一、命题及其关系
1．命题
(1)命题是能够判断真假的陈述句，判断为真的是真命题，判断为假的是假命题．一个命题由条件和结论两部分构成，常写成“若p，则q”的形式．
(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推出结论；②间接判断，判断其逆否命题的真假(互为逆否命题的两个命题同真假)．
2．四种命题及其关系
一般地，原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系如下：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
二、充分条件、必要条件、充要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?/ q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．
(2)判断方法：
①定义法：
条件
符号表示
p是q的
q是p的
“若p，则q”真，“若q，则p”假
p?q，且q?/ p
充分不必要条件
必要不充分条件
“若p，则q”假，“若q，则p”真
p?/ q且q?p
必要不充分条件
充分不必要条件
“若p，则q”真，“若q，则p”真
p?q且q?p
充要条件
“若p，则q”假，“若q，则p”假
p?/ q且q?/ p
既不充分又不必要条件
②集合法：令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.
条件
p是q的
q是p的
A?B
充分不必要条件
必要不充分条件
B?A
必要不充分条件
充分不必要条件
A＝B
充要条件
A?B且B?A
既不充分又不必要条件
③等价法：利用p?q与綈q?綈p；q?p与綈p?綈q；p?q与綈q?綈p的关系进行判断．对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法．
三、逻辑联结词
(1)常用的逻辑联结词有“且”“或”“非”．由其联结命题p，q，可构成形式分别为“p且q ”“p或q”“非p”的命题．
(2)“命题的否定”与“否命题”的区别：命题的否定为非p，一般只否定命题p的结论；否命题就是对原命题“若p，则q”既否定它的条件，又否定它的结论．
(3)命题p，q的运算“且”“或”“非”与集合P，Q的运算“交”“并”“补”有如下的对应关系：p或q?P∪Q；p且q?P∩Q；非p??UP.
四、全称命题和特称命题
(1)确定命题中所含量词的意义，是全称命题和特称命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．
(2)可以通过“举反例”否定一个全称命题，同样也可以举一例证明一个特称命题．而肯定全称命题或否定特称命题都需要推理判断．
(3)含有一个量词的命题的否定：将全称量词改为存在量词或将存在量词改为全称量词，并否定结论．
[注意] 一般命题的否定，直接否定结论即可．
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
答案：A
2．给出命题p：3>1，q：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为( )
A．0 B．3
C．2 D．1
解析：因为p真q假，所以“p∧q”为假，“p∨q”为真，“綈p”为假．
答案：D
3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a>0且b>0可得a＋b>0，ab>0.
由a＋b>0有a，b至少有一个为正．由ab>0可得a，b同号．
两者同时成立，则必有a>0，b>0.
答案：C
4．(2011·天津高考)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，所以充分性满足．反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．
答案：A
5．全称命题“?x∈R，x2＋5x＝4”的否定是( )
A．?x0∈R，x＋5x0＝4
B．?x∈R，x2＋5x≠4
C．?x0∈R，x＋5x0≠4
D．以上都不正确
解析：全称命题的否定为特称命题．
答案：C
6．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件， 则( )
A．p假q真 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．綈p假綈q真
解析：易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假．綈q为假．结合各选项知B正确．
答案：B
7．已知命题p：若x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.现给出下列四个命题：①p∧q，②p∨q，③綈p，④綈q，其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：p真q假，∴p∨q真，綈q真，故②④正确．
答案：B
8．平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．?λ∈R，b＝λa
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0
解析：a∥b?/ a，b方向相同，所以A不正确；同理B不正确；当a＝0，b≠0时，b＝λa不成立，而此时，a，b共线，所以C不正确；根据共线向量定理知D正确．
答案：D
9．命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：原命题是真命题．其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C＝90°”．这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角．这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题．因此，真命题的个数是2.
答案：C
10．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
解析：因为?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则2x＝x2，故排除B；取a＝b＝0，则a＋b＝0，但不能得到＝－1，故排除C；D是真命题．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是________．
解析：据否命题的定义知，命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0，且b≠0”．
答案：若ab≠0，则a≠0，且b≠0
12．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；
③“菱形的对角线垂直”的逆命题；
④“若x>0，则x＋>0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴是真命题．
②否命题“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．
③逆命题“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题．
④逆命题“若x＋>0，则x>0”是真命题，故否命题是真命题．
答案：①②④
13．已知p：－4
0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4q：2q是p的充分条件，即q?p，
∴∴－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
14．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是________．
解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}得
x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
16．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
17．(本小题满分12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由得即2∴q：2设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2∵綈p?綈q，∴q?p.∴B?A.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使B?A，则方程f(x)＝0的两根分别在区间(－∞，2]，[3，＋∞)内，
∴即
解得a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
18．(本小题满分14分)已知p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立为真，
则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．
解得0≤a<4.
若q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根为真，
则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，
故p，q有且仅有一个为真命题，
则或
一、空间向量的线性运算
空间向量的线性运算包括：加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求．解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
二、空间向量的数量积
由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈a，b〉的范围确定．
三、空间向量与平行和垂直
空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．
利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法：
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
四、空间向量与空间角
利用空间向量求空间角，一般有两种方法：几何法和向量法．利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．
(1)求两异面直线所成的角可利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是(0， ]，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．
故实质上应有cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(2)求线面角
求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.
(3)求二面角
基向量法：利用定义分别在两个面内找到两个夹角等于二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算．
坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝结合图形求解．
一、轨迹方程问题
求轨迹方程的几种常用方法
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．
二、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
三、待定系数法求圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上．
另外， 在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值．
四、求离心率的方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
五、直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线问题，是高考对圆锥曲线考查的重点和难点，也是历年考查的热点，是每年高考试卷上都会出现的一个知识点．直线与圆锥曲线问题包括两大类：①直线与圆锥曲线位置关系的判定；②直线与圆锥曲线相交而产生的弦长问题、中点问题、范围问题、最值问题等．
(2)这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．分析这类问题，往往利用“数形结合”的思想方法，或“设而不求”的方法求解．
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1答案：B
2．(2011·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为
( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等．根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
答案：A
3．若双曲线C：x2－＝1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e＝
( )
A．2 B.
C．3 D.
解析：由双曲线方程知a＝1，∴c＝，
∴一条渐近线的方程为y＝bx，即bx－y＝0.
∴＝，解得b＝1，
∴c＝，∴e＝＝.
答案：B
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c＝4.由c2＝2a2，得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.
答案：A
5．已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，且PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
F1(－c,0)，c2＝a2－b2，
则P(－c，b )，即P(－c，)．
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝.∴b＝c.
又a＝＝c，∴e＝＝.
答案：C
6．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
解析：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r.另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4.亦即动圆圆心M到两定点A，B的距离之差的绝对值等于常数4.又4<|AB|，所以动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
答案：C
7．双曲线－y2＝1(n>1)的左、右两焦点分别为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2.
由|PF1|＋|PF2|＝2，
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以∠F1PF2＝90°.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1.
答案：B
8．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，定点A的坐标为(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
解析：如图，设点P到抛物线y2＝2x准线的距离为|PN|，抛物线焦点为F(，0)，则|PA|＋|PM|＝|PN|＋|PA|－.连接AF交抛物线于点P，此时|PN|＋|PA|＝|PF|＋|PA|＝|AF|取最小值5，所以|PA|＋|PM|的最小值是.
答案：C
9．(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3.根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.
答案：A
10．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2
C．4 D．8
解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，
∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
答案：8
12．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|·|MP―→|＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
解析：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，
||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4＝4(2－x)，
整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
13．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为________．
解析：设圆心坐标为O′(x0，y0)，过圆心O′向x轴作垂线，交x轴于H.
由题意可知，点H为一顶点与焦点的中点，
∴x0＝＝4.代入－＝1中，
得y＝，
∴|OO′|＝＝ ＝.
答案：
14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝.∵m∈[－2，－1]，
∴≤e≤.
答案：[，]
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
解：①焦点在x轴上，椭圆为＋＝1(a>b>0)，
且c＝.
设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.
∵＝，∴＝，解得a＝7，m＝3.
∵椭圆和双曲线的半焦距为，
∴b2＝36，n2＝4.
∴椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去x得ky2－2y＋4＝0.
∵直线l与抛物线相交，
∴?k<且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝.
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
∴直线l的方程为y＝－x＋2.
17．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与l的距离d＝可得＝，
解得t＝±1.
因为－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
18．(本小题满分14分)(2012·福建高考)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解：法一 (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因为e＝，即＝，所以c＝1，
所以b＝＝.
故椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m，k恒成立．
因为＝(－－x1，)，＝(4－x1,4k＋m)，
所以－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，
所以解得x1＝1.
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
法二(1)同法一．
(2)由
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
化简得4k2－m2＋3＝0.(*)
此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，
所以P(－，)．
由得Q(4,4k＋m)．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，
以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，
交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；
取k＝－，m＝2，此时P(1，)，Q(4,0)，
以PQ为直径的圆为(x－)2＋(y－)2＝，
交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，
所以＝(－－1，)，＝(3,4k＋m)，
从而·＝－－3＋＋3＝0，
故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
高考八大高频考点例析
命题及其关系
考查方式
以四种命题、逻辑联结词为主要内容，考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假．主要以选择题、填空题为主，属容易题.
备考指要
1.要掌握互为逆否命题的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题.
2.命题p∨q中，p，q有真则真；命题p∧q中，p，q有假则假.
[例1] (2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[解析] 只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a＝－b.”
[答案] D
1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定D正确．
答案：D
2．已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为?”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：当|a|≤1，即－1≤a≤1时，
Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)
＝5(a＋)2－－12≤5(1＋)2－－12<0，
∴原命题为真，逆否命题亦为真．
反之，如a＝－2时，所给不等式的解集即为空集，
但a?[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．
答案：C
充分条件与必要条件
考查方式
充要条件可以与各章节内容相结合是历年高考考查的热点之一，题型主要以选择题、填空题为主.
备考指要
1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性.
(1)若“p?q”，且“p?/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
(2)若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
(3)若“p?/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”.
2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性进行判断.
[例2] (2012·安徽高考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若α⊥β，又α∩β＝m，b?β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a?α，所以a⊥b；反过来，若a⊥b，则当a∥m时，不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.
[答案] A
3．有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件．
其中正确的说法有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：a>b>0?a2>b2，
a2>b2?|a|>|b|?/ a>b>0，故①错．
a>b>0?<，但<?/ a>b>0，故②错．
a>b>0?a3>b3，但a3>b3?/ a>b>0，故③错．
答案：A
4．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0(m∈Z)，试求方程的根都是整数的充要条件．
解：两方程都有实数根的充要条件为
即解得－≤m≤1.
∵m∈Z，m≠0，∴m＝－1,1.
当m＝－1时，方程x2＋4x－4＝0无整数根；
当m＝1时，方程x2－4x＋4＝0，
x2－4x－5＝0均有整数根．
故两方程均有整数根的充要条件是m＝1.
全称量词与存在量词
考查方式
以考查全称命题与特称命题的真假的判定以及含有一个量词的命题的否定为主．题型主要是选择题和填空题.
备考指要
1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可.
2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假.
3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题；首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定.
4.注意命题的否定与否命题的区别.
[例3] (2012·辽宁高考)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是
( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[解析] 原命题是全称命题，则其否定是特称命题，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定是(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
[答案] C
5．“?x0?M，p(x0)”的否定是( )
A．?x∈M，綈p(x)
B．?x?M，p(x)
C．?x?M，綈p(x)
D．?x∈M，p(x)
解析：“x?M”的意思是x∈M的补集．
设为N，∴其否定是?x∈N，綈p(x)，
也即?x?M，綈p(x)．
答案：C
6．判断下列命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2x＋1>0；
(2)?x0∈R，|x0|≤0；
(3)?x∈N*，log2x>0；
(4)?x0∈R，cos x0＝.
解：(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，
∴原命题是假命题．
(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，
∴原命题是真命题．
(3)∵当x＝1时，log2x＝0，
∴原命题是假命题．
(4)∵当x∈R时，cos x∈[－1,1]，而>1，
∴不存在x0∈R，使cos x0＝，
∴原命题是假命题.
圆锥曲线的定义与性质
考查方式
主要考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，待定系数法求圆锥曲线方程．圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考的热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容．题型上选择、填空、解答题都有可能出现.
备考指要
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的运用.
[例4] (2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．2
[解析] 依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．则有2＋＝3，得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|＝＝2.
[答案] B
7．(2011·浙江高考)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：容易求得双曲线的渐近线为y＝±2x.线段AB被C1三等分，而AB＝2a，则第一象限内的等分点的坐标为(，)．代入椭圆方程，得＋＝1.又a2－b2＝5，故b2＝.
答案：C
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，则有
解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.又|F1F2|＝2，
所以在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形.
直线与圆锥曲线的位置关系
考查方式
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、最值、定点、定值等问题．题型主要以解答题为主．这类问题综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合.
备考指要
处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常联立消元得到一元二次方程，讨论其解的个数．要注意直线斜率不存在的情况．分析这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法．此类问题运算量较大，要注意运算结果的准确性.
[例5] (2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由e＝＝＝，得a＝b，椭圆C：＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，
设P(x，y)为C上任意一点，
则|PQ|＝＝，
－b≤y≤b，
若b<1，则－b>－1，当y＝－b时，|PQ|max＝＝3，又b>0，得b＝1(舍去)，
若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝＝3，得b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有＋n2＝1，即n2＝1－，－≤m≤.由题意可得S△AOB＝|OA|·|OB|sin ∠AOB＝sin ∠AOB≤，
当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，
此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为，
则＝，得m2＋n2＝2，
又＋n2＝1，解得m2＝，n2＝，
即存在点M，坐标为(，)，(，－)，(－，)，(－，－)满足题意，且△AOB的最大面积为.
9．抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点．若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
解：法一：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝kx－1，
则k＝＝＝－.
kOA＋kOB＝＋＝1，
又y1＝－，y2＝－，
所以－－＝1，即－＝1.
于是k＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
法二：将y＝kx－1与y＝－联立，消去y，得
x2＋2kx－2＝0.
由韦达定理，得x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2.
又1＝＋＝＋＝2k－＝2k－＝k，故直线l的方程为y＝x－1.
10．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点为F(，0)．
由题设得＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.
因为直线与椭圆有两个交点，
∴Δ>0，即m2<3k2＋1.①
∴xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－.
又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1.②
把②代入①得2m>m2，
解得0由②得k2＝>0，
解得m>，故所求m的取值范围是(，2).
圆锥曲线的标准方程与轨迹问题
考查方式
求圆锥曲线的标准方程与轨迹方程也是高考重点内容之一，题型以解答题为主.
备考指要
1.根据圆锥曲线的焦点位置，来确定标准方程的形式，利用待定系数法求解即可.
2.求轨迹方程的几种常用方法要掌握：
(1)直接法
(2)代入法
(3)定义法
(4)消参法3.要注意轨迹方程与轨迹的区别.
[例6] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b[解] (1)设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2(1－)，代入③得－＝1(x<－a，y<0)．
(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
故xy＝xy.
因为点A，A′均在椭圆上，所以
b2x(1－)＝b2x(1－)．
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2.
从而y＋y＝b2，
因此t＋t＝a2＋b2为定值．
11．(2011·天津高考)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，
即＝2c.
整理得2()2＋－1＝0，
得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c.
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解为
不妨设A(c，c)，B(0，－c)，
设点M的坐标为(x，y)，
则＝(x－c，y－c)，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝(y－x，y－x)，＝(x，x)．
由·＝－2，得
(y－x)·x＋(y－x)·x＝－2，
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0).
利用空间向量解决平行、垂直问题
考查方式
空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中，主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算解决直线、平面位置关系的判断问题，特别是平行与垂直问题常作为一道解答题的某一小问，属于中档题.
备考指要
利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决，建立适当的空间直角坐标系，准确写出有关点的坐标是解题关键.
[例7] (2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
[解] (1)如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
易得O(0,0,0)，A(0，－3,0)，
B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，
＝(0,3,4)，
＝(－8,0,0)．
由此可得·＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)设＝λ，λ≠1，则＝λ(0，－3，－4)．
＝＋＝＋λ
＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)
＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，
＝(－4,5,0)，＝(－8,0,0)．
设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
由
得
即可取n1＝(0,1，)．
由即
得可取n2＝(5,4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，
解得λ＝，故AM＝3.
综上所述，存在点M符合题意，AM＝3.
12．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b.
(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，
D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)．
∵M，N分别为AB，PC的中点，
∴M(，0,0)，N(，，)．
∴＝(0，，)，＝(0,0，a)，＝(0，a,0)，
∴＝＋.
又∵MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知：
P(0,0，a)，C(b，a,0)，M(，0,0)，D(0，a,0)．
所以＝(b，a，－a)，＝(，0，－a)，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
∴
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
∴
令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
∵n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2.
∴平面PMC⊥平面PDC.
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.
证明：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.
∴BD∥B1D1.
又BD?平面B1CD1，∴BD∥平面B1CD1，
同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B＝B，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2) ＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，
∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2.
∴b2－a2＝0.
∴·＝0.
∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
14．如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.
(1)求证：EF⊥平面BCE；
(2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.
证明：∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，
∴AE⊥AB.
又∵平面ABEF⊥平面ABCD且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AE⊥平面ABCD，
∴AE⊥AD，即AD，AB，AE两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)设AB＝1，
则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．
∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，
从而F(0，－，)，
＝(0，－，－)，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)，
·＝0，·＝0.
∴EF⊥BE，EF⊥BC.
又∵BE∩BC＝B，∴EF⊥平面BCE.
(2)M(0,0，)，P(1，，0)，
从而＝(－1，－，)．
于是·＝(－1，－，)·(0，－，－)
＝0＋－＝0.
∴PM⊥EF.
又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PM∥平面BCE.
利用空间向量求空间角
考查方式
利用空间向量求两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角是高考的重点和热点，主要以解答题的形式考查，属于中档题，每年必考.
备考指要
利用向量方法只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解. 1.若两条异面直线的方向向量分别为a，b，所成角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|.
2.直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|.
3.二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉根据情况确定.
[例8] 如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；
(2)求二面角B－AP－C的余弦值．
[解] (1)设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD.
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，
所以PO⊥平面ABC.
所以PO⊥CD.
由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.
设E为AC中点，则EO∥CD，
从而OE⊥PO，OE⊥AB.
如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，CD＝2，所以O(0,0,0，)，A(－1，0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)．
所以＝(－1，－2，)，而＝(0,0，)为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，
则sin α＝＝＝.
故直线PC与平面ABC所成的角的正弦值为.
(2)由(1)有，＝(1,0，)，＝(2,2，0)．
设平面APC的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则
??
从而
取x1＝－，则y1＝1，z1＝1，所以n＝(－，1,1)．
设二面角B－AP－C的平面角为β，易知β为锐角．
而平面ABP的一个法向量为m＝(0,1,0)，则
cos β＝＝＝.
故二面角B－AP－C的余弦值为.
15.如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC1所成角的大小；
(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．
解：如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz，则＝(1,0,0)，
＝(0,0,1)．
连接BD，B1D1.
在平面BB1D1D中，延长DP交B1D1于H.
设＝(m，m,1)(m＞0)，
由已知得〈，〉＝60°.
由·＝||||cos〈，〉可得
2m＝.
解得m＝，所以＝(，，1)．
(1)因为cos〈，〉＝＝，
所以 〈，〉＝45°，
即DP与CC1所成的角为45°.
(2)平面AA1D1D的一个法向量是＝(0,1,0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA1D1D所成的角为30°.
16.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A－SC－B的余弦值．
解：以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，
A(0,1,0)，S(0,0,1)．
设SC的中点为M，则
SC的中点M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，
所以·＝0，·＝0，
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉为二面角A－SC－B的平面角．
cos〈，〉＝＝，
即二面角A－SC－B的余弦值为.
