数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.1点到直线的距离公式（共21张ppt）

(共21张PPT)
2.3.3点到直线的距离公式
教学目标：探索并掌握平面上点到直线的距离公式
教学重点：点到直线距离公式的应用.
教学难点：点到直线距离公式的推导过程.

如图，已知,直线 ,如何求点到直线的距离？
探究1
x
0
y
P
Q
点到直线的距离，就是到直线的垂线段的长度的长度，其中是垂足.
因此，求出垂足的坐标，利用两点间距离公式求出| |，得到点到直线的距离.
那么，如何求垂足的坐标呢？
由图，垂足为直线与直线的交点，因此可以利用求两直线交点坐标的方法求出垂足的坐标
当0，0.由，以及直线的斜率为,可得直线的垂线的斜率为
求垂足Q的坐标：
因此，垂线的方程为即
解方程组
求垂足Q的坐标：
因此，可得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为
×， ×可得：
解得：
×， ×可得：
解得：
根据两点间的距离公式，可得
求| | ：
| |=
通分得:
=
整理得:
=
整理得：
求| | ：
因此，点到直线 的距离
| |=
可以验证，当0，或0时，上述公式仍然成立
当0，0时，直线：
即：
当0，0. 直线距离满足吗？
x
0
y
P
Q
追问1：
此时：可得点
| |=| |=| |
=
当0，0时，直线：
即：
当0，0. 直线距离满足吗？
x
0
y
P
Q
追问2：
此时：可得点
| |=||=| |
=
因此，可以验证，当0，或0时，点到直线 的距离公式
仍然成立
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量的方法求点到直线的距离？

探究2
x
0
y
P
Q
点到直线的距离，就是向量的模
设是直线上的任意一点， 是与直线的方向向量垂直的单位向量，
则是在上的投影向量，
即
所以| |
求|关键是求，那么如何利用直线
得到呢？
求向量（ 是与直线的方向向量垂直的单位向量）
设 是直线 上的任意两点，则=（ - ， - ）是直线的方向向量.
设 是直线 上的任意两点，则有
， ，两式相减 得：
由平面向量的数量积运算可知，向量（ ， ）与向量（ - ， - ）垂直，因此（ ， ）就是与直线的方向向量垂直的单位向量
取= （ ， ），从而
向量法求| | ：
=
=（ - ， - ) （ ， ）
=
=
因为点在直线上，所以.
所以，代入上式，得
| |=| |=
总结：
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算

解：点P（-1，2）到直线的距离
例1：求点P（-1，2）到直线的距离.
解:如图，设边上的高为h，则
S = | |h
| |=
例2：已知的三个顶点分别是（1，3）（3，1）（-1，0），求的面积.
例2：已知的三个顶点分别是（1，3）（3，1）（-1，0），求的面积.
点C到直线AB的距离h=
因此， S = × 5
边AB所在直线的方程为 ,
即
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离
练习
1.求原点到下列直线的距离
（1）
（2）
2.求下列点到直线的距离
（1）
（2）
（3）
3.已知点到直线 的距离为1，求C的值
谢谢