高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷第五章A卷（答案含解析）

一、单选题
1．若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
2．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上是单调增函数，则实数可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．2
3．五星红旗的五颗星是最美的星，每颗五角星是由一个正五边形及五个全等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边与正五边形的边重合，如图，已知等腰三角形的顶角为36°，顶角的余弦值为，则五角星中间的正五边形的一个内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）
A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米
5．（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，那么 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0，]上单调递减
C．x=是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在区间上单调递增
C．最大值为2 D．其图象关于点对称
11．要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
12．下列各三角函数值的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．一个扇形的面积是，它的周长是，则圆心角为______弧度．
14．已知，则______．
15．若，则在上的最大值为______
16．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则_____．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递增区间．
18．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为．
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，求的取值范围．
19．如图是一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h．
（1）求h与θ间关系的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车离地面8米时用的最少时间是多少？
20．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
21．已知函数，且当时的最小值为.
（1）求的值；
（2）先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和.
22．已知函数 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象上的各点________；得到函数的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围．
在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．C
【分析】首先可得，然后当时，，然后建立不等式求解即可.
【详解】因为将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以
当时，
因为函数在区间上是单调增函数，所以
解得
故选：C
3．C
【分析】根据题意，结合已知角度的余弦值以及余弦的二倍角公式，即可求得结果.
【详解】根据题意可得：等腰三角形的每个底角为；
由题可知：，由余弦的二倍角公式可得：
；
又正五边形的一个内角和互为补角，是，
故.
故选：C.
4．B
【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.
【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，
故导线长度约为63(厘米).
故选：B.
【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.
5．C
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值.
6．A
【分析】由已知利用诱导公式可求的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
【详解】，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．C
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特殊角的余弦函数值即可判断.
【详解】，
由，即，
，所以.
故选：C
【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题.
8．A
【分析】根据三角函数的诱导公式，求得，化简原式，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】因为，可得，
又由
.
故选：A.
9．AD
【解析】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等.
【详解】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得，最小正周期为π，A正确；
为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为，故B错；
令，得，故C错；
[﹣，]，，，故 D对
故选：AD
10．AD
【分析】首先根据辅助角公式化简函数，然后根据选项，依次判断函数的性质.
【详解】，所以函数是偶函数，故A正确；
时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；
函数的最大值是，故C错误；
当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确.
故选：AD
11．AD
【解析】利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．
也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，
再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．
故选：AD．
12．ABD
【分析】根据诱导公式进行化简，进而判断出各选项的符号.
【详解】由诱导公式得：，A正确；，B正确；，C错误；，D正确.
故选：ABD
13．2
【分析】设出扇形的圆心角和半径，利用扇形的周长和面积列方程组求出圆心角的值．
【详解】解：设扇形的圆心角为，半径为，
则扇形的周长为，①
面积为，②
由①②解得，；
所以扇形的圆心角为2弧度．
故答案为：2
14．
【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】因为，则．
【点睛】本题主要考查应用诱导公式对三角函数式化简求值．
15．1
【分析】化简函数的解析式为，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.
故答案为：.
16．
【详解】试题分析：将函数的图象向左平移个单位得的图象，再把图象上各点的横坐标扩大2倍，纵坐标不变得的图象，即，所以
．
考点：三角函数图象变换．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.
(1)
，
∴函数的最小正周期．
(2)
由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）由对称轴间距离的两倍得到周期，求得,得到函数的解析式，根据正弦函数的性质求得的单调增区间；
（2）由的取值范围得到的取值范围，利用正弦函数的性质求得函数的值域.
【详解】解：（1）由题意知，
∵，∴，
∴，
由得，
∴的单调增区间为．
（2）当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，属基础题，注意相邻对称轴间的距离为半个周期，的单调区间是将看成一个整体，代入正弦函数的相应的单调区间，通过解不等式求得；函数的值域也是将看成一个整体，利用正弦函数的图象和性质或者利用单位圆得到其值域.
19．（1）h＝5.6+4.8sin（θ）；（2）h＝5.6+4.8sin；20秒．
【分析】（1）以圆心O为原点建立直角坐标系，结合题意，求得点坐标，即可求得函数解析式；
（2）根据（1）中所求函数解析式，求得与之间的关系式，根据函数值即可求得自变量.
【详解】（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ，
故点B的坐标为（4.8cos（θ），4.8sin（θ）），
∴h＝5.6+4.8sin（θ）．
（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6+4.8sin，t∈[0，+∞）．
当h＝8m．
由h＝5.6+4.8sin8，
得sin得，
即，
∴t＝20，
∴缆车离地面8米时用的最少时间是20秒．
【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题，属综合基础题.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由于当时的最小值为，所以，从而可求出的值；
（2）由图像变化可得，由得，从而可求出的值
【详解】（1），∵，∴，
∴，∴；
（2）依题意得，由得，
∴()或()，
∴或，解得或，
∴所有根的和为.
【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题
22．（1）；（2）若选①，；若选②，．
【分析】
（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；
（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的，由的值域可得范围；
选②先周期变换后平移变换得对应的，同样由值域得的范围.
【详解】（1），最小正周期为；
（2）选①时，，
由，得，故，，有解，故．
选②时，
由，得，故，
有解，故．
【点睛】本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.
答案第1页，共2页
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