c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
答案：A
5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.
答案：2
6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)∵M(3，m)在双曲线上，故m2＝3.
又F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴·＝0.
8．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离
d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，
∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，
即e的取值范围为[，]．
第二课时 双曲线方程及几何性质的应用
直线与双曲线的位置关系
[例1] 已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为何值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点？
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题，可以将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的个数问题．
[精解详析] 由消去y得(4－k2)x2＋2kx－2＝0.(*)
若4－k2＝0，即k＝±2时，方程(*)为一次方程，只有一解．
若4－k2≠0时，Δ＝4k2＋8(4－k2)＝4(8－k2)．
当Δ>0即－2当Δ＝0即k＝±2时，方程(*)有一解．
当Δ<0即k<－2或k>2时，方程(*)无解．
综合以上得：当－22时，直线与双曲线没有公共点．
[一点通] 一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)．②
把①代入②得
(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于
一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交点，则k的值为________．
解析：由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
当1－k2＝0时，即k＝±1时，
方程变为±2x－2＝0，则x＝±1.
此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当1－k2≠0时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
解得k＝±.
此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
综上所述，k＝±1，±.
答案：±1，±
2．直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)相交于两个不同点A，B，与y轴交于点P，且＝，求a的值．
解：将y＝－x＋1代入－y2＝1(a>0)，得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)．
因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.因为x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.消去x2，得
－＝.由a>0，解得a＝.
与弦长、中点有关的问题
[例2] 斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求l的方程．
[思路点拨] 设直线l的方程为y＝2x＋m，由题意建立关于m的等式，求出m即可．
[精解详析] 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵|AB|＝，∴m2－6(m2＋2)＝6.
∴m2＝15，m＝±.
由(*)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ>0，
∴m的值为±，
∴所求l的方程为y＝2x±.
[一点通]
(1)弦长公式
斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|
＝
＝ |y1－y2|＝ .
(2)与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．
3．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x－4y＝4，①
x－4y＝4.②
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
∴＝＝2.
∴直线AB的斜率为2.
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
即2x－y－15＝0.
4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解：∵直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2.
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵x1·x2＝－<0，
∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝ |x1－x2|
＝·
＝·＝6.
直线与双曲线的综合问题
[例3] 已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
[思路点拨] 将l与C的方程联立消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可求得弦长；由l与C相交，知Δ>0，从而求出a的范围，可得离心率的范围．
[精解详析] (1)当a＝ 时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1.
联立消去y得3x2＋2x－2＝0.
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
于是|AB|＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
∴e>且e≠，
即离心率e的取值范围是(， )∪(，＋∞)．
[一点通]
(1)直线和双曲线的交点问题，可转化为由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元二次方程的解．讨论一元二次方程根的基本步骤：①观察二次项系数，看是否需要讨论；②分析判别式，看是否有根；③应用根与系数的关系，虽不解方程却能观察根的情况．遵循以上原则，养成良好的思维习惯．
(2)直线与双曲线有两个不同交点时，应要求方程组有两个不同的解，因此一元二次方程中二次项的系数一定不能为零．
5．已知双曲线C：－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝·.求λ的取值范围．
解：(1)所求渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)
＝－x－y＋1＝－x＋2.
∵|x0|≥ ，∴λ≤－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
6．若直线l：y＝kx＋与双曲线－y2＝1恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解：由消去y得
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即k2≠且k2<1.①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则
xA＋xB＝，xAxB＝.
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋·k＋2
＝.
于是>2，即>0，
解此不等式得由①②得故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．
1．研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的判别式Δ，得到直线与双曲线的交点个数．
2．在解决直线与双曲线的综合问题时，若遇到向量关系，一般将其转化成坐标运算求解．
1．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在渐近线上，
双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
答案：B
2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的图形只可能是( )
解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1.对于A，直线中a>0，b>0，此时曲线表示椭圆，故A不正确；对于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a>0，
而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确；
由C中直线可知a>0，b<0，曲线方程即为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线．
答案：C
3．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：右顶点为A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B(，)，C(，－)，则＝(，－)，AB―→＝(－，)．
又2＝，∴2a＝b，∴e＝.
答案：C
4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点．若△ABF2为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A．1＋ B．1±
C. D.±1
解析：∵△ABF2是直角三角形，
∴∠AF2F1＝45°，
|AF1|＝|F1F2|，＝2c.
∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，
∴e2－2e－1＝0.
解得e＝1±.又e>1，
∴e＝1＋.
答案：A
5．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．
解析：由双曲线方程知a＝2.
|MF2|＋|NF2|－|MN|
＝2a＋|MF1|＋2a＋|NF1|－|MN|
＝4a＋|MN|－|MN|
＝4a＝8.
答案：8
6．(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
答案：－＝1
7．双曲线C的中心在坐标原点，顶点为A(0，)，A点关于一条渐近线的对称点是B(，0)，斜率为2且过点B的直线l交双曲线C于M，N两点，求：
(1)双曲线的方程；
(2)|MN|.
解：(1)依题意可设双曲线方程为－＝1，
线段AB的中垂线y＝x即渐近线，
∴b2＝2，双曲线方程为－＝1.
(2)MN的方程为y＝2(x－)，
?3x2－8x＋6＝0.
Δ＝56>0，x1＋x2＝，x1x2＝2，
∴|MN|＝|x1－x2|＝· ＝.
8．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||，||，||成等差数列，且与同向．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：(1)设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d.
由勾股定理可得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，
得d＝m，tan∠AOF＝，
tan∠AOB＝tan 2∠AOF＝＝.
由倍角公式得＝，
解得＝，则离心率e＝.
(2)直线AB的方程为y＝－(x－c)，
与双曲线方程－＝1联立消y并将a＝2b，c＝b代入，
化简有x2－x＋21＝0.设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则 |x1－x2|
＝ ＝4，
将数值代入，有4＝ ，
解得b＝3，故所求的双曲线方程为－＝1.
2．4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线
问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．
问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：|DA|＝|DC|.
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
抛物线的标准方程
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝4x.
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝－4x.
问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？
提示：x2＝4y，x2＝－4y.
抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．
2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为(或－)，相应的准线是x＝－(或x＝)；如果含的是y的一次项，有类似的结论．
3．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．
求抛物线的标准方程
[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[思路点拨] →→→
[精解详析] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)．又＝2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝x－2p1y(p1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
[一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
1．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析：由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上．由a2＝16，得a＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案：A
2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值；
(2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)．
由题意知
解得或
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
(2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，
准线方程是x＝2.
抛物线定义的应用
[例2] 已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
[思路点拨] →→
→
[精解详析] ∵(－2)2<8×4，
∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．
如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.
由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.此时P的横坐标为－2，代入x2＝8y得yP＝.
故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(－2，)．
[一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．
3．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．位置由F确定
解析：如图，抛物线的焦点为F(，0)，M为PF的中点，准线是l：x＝－.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝.作MN⊥y轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|＝(|OF|＋|PQ|)＝|PH|＝|PF|，故以PF为直径的圆与y轴相切．
答案：B
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3
C. D.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点，A(0,2)点，抛物线的焦点F(，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离
d＝|AF|＝ ＝.
答案：A
与抛物线有关的应用问题
[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[思路点拨] →→
→→→
[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，
∴A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p(－2)，∴p＝25，
∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，∴无法通行．
又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
[一点通] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm
解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)．
∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝，
∴光源到反光镜顶点的距离为
＝＝＝5.625 (cm)．
答案：B
6．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．
解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为(，－)，如图所示．
设隧道所在抛物线方程为x2＝my，
则()2＝m·(－)，∴m＝－a，
即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，
即－>3.
解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．
∴使卡车通过的a的最小整数值为13.
1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p的值)的程序求解．
2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0，) D．(，0)
解析：由y＝4x2得x2＝y，
∴抛物线焦点在y轴正半轴上且2p＝，
∴p＝，∴焦点为(0，)．
答案：C
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：由椭圆方程可知a＝，b＝，
∴c＝＝2，
∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
答案：D
3．(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得|PF|＝|PA|，
由直线AF的斜率为－，
可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
解析：由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－.又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.
答案：2
6．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
答案：2
7．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解：(1)双曲线方程化为－＝1，
左顶点为(－3,0)．
由题意设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，
∴方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．
由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|.
又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)
解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，
代入得p＝.
故得抛物线方程为x2＝－y.
B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋) m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
2．4.2 抛物线的简单几何性质
一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？
原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．
问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个焦点．
问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？
提示：不对．
问题3：抛物线有渐近线吗？
提示：没有．
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性
质
焦点
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
2．焦半径与焦点弦
抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
焦半径|PF|
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0
焦点弦|AB|
|AB|＝x1＋x2＋p
|AB|＝p－x1－x2
|AB|＝y1＋y2＋p
|AB|＝p－y1－y2
1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．
2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．
3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．
4．抛物线的离心率e＝1(定值)．
5．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．
6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．
第一课时 抛物线的简单几何性质
求抛物线的标准方程及其几何性质
[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．
[精解详析] 椭圆的方程可化为＋＝1，
其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
[一点通] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是
( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p>0)的形式，
又＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.
答案：C
2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．
解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，
与x轴的交点为(，0)，
∴抛物线的焦点为(，0)，∴其标准方程是y2＝5x.
答案：y2＝5x
抛物线几何性质的应用
[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[思路点拨] 先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长．
[精解详析] 如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，
且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即线段AB关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.∴|AB|＝2y1＝4p.
[一点通] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．4
解析：双曲线的方程可化为－＝1，
∴双曲线的左焦点为(－ ，0)．
又∵抛物线的准线为x＝－，
所以由题意得－ ＝－，
解得p＝4.
答案：C
4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．
解：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上，
∴p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.
与焦点弦有关的问题
[例3] 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．
[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．
[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．
故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∴直线的方程为y＝k(x－1)．
由整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)．
∴x1＋x2＝.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋x2＋2＝＋2.
又|AB|＝36，∴＋2＝36，∴k＝±.
∴所求直线方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
[一点通] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
5．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是( )
A. B.
C. D．25
解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝(x－2)．
由得B点的坐标为(，－2)．
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.
答案：A
6．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
解：当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图．
直线的方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋＋x2＋，
即x1＋＋x2＋＝8.①
由消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2.
∴所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上所述，抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－4x.
1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．
2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．
1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：显然由准线方程x＝－2，可知抛物线焦点在x轴正半轴上，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：C
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A．(，±) B．(，±)
C．(，) D．(，)
解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上．而F(，0)，所以P点的横坐标为.代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为(，±)．
答案：B
3．线段AB是抛物线的焦点弦，F为抛物线焦点．若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，AB的方程为x＝my＋.
消去x得y2－2my－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2.
又A1(－，y1)，B1(－，y2)，F(，0)，
∴＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，
则·＝p2＋y1y2＝0，即∠A1FB1＝90°.
法二：如图所示，
∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
又∵AA1∥BB1∥x轴，
∴∠1＝∠3，∠6＝∠4，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，
∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°，
∴∠3＋∠4＝90°，即∠A1FB1＝90°.
答案：C
4．(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要
|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2.由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
答案：C
5．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点．若|AB|＝3，则M到直线x＝－1的距离为________．
解析：由题意知点B即为抛物线的焦点，
直线x＝－1即为抛物线的准线，如图．
∵|AB|＝3，
∴|AA′|＝3.又|BB′|＝2，
MM′即为梯形BB′A′A的中位线，
∴|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝.
答案：
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，
因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
7．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程．
解：如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，
则OB边的方程为y＝－x.
由得A点坐标为(，p)．
由得B点坐标为(8p，－4p)．
∵|AB|＝5，
∴ ＝5.
∵p>0，解得p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝x.
8．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
解：由抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F(，0)．
由题意知AF⊥OB，
则有·＝－1.
∴y2＝x(x－)，
2px＝x(x－)．
∴x≠0.∴x＝.
∴直线AB的方程为x＝.
第二课时 抛物线方程及几何性质的应用
直线与抛物线的位置关系
[例1] 已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
[思路点拨] →→
→
[精解详析] 联立直线l与抛物线方程得方程组
可得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.(*)
(1)当k＝0时，由方程(*)得x＝，
代入y＝kx＋1得y＝1.
这时直线l与抛物线只有一个公共点(，1)．
(2)当k≠0时，方程(*)的判别式为Δ＝4(1－2k)．
当Δ＝0，即k＝时，方程(*)有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．
当Δ>0，且k≠0，即k<且k≠0时 ，方程(*)有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点．
当Δ<0且k≠0，即k>时，方程(*)没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点．
综上可得：当k＝0或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k<且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k>时，直线l与抛物线没有公共点．
[一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(3)若直线l与抛物线有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ |x1－x2|
＝ · ，
或|AB|＝ |y1－y2|
＝ · .
1．已知抛物线C：x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：显然t≠0，直线AB的方程为y＝x－1，
代入抛物线方程得2tx2－4x＋t＝0.
由题意Δ＝16－8t2<0，
解得t<－或t>.
答案：D
2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，
得
消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.
当k＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当k≠0时，应有Δ≥0，即64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.
综上，l斜率的取值范围是[－1,1]．
答案：C
与弦长、中点弦有关的问题
[例2] 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
[思路点拨] 法一：→
→
→
法二：→→
→
[精解详析] 法一：设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，
∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ · ＝.
法二：由题意设所求方程为y－1＝k(x－4)．
由得ky2－6y－24k＋6＝0.
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1·y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，∴＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)．
由y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
得|P1P2|＝ · ＝.
[一点通] 处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方法，直线与抛物线方程联立时消y有时更简便些．此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0)．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2, 则k＝( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．3
解析：由得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝4，
解得k＝2或k＝－1(舍去)．
答案：C
4．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求此抛物线方程．
解：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)．
由消去y得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设直线与抛物线两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，
∴|AB|＝＝
＝ ＝
∵|AB|＝，∴ ＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.
抛物线中的最值(定值)问题
[例3] 如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
[思路点拨] (1)→
→→→
(2)→
[精解详析] (1)显然直线OA存在斜率且不等于0.
设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x.
由解得或
即A点的坐标为(，)．同样由
解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得(－k)y＝x－2.
不论实数k取何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
(2)AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得
y2－2my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.
[一点通]
(1)圆锥曲线中的定点、定值问题，往往是选择某一参数，用参数表示要研究的问题，通过运算证明与参数无关；也可利用特殊情况寻找定点、定值，然后对一般情况作出证明．
(2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值．常见的题型有：
①曲线上的点到直线的距离的最值问题；
②过定点弦长的最值问题；
③三角形面积的最值问题．
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A. B.
C. D．3
解析：法一：设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，则联立两方程，消去y得3x2－4x－m＝0.令Δ＝0，有m＝－.两直线间的距离为|－8－(－)|＝.
法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，
该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为
|4m－3m2－8|＝|(m－)2＋|.
当m＝时，取得最小值.
答案：A
6．设A，B为抛物线y2＝4x上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0)，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为AB不垂直于x轴，
故直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)．
联立方程
消去x得(1－)y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝.
因为N为AB中点，所以＝y0，即＝y0.
所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.
1．解涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用根与系数的关系，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．
2．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．
1．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
∴|AB|＝＝＝＝2.
答案：B
2．抛物线y＝ax2(a>0)与直线y＝kx＋b两个交点的横坐标分别为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则( )
A．x3＝x1＋x2 B．x3＝＋
C．x1x2＝x1x3＋x2x3 D．x1x3＝x2x3＋x1x2
解析：将y＝kx＋b代入x2＝(a>0)，得
ax2－kx－b＝0，x1＋x2＝，x1x2＝－，
＋＝＝－.
而直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标x3＝－，
∴＋＝，
∴x1x2＝x2x3＋x1x3.
答案：C
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由y2＝8x得p＝4，抛物线开口向右，所以F(2,0)，准线方程为x＝－2，则K(－2,0)．
设A(x1，y1)．由抛物线定义得
|AF|＝x1＋2，|AK|＝.
由|AK|＝|AF|得
＝·(x1＋2)，
∴(x1＋2)2＋8x1＝2(x1＋2)2，解得x1＝2，
∴y1＝±4，S△AFK＝×4×4＝8.
答案：B
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，
得k＝.
答案：D
5．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．
解析：设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x－b，
代入y＝4x2得4x2－4x＋b＝0.
令Δ＝16－16b＝0，∴b＝1，
得直线y＝4x－1，
所以直线y＝4x－1与抛物线相切，切点到y＝4x－5的距离最短．
由4x2－4x＋1＝0，解得x＝，
所以y＝1，所求点为(，1)．
答案：(，1)
6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把A，B的坐标代入抛物线方程得
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
又y1＋y2＝4，
∴＝＝1.
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案：y＝x
7．(2011·福建高考)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
8.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)的坐标是上述方程组的解，
∴4·xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值．
