高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质（共１３张PPT）

(共12张PPT)
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
第1课时　不等关系与不等式
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系。如：多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、轻与重，不超过或不少于等，类似于这样的关系，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。
一、相等关系和不等关系
你能用不等式（组）表示这种不等关系吗？
问题1：你能读懂高速公路上限速牌子的含义吗？
设该路段小汽车的速度为v km/h
60≤v≤100
设该路段大巴车、货车的速度为v km/h
60≤v≤80
课堂探究·素养培育
题型一　用不等式(组)来表示不等关系
[例1] 配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应满足的不等关系式.
问题2：在初中，我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，
（1）如果a>b,那么a±c>b±c
（2）如果a>b,c>0那么ac>bc
那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质么？
回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实。
二、关于两个实数大小关系的基本事实
a > b <=> a － b > 0
a = b <=> a － b = 0
a < b <=> a － b < 0
把两个实数大小的问题转化为判断差值符号问题
比较两实数大小的方法
—作差比较法
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：
例2. 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小.
答案：(a＋3)(a－5) <(a＋2)(a－4)
练习：已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小.
答案：(x2＋1)2 > x4＋x2＋1
练习：比较x2与2x －3的大小.
题型二　比较大小
[例2] 已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.
解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1).
因为x≤1,所以x-1≤0.
又3x2+1>0,所以(x-1)(3x2+1)≤0,
所以3x3≤3x2-x+1.
方法技巧
利用作差法比较大小的一般步骤为作差——变形——定号——结论.变形的目的是能判断符号,变形越彻底就越易判断符号.常用方法为配方、平方差公式、立方差公式、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.
探究：
在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
题型三　重要不等式
[例3] 证明不等式:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
证明:因为2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,
且a,b,c∈R,
所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,
当且仅当a=b=c时取“=”.
所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
作业：1、课本P39-40练习1.2.3
2.课时作业