3．1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．
问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？
提示：不是．
问题2：如何刻画李老师行驶的位移？
提示：借助于空间向量的运算．
空间向量
定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
长度
向量的大小叫做向量的长度或模.
表示法
几何表示法
空间向量用有向线段表示.
字母表示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作 ，其模记为|a|或|AB―→|.
几类特殊向量
①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.
②单位向量：模为1的向量称为单位向量.
③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.
④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量的加减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．
2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．
3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．
4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．
空间向量的概念辨析
[例1] 下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
[思路点拨] 根据向量的概念及运算律两方面辨析．
[精解详析] |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．
[答案] B
[一点通]
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：D
2．给出下列四个命题：
(1)方向相反的两个向量是相反向量；
(2)若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(4)对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为( )
A．(1)(2)(3) B．(4)
C．(3)(4) D．(1)(4)
解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．
答案：B
3.如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量．
(3)试写出AA1―→的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量的相反向量为，，，，
共4个.
空间向量的加减运算
[例2] 化简(－)－(－)．
[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点．
[精解详析] 法一：∵－＝＋，
∴(－)－(－)＝＋－＋
＝＋＋＋＝＋＝0.
法二：(－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
[一点通]
(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是( )
A． B．
C． D．
解析：由正方体的性质可得－＋＝－＋＝＋＝.
答案：A
5．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：因为＝＋＋＝－＋＝b－a＋c，所以＝－a＋b＋c.
答案：C
6.如图所示，已知长方体ABCD－A′B′C′D′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1) －；
(2) ＋＋.
解：(1) －＝－＝＋＝＋＝.
(2) ＋＋
＝(＋)＋
＝＋B′C′＝.
向量、如图所示．
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．
(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，
＋＋＋＋＋＝.
即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：与相等的向量有，，，共3个．
答案：C
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量的模相等的向量有
( )
A．7个 B．3个
C．5个 D．6个
解析：||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
答案：A
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是 ( )
①(－)－ ②(＋)－
③(－)－ ④(－)＋
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①(－)－＝－＝；
②(＋)－＝－＝；
③(－)－＝－≠；
④(－)＋＝＋.
答案：A
4．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝( )
A．－a－b B．a＋b
C.a－b D．2(a－b)
解析：如图，
∵＝a，＝b，
∴＝－b，＝－a，
∴＝＋＝－b－a.
答案：A
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：＝－
＝－＝－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
6．化简－＋－－＝________.
解析：－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.
答案：
7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
解：(1) ＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如图所示．
8．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′.
求证：＋＋＝2.
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，
＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝，
∴＋＋＝2.
3．1.2 空间向量的数乘运算
空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?
提示：不能．
1．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积 λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
(3)空间向量的数乘运算律
设λ，μ是实数，则有
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a.
2．共线向量
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
推论
如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示. 若在l上取＝a，则①式可化为 ＝＋t .
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x ＋y ，或对空间任意一点O来说，有＝＋x ＋y .
1．λa是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．
3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用＝x ＋y ＋z ，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．
空间向量的线性运算
[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝ ，＝2 .设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
[思路点拨] 先利用三角形法则进行向量的加减运算，将表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示.
[精解详析] 如图所示，连接AN，
则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋(－)－(＋)
＝c＋(b－c)－(a＋b)
＝－a＋b＋c.
[一点通] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将表示为＝＋＋.
1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
解析：＝＋＝＋(－)＝＋－＝－a＋b＋c.
答案：A
2．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1) ＝＋x＋y；
(2) ＝x＋y＋.
解：(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
向量共线问题
[例2] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
[思路点拨] →
＝＋ →根据M，N的位置表示出 →
根据与的关系作出判断
[精解详析] ∵M，N分别是AC，BF的中点，
四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝(－)＋＋(＋)
＝＋＋
＝(＋)
＝.
∴∥，即与共线．
[一点通] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．
3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．
答案：A
4.已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.
求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
＝－＝－＝(－)
＝＝(－)＝(－)
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形.
向量共面问题
[例3] 对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
试证：与，共面．
[思路点拨] →
利用向量的运算法则表示 →
利用中点关系寻求，，的关系→
→
[精解详析] 空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，
则＝＋＋，
＝＋＋.①
又E，F分别是AB，CD的中点，故有＝－，
＝－.②
将②代入①中，两式相加得2 ＝＋.
所以＝ ＋ ，即与，共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用，表示.
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
解析：∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴M与A，B，C必共面．
答案：C
6．已知e1，e2为两个不共线的非零向量，且＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2 ，求证：A，B，C，D四点共面．
证明：设存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，
即e1＋e2＝λ(2e1＋8e2)＋μ(3e1－3e2)
＝(2λ＋3μ)e1＋(8λ－3μ)e2.
∵e1，e2为两个不共线的非零向量，
∴有解得
即＝＋.
从而点B位于平面ACD中，即A，B，C，D四点共面．
1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)?a∥b，可以作为以后证明线线平行的依据．
2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O，有＝α＋β＋γ (α＋β＋γ＝1)成立，则P，A，B，C共面)．
3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性．
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0 B．1
C．2 D．3
①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．
解析：①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．
答案：A
2．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝( )
A.a－b＋c B．a－b＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
解析：＝＋＝＋
＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案：C
3．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析：若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，
∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，
则e1与e2共线，不符合题意．
同理，a与e2也不平行．
由向量共面的充要条件知C正确．
答案：C
4．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
解析：＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
答案：B
5．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
解析：延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－ －＝0.
答案：0
6．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，CB―→＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
解析：＝＋＋＝－＋＝3e1＋(k－4)e2.由A，B，D三点共线可知，存在λ使＝λ，即2e1＋ke2＝3λe1＋λ(k－4)e2.
∵e1，e2不共线，∴
可得k＝－8.
答案：－8
7.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：A，E，C1，F四点共面．
证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝ ，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋.由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－)＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.所以E，F，B三点共线．
3．1.3 空间向量的数量积运算
2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．
问题1：向量F1和－F2夹角为多少？
提示：120°.
问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？
提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，
∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)
＝(F1＋F2＋F3)2
＝6|F0|2，
∴|F|＝|F0|，
∴|F0|＝×10＝×10＝(N)．
1．空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b
运
算
律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
两个向量数量积的性质
(1)若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
(4)|a·b|≤|a|·|b|
应用
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角
(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．
3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
数量积的运算
[例1] 如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1) ·；
(2) ·；
(3)( ＋)·(＋)．
[思路点拨] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．
[精解详析] (1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈，〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF綊AC，
于是E·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝.
(3)( ＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·
＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.
[一点通] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．
1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析：2·＝－2 ·＝－2a2cos 60°＝－a2，2 ·＝2·＝2a2cos 60°＝a2,2·＝·＝－a2，2·＝·＝－·＝－a2.
答案：B
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：
(1) ·； (2) ·.
解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1) ·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.
(2) ·＝(＋)·(＋)
＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
用数量积求夹角
[例2] 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
[思路点拨] 先求·，再由夹角公式求cos〈，〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
[精解详析] ∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，
∴·＝－＝－1.
又||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
[一点通] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：
3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：设〈，〉＝θ，∵·＝(＋＋)·＝||2＝1，∴cos θ＝＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.
答案：C
4．已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求与所成角的余弦值．
解：如图，设＝a，＝b，＝c，
且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝(a＋b)，
＝c－b，||＝||＝，
∴·＝(a＋b)·(c－b)
＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.
∴cos〈，〉＝＝－.
∵异面直线所成的角为直角或锐角，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
利用数量积求两点间的距离
[例3] 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长．
[思路点拨] 把向量和用已知向量，， 表示出来，再用数量积的定义运算．
[精解详析] ∵＝＋＋，
∴||2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴||＝，即对角线AC1的长为.
同理，||2＝2＝(＋－)2
＝2＋2＋2＋2(·－·－·)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.
∴||＝，即对角线BD1的长为.
[一点通] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．
5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
解析：∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，
∴||＝12.
答案：C
6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0，
同理，·＝0.
∵AB与CD成60°角，
∴〈，〉＝60°或120°.
又＝＋＋，∴·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉
＝∴||＝2或，
即B，D间距离为2或.
利用数量积证明垂直问题
[例4] 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
[思路点拨] 先将已知条件转化为·＝0，·＝0，再证明·＝0.
[精解详析]
∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·－2－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
[一点通] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．
7．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；
反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.
答案：B
8．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．
求证：OG⊥BC.
证明：连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝[＋(＋)]
＝(a＋b＋c)，
＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝·(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．
2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13.
答案：D
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
答案：D
3．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：B
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0.
同理，可证·>0，·>0.
∴三角形的三个内角均为锐角．
答案：B
5．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
答案：22
6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．
解析：2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°
＝50＋20＋15＝85，
∴||＝.
答案：
7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1) ＝＋，
＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
8．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点．
(1)求EF，C′G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
解：设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝b·c＝c·a＝0，
|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.
(1)∵＝＋－c＋(a－b)＝(a－b－c)，
＝＋＝－c－a，
∴·＝(a－b－c)·(－c－a)
＝(－a2＋c2)＝，
||2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，
||2＝(－c－a)2＝c2＋a2＝，
∴||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝，
所以EF，C′G所成角的余弦值为.
(2)∵＝＋＋＋
＝(a－b)＋b＋c＋
＝(a－b)＋b＋c＋(－c－a)
＝a＋b＋c，
∴|FH―→|2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＝，
∴FH的长为.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？
提示：能．
问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？
提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
基底的判断
[例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
[一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x→＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
即不存在实数x，y使＝x＋y.
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底.
用基底表示向量
[例2] 四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
[精解详析] 连接BO，则＝＝(＋)＝(＋＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
[一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则．
3．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1.若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
解析：∵＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝.
答案：A
4.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c ，试用a，b，c表示.
解：连接AN，
则＝＋.
由ABCD是平行四边形，
得＝＋＝a＋b，
则＝－＝－(a＋b)．
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)．
故＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c).
用坐标表示空间向量
[例3] 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
[思路点拨] 把写成xe1＋ye2＋ze3的形式即可得向量的坐标．
[精解详析] 因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋(＋＋)＝－＋＋(－＋＋)＝
＋＝e3＋e2.
∴＝(0，，)．
[一点通] 用坐标表示空间向量的方法与步骤：
5.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
解：设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，
则＝＋＋＝2e1＋2e2＋2e3，
∴＝(2,2,2)．
∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，
∴＝(2,2,1)．
又∵＝e2，∴＝(0,1,0)．
6.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
解：(1)∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－
＝－4e3－×4e1－×2e2＝－2e1－e2－4e3，
∴＝(－2，－1，－4)．
(2)∵＝－＝－(＋)
＝－－＝2e2－4e1－4e3，
∴＝(－4,2，－4)．
1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．
2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a，b，c共面，故只有①②正确．
答案：C
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b
C．a＋2b D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．
∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.
∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，
∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
答案：D
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
解析：＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－a＋b＋c.
答案：A
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，其中a＝4i＋j，b＝j＋3k，c＝2k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(12,7,3)
C．(2,4,6) D．(12,3,7)
解析：设O为坐标原点，则＝a＋2b＋3c＝(4i＋j)＋2(j＋3k)＋3(2k＋i)＝7i＋3j＋
12k，
∴点A在{i，j，k}下的坐标为(7,3,12)．
答案：A
5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
解析：若x≠0，则a＝－b＋c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，
故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
6．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝α a＋β b＋γc，则α，β，γ分别为________．
解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3，
∴解得
答案：，－1，－
7.如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点．设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解：＝－.
∵＝＝(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋×(＋)＝a＋(b＋c)，
∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a＋b＋c，
即＝－a＋b＋c.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：
－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．
解：(1)∵＋＝，
∴－－＝－(＋)
＝－＝－＝.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
3．1.5 空间向量运算的坐标表示
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
提示：F＝(3 000,2 000,2 000)．
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5 000 N.
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
(2)|a|＝＝；
(3)cos〈a，b〉＝＝；
(4)a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．
(1) ＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
1．空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．
2．长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关．
空间向量的坐标运算
[例1] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.
求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos〈p，q〉．
[思路点拨] 先由点的坐标计算得到向量p，q的坐标，然后进行各种运算．
[精解详析] 因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)；
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)；
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26；
(4)cos〈p，q〉＝＝＝＝－.
[一点通]
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．
(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
1．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．求：
(1)a·(b＋c)；
(2)4a－b＋2c.
解：(1)∵b＋c＝(1,0,5)，
∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21；
(2)4a－b＋2c＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8，17)．
2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1) ＝(－)；(2) ＝(－)．
解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．
(1) ＝(6,3，－4)＝(3，，－2)，
则点P的坐标为(3，，－2)．
(2)设P为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵(－)＝＝(3，，－2)，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P坐标为(5，，0).
坐标形式下平行与垂直的应用
[例2] 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[思路点拨] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解．
[精解详析] 法一：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)．
a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．
(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以＝＝，解得k＝－.
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
法二：(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以(ka＋b)＝λ(a－3b)，即ka＋b＝λa－3λb.
因为a与b不共线，所以有解得k＝－.
(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，
所以(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即k|a|2－(3k－1)a·b－3|b|2＝0.
而|a|2＝27，|b|2＝38，a·b＝8，
所以27k－8(3k－1)－114＝0，
解得k＝.
[一点通]
(1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．
(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论．
3．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，a∥b，则λ与μ的值分别为( )
A.， B．5,2
C．－，－ D．－5，－2
解析：∵a∥b，∴a＝kb，
即λ＋1＝6k,0＝k(2μ－1)，2λ＝2k.
解得λ＝，k＝，μ＝.
答案：A
4．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
即2k2＋k－10＝0，
∴k＝－或k＝2.
利用坐标运算解决夹角、距离问题
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解．
[精解详析] 如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，
N(1,0,1)，
∴||＝
＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
[一点通] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
5．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则|AB―→|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
解析：＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)，
∴||2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2
＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α)
＝13－12cos(θ－α)．
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴1≤|AB―→|2≤25.
∴1≤|AB―→|≤5.
答案：B
6．已知a＝(5,3,1)，b＝(－2，t，－)，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由已知a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－)＝3t－.
∵a与b的夹角为钝角，
∴a·b<0，即3t－<0，∴t<.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5,3,1)＝λ(－2，t，－)，
∴
∴t＝－，
故t的范围是(－∞，－)∪(－，)．
1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况．
2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：
3．若〈，〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－2
解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.
答案：A
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝|AB―→|2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
3．已知a＝(2,0,3)，b＝(4，－2,1)，c＝(－2，x,2)，若(a－b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：∵a－b＝(－2,2,2)，又(a－b)⊥c，
(a－b)·c＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4.
答案：B
4．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为
( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，
||＝.
∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.
又<0，∴λ＝－.
答案：C
5．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________.
解析：a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ>0，∴λ＝3.
答案：3
6．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝________.
解析：(3a－2b)·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，
即3a·c－2b·c＝12.
由a·c＝2，得b·c＝－3.
又∵|c|＝3，|b|＝4，
∴cos〈b，c〉＝＝－.
答案：－
7．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4.
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，
于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此a＋c与b＋c所成角的余弦值cos θ＝＝－.
8．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)．当·取最小值时，求点Q的坐标．
解：＝(1,1,2)，因为点Q在直线OP上，所以与共线，
故可设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，
则Q(λ，λ，2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－.
所以当λ＝时，·取最小值．
此时Q点坐标为(，，)．
_3.2 立体几何中的向量方法
第一课时 空间向量与平行关系
平面的法向量
以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后石墩落下夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使质量为100 kg的石墩垂直离开地面，每个人至少需要用 kg的力．
问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
提示：能．
问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？
提示：确定．
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量.
空间线面位置关系的向量表示
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l?α.
问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β是什么位置关系？
提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.
空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；
线面平行 l∥α?a⊥u?a·u＝0；
面面平行 α∥β?u∥v?u＝kv(k∈R)．
线线垂直 l⊥m?a⊥b?a·b＝0；
线面垂直 l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；
面面垂直 α⊥β?u⊥v?u·v＝0.
1．直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
3．因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
利用方向向量和法向量判定线面位置关系
[例1] (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：
①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)；
②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系．
[精解详析] (1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，
∴l1与l2相交或异面(不垂直)．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－)，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，
∴l?α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－a，
∴l⊥α.
③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，
∴u与a不共线，也不垂直，
∴l与α相交，但不垂直．
[一点通] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．
1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0，
∴u⊥v，∴l∥α或l?α.
答案：l∥α或l?α
2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系．
(1)直线l1与l2的方向向量分别是
a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)．
(2)平面α，β的法向量分别为
u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)．
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)．
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)．
解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)，
∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)，
∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β.
(3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)，
∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交．
(4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)，
∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v，
∴l?α或l∥α.
求平面的法向量
[例2] 已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨] →求向量，的坐标→→
n·＝0且n·＝0→→
[精解详析] 设坐标原点为O，
由已知可得＝－
＝(0,2,0)－(1,0,0)＝(－1,2,0)，
＝－＝(0,0,3)－(1,0,0)＝(－1,0,3)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝(x，y，z)·(－1,2,0)＝－x＋2y＝0，
n·＝(x，y，z)·(－1,0,3)＝－x＋3z＝0.
不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.
因此，可取n＝(6,3,2)为平面ABC的一个法向量．
[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：
3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，
则有?
令z＝1，得x＝－2，y＝1.
∴n＝(－2,1,1)．
答案：C
4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.
又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.
∴n＝(1，－，)即为平面SCD的一个法向量.
用空间向量证明平行问题
[例3] 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.
[思路点拨]
→→
[精解详析] 如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为a，
则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，
D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，
B(a，a,0)，C1(0，a，a)．
∴N(，0，a)，M(a，，a)，E(，a，a)，F(0，，a)，
∴＝(－，0，a)，＝(，，0)，
＝(a，a,0)，＝(0，，a)．
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
则
∴
∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，
∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2,1)．
同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.
令z2＝1，
∴平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∵m＝n，∴m∥n，
∴平面AMN∥平面EFDB.
[一点通] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可求得
M(0,1，)，N(，1,1)，
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝(，0，)，
＝(1,0,1)，
＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：∵＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥.而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.
证明：如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，
D(0,1,0)，B1(1,0,1)，
C(1,1,0)，D1(0,1,1)，
＝(1,0，－1)，
＝(1,0，－1)．
＝(－1,1,0)，
＝(－1,1,0)，
∴∥，∥.
∴A1B∥D1C，B1D1∥BD.
又∵D1C?平面B1D1C，A1B?平面B1D1C，
∴A1B∥平面B1D1C，
同理BD∥平面B1D1C.
又∵A1B∩BD＝B，
∴平面A1BD∥平面B1D1C.
利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
1．若A(1，－2,3)，B(2,5,6)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，－2,3) B．(2,5,6)
C．(1,7,3) D．(－1，－7,3)
解析：∵＝(1,7,3)，
又与平行的非零向量都可作为l的方向向量，
∴(1,7,3)＝可作为l的方向向量．
答案：C
2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A．(－，－，－) B．(－，，－)
C．(－，，) D．(，，)
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2,2)．因为|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是(－，，－)．
答案：B
3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于
( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m(2，λ，4)，
∴λ＝－4.
答案：D
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
答案：C
5．若＝λ＋u (λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：∵＝λ＋u，
∴与，共面，
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
6．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝______，y＝______.
解析：∵l1∥l2，∴＝＝，
∴x＝－14，y＝6.
答案：－14 6
7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
证明：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P(0，，0)，D(－，，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)，
N(1－，，0)．
＝(1－，，－1)，
＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即取z＝，解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，即⊥n，
∴MN∥平面OCD.
8.如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
再设Q(0,2，c)，
∴＝(1，－1,0)，
＝(－1，－1，1)，
＝(－2,0，c)，
＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为
n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2.
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
第二课时 空间向量与垂直关系
直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
提示：垂直．
问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
证明垂直关系的向量方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
证明两直线的方向向量垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
证明两个平面的法向量垂直
用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．
证明线线垂直
[例1] 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
[思路点拨] →→→
表示出向量与→·＝0→
[精解详析] 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
[一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．
1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．－2
C．－3 D．3
解析：l1⊥l2?a⊥b，
∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.
答案：D
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点．
证明：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示
的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，C(0,1,0)，E(，，0)，B1(1,1,1)．
(1) ＝(－1，－1,1)，
＝(－1，1,0)，
∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，∴BD1⊥AC.
(2) ＝(－1，－1,1)，＝(，，1)，
∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
证明线面垂直
[例2] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.
[思路点拨] 思路一：
→→
思路二：→证明∥n→
[精解详析] 法一：设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝(＋)
＝(＋)＝(＋－)
＝(－a＋b＋c)．
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，
B1(2,2,2)，E(2,2,1)，
F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)
＝(－1，－1,1)，
＝(2,2,2)－(2,0,0)
＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)
＝(－2,2,0)．
∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴⊥，⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC.
法三：同法二得＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，
＝(－1，－1,1)．
设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，
则·n＝0，·n＝0，
即取x＝1，则y＝1，z＝－1，
∴n＝(1,1，－1)，
∴＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
[一点通] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.
∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
答案：3
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明：法一：设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝(a＋b)－c，
∴·＝(c＋a＋b)·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，∴A1O⊥BD.
同理可证，A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，
∴A1O⊥平面GBD.
法二：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，
B(2,2,0)，D(0,0,0)，
∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)．
而·＝1－1＋0＝0，
·＝－2＋0＋2＝0，
∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG.
而OB∩BG＝B，
∴OA1⊥平面GBD.
证明面面垂直
[例3] 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[思路点拨] 思路一：→
→→
思路二：→→→
[精解详析] 法一：如右图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)．
∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)．
∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，
·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0.
∴⊥ ，⊥.∴BC⊥AD，BC⊥AA1.
又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.
又BC?平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二：同证法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝(1,1，)．
∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[一点通] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．
5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，
C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，
G(1,1,0)，P(0,0,0)，
于是＝(3,0,0)，
＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则
E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥.
∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)，
＝(0，，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
由?
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由?
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤
(1)基向量法
(2)坐标法
2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：u·v＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u⊥v.∴α⊥β.
答案：B
2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
解析：∵l∥α，平面α的法向量为(1，，2)，
∴(2，m,1)·(1，，2)＝0.
∴2＋m＋2＝0.∴m＝－8.
答案：C
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A．(，－，4) B．(，－，－3)
C．(，－，4) D．(，，－3)
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即解得
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．AA1
解析：建立如图所示的坐标系．
设正方体棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，E(，，1)．
∴CE―→＝(，，1)－(0,1,0)
＝(，－，1)，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(，－，1)·(－1，－1,0)
＝－＋＋0＝0，
∴⊥，∴CE⊥BD.
答案：B
5．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由题意得⊥.
∴cos x·(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0.
∴2cos2x－cos x＝0.∴cos x＝0或cos x＝.
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；
由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；
由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确．
答案：①②③
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．
求证：PC⊥平面BEF.
解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，
四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)，
B(2,0,0)，C(2,2，0)，
D(0,2，0)，P(0,0,2)．
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴ (2,2，－2)，＝(－1，，1)，
＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则
A(a,0,0)，B(a，a,0)，
C(0，a,0)，A1(a,0，a)，
C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1) ＝(－a，a，e－a)，
＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，
n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
第三课时 空间向量与空间角、距离
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？
提示：设异面直线AC与BD所成角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|.
问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？
提示：设地面的法向量为n，
则sin α＝|cos〈，n〉|.
问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β？
提示：cos〈，〉．
1．空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
(0，]
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
[0，]
二面角
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[0，π]
2．空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A，B为空间中任意两点，则d＝|AB|
点面距
设平面α的法向量为n，B?α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝
1．若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所成的角为θ，则当〈a，n〉∈[0，]时，θ＝－〈a，n〉；当〈a，n〉∈(，π]时，θ＝〈a，n〉－.
2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断．
3．点到面距离的求法：
(1)如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是||.
(2)若AB是平面α的任一斜线段，则在Rt△BOA中，||＝||cos∠ABO＝＝.如果平面α的法向量为n，则||＝.
求异面直线所成的角
[例1] 如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.
当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
[思路点拨] 在坐标系中确定点A，C，V，D的坐标，然后求出向量，的坐标，即可运用公式求解．
[精解详析] AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以
C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
[一点通] 利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是(0，]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|.
1．(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，
B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
2.如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，
A(，0,0)，
A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝－
＝(－，1，－)，
＝－
＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉
＝＝＝－.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
求线面角
[例2] 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
[思路点拨] 可考虑以下两种思路：一是由定义作出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
[精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0，a)，C1(－a，，a)．
法一：取A1B1的中点M，
则M(0，，a)．连结AM，MC1，
有＝(－a,0,0)，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1.
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．
因为＝(－a，，a)，AM＝(0，，a)，
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝ ＝a，
||＝ ＝a，
∴cos〈，〉＝＝.
∴〈，〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
法二：＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
＝(－a，，a)．
设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，
∴n·＝0且n·＝0.
∴ax＝0且ay＝0.
∴x＝y＝0.故n＝(λ，0,0)．
∵＝(－a，，a)，
∴cos〈，n〉＝＝－.
∴|cos〈，n〉|＝.
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
[一点通] 求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝.
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设BC＝1，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，
D(0,2,0)，P(0,0,2)，
则N(1,0,1)，
∴＝(－2,2,0)，
＝(0,2,0)，＝(1,0,1)．
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1,0，－1)．
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小．
解：法一：建立如图的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则由E，F分别是AA1，AB的中点，得E(2,0,1)，F(2,1,0)．过F作FG⊥AC于G，则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A1.连接EG，则与的夹角即为所求．又因为F是AB的中点，所以AG＝AC，
所以G(，，0)．＝(－，，－1)，
＝(0,1，－1)，
cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝，
即EF与平面ACC1A1的夹角为.
法二：建系如方法一，
＝(0,1，－1)，A1(2,0,2，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
＝(0,0，－2)，＝(－2,2,0)．
设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令x＝1，则y＝1，∴n＝(1,1,0)，
cos〈n，〉＝＝＝.
∴〈n，〉＝，则EF与平面ACC1A1的夹角为.
求二面角
[例3] PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝.求二面角A－PB－C的余弦值．
[思路点拨] 解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．
[精解详析] 法一：如图，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴＝(0,0,1)，＝(，1,0)．
设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得
令x1＝1，则n1＝(1，－，0)．
＝(0，－1,1)，＝(，0,0)．
设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由得
令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
∵所求二面角为锐角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为.
法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD.
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC.
∴PC＝ ＝.
∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB.
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于与的夹角θ.
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC.
∴PB＝ ＝2.
∴PD＝1，PE＝＝.
∴DE＝PD－PE＝.
又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，
＝＋＋，
且⊥，⊥，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)，
即1＝＋＋1－2··1·cos θ，解得cos θ＝，
故二面角A－PB－C的余弦值为.
[一点通] 利用向量法求二面角通常有以下两种方法：
(1)若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角，如图①.
(2)设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.
此方法的解题步骤如下：
5.正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点(如图)，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值．
解：设正方体棱长为1.
以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则M(，0，)，N(，，0)，A(1,0,0)，B(0,0,0)．
法一：取MN的中点G，连接BG，AG，
则G(，，)．
∵△AMN，△BMN为等腰三角形，
∴AG⊥MN，BG⊥MN.
∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．
因为＝(，－，－)，
＝(－，－，－)，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
故所求二面角的余弦值为.`
法二：设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)．
＝(－，0，)，＝(－，，0)．
即
令x＝1，则得y＝1，z＝1，
∴n1＝(1,1,1)．
同理可求得平面BMN的一个法向量n2＝(1，－1，－1)．
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
故所求二面角的余弦值为.
6.(2012·新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
解：(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，
所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
BC?平面BCD，故DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，
D(1,0,1)，C1(0,0,2)．
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，
则可取m＝(1,2,1)．
从而cos?n，m?＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
用空间向量求距离
[例4] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
[思路点拨] 结合图形建立适当的空间直角坐标系，然后利用公式求解．
[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
∴＝(1，－2,1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
则∴
∴x＝y＝z，可取n＝(1,1,1)，
∴d＝＝＝，
即点A到平面EFG的距离为.
[一点通] 用向量法求点面距离的方法与步骤：
7.如图，在60°的二面角α－AB－β内，AC?β，BD?α，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·
＝3＋2·1·1·cos 120°＝2，
∴||＝，即CD＝.
答案：
8．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
解：(1)以D为原点，建立如图所示的坐标系，
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，
B(2,2,0)，E(0,1,1)．
＝(－1,0,2)，
＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝ ＋ ，
∴∥平面PFB.
又∵D?平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则?
令x＝2，得y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，＝(－1,0,0)，
∴点D到平面PFB的距离d＝＝＝.
∴点E到平面PFB的距离为.
1．两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
2．直线的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了绝对值符号．
3．利用两平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角．
4．求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解．求点到面的距离，还可用等积法求解．
