2022—2023学年沪科版数学九年级上册23.2　解直角三角形及其应用（3）课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时
解直角三角形及其应用
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.
4.在解决问题的过程中感知知识的实际应用，进一步体会数学与实际生活的紧密联系．
知识回顾
如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
i=h∶l
h
l
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
什么叫做坡度？
坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有
α
坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
做一做
如图所示，在△ABC中.
(1)若 h = 2 cm，l = 5 cm，则斜坡AB的坡度 i = ；
(2)若斜坡AB的坡度 i = 1∶1.5，h = 2 m，则 l = ；
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h = .
A
C
B
h
l
1∶2.5
3 m
2 m
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
做一做
如图所示，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶2，坝高h=20m，则迎水坡的水平宽度= ，tan α= .
40 m
A
C
B
α
D
E
A
C
B
α
D
E
β
i=1∶1.6
5.8
i'=1∶2.5
9.8
合作探究
如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=
9.8 m，路基高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1：1.6，斜坡CD的坡度i'=1：2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值。
F
分析：题目中给出了两个坡度值，目前对应的只有一个直角三角形，需要再建立
一个直角三角形；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=9.8 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算坡角α和β，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：1.6，tan β=i'=1：2.5.
A
C
B
α
D
E
β
i=1∶1.6
5.8
i'=1∶2.5
9.8
合作探究
F
解：过点C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β.
∵BE=5.8m， = ， = ，
∴AE=1.6×5.8=9.28(m)，DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tan α=i==0.625，tan β=i'= =0.4，得
α=32°，tan β=22°(可以借助计算器计算).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和22°.
α
方法归纳
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际
问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线
把梯形问题转化为直角三角形来解决.
解决与坡度、坡角有关的实际问题
抢答
随堂练习
1.如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20 m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.
45°
α
A
C
B
D
E
抢答
随堂练习
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).
E
β
A
C
B
α
D
i=1∶3
23
i'=1∶2.5
6
F
分析：根据题意先建立直角三角形；
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
抢答
随堂练习
E
β
A
C
B
α
D
i=1∶3
23
i'=1∶2.5
6
F
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
BE=CF=23 m，BC=EF=6 m.
(1)由tan α=i= ，得∠α ≈18°.
(2) ∵BE=CF=23m， = ， = ，
∴AE=3×23=69(m)，DF=2.5×23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m).
由AE=69 m，BE=23m，根据勾股定理，得AB≈72.7m.
抢答
随堂练习
3.如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=
55°，外口宽AD=180 mm，燕尾槽的深度AE=70 mm，求它的里口宽
BC的值(精确到1 mm)
A
B
D
C
E
解：过点D作垂线，交BC于F点，垂足为F点，则有
AE=DF=70 m，EF=AD=180 mm.
在Rt△ABE中，
BE= = ≈49.01(mm)，
∴BC=2BE+EF=49.01×2+180≈278(mm).
答：燕尾槽的里口宽为278 mm.
F
解直角三角形及其应用
坡度(坡比)、坡角、坡面：
解决与坡度、坡角有关的实际问题：
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
教科书第131页习题23.2
第5、6题
再见