高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷第三章A卷（含解析）

一、单选题
1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义城为R的函数为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．-5 C．1 D．-3
二、多选题
9．下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
11．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．定义域为
C． D．是奇函数
12．设y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x+1)=﹣f(x)，且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f(x)的判断正确的是（ ）
A．y=f(x)是周期为2的函数
B．y=f(x)的图象关于直线x=1对称
C．y=f(x)在[0，1]上是增函数
D．
三、填空题
13．满足：对任意都有成立，a的取值范围________．
14．设函数，且，则等于______．
15．，则______.
16．已知函数，当时，函数为奇函数；当时，的最大值为6，则__________.
四、解答题
17．已知奇函数的定义域为，当时，求的解析式．
18．（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.
（2）已知，求的解析式，
19．某商场以每件42元的价格购进一种服装，根据试营销量得知，这种服装每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间可看成一次函数关系：．
（1）写出商场每天卖这种服装的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的总销售额与购进这些服装所花费金额的差）．
（2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？
20．已知函数，求的值.
21．已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性.
22．已知函数.
（1）求的定义域 值域；
（2）判断并证明函数在的单调性；
（3）若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由题意结合奇函数的性质可得，解出后利用即可得解.
【详解】函数是定义域为的奇函数，
，，
又当时，，.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用及指数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．C
【分析】利用函数的奇偶性可将不等式转化为，再利用单调性去掉，解不等式即可求解.
【详解】因为为奇函数，且，所以，
所以等价于，
由函数在上单调递减，可得，
解得：，
所以满足的的取值范围是，
故选：C.
3．D
【分析】化简函数解析式，利用解析式即可判断函数图像.
【详解】根据题意，的定义域为，排除C选项;
，，是奇函数，排除A、B选项；
又，的图像是选项D中的图像.
故选：D
4．C
【分析】解不等式组得出定义域.
【详解】，解得
即函数的定义域
故选：C
5．A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．C
【分析】结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，
故选：C
7．D
【分析】设，则，由被开方式非负，求得的定义域，结合二次函数和幂函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，可得所求单调区间．
【详解】解：设，则，
由，解得，
由于在，递增，在，递减，
又在定义域上递增，
可得的单调递增区间为，．
故选：D．
8．B
【分析】由为奇函数可得，令并结合已知即可求.
【详解】由题设，有，
∴，
当时，有，又，
∴.
故选：B
9．ACD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
10．BC
【分析】根据的取值，结合幂函数的性质，判断选项.
【详解】时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选：BC
11．BC
【分析】根据函数的解析式逐个判定即可.
【详解】对A, 的值域为,故A错误.
对B, 定义域为.故B正确.
对C,当是有理数时也为有理数,当是无理数时也为无理数,
故成立.故C正确.
对D, 因为,故D错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题.
12．ABD
【解析】利用周期性判断A选项的正确性，利用对称性判断B选项的正确性，利用偶函数的性质判断C选项的正确性，通过计算判断D选项的正确性.
【详解】因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，满足，
所以函数的周期T=2，所以A正确，
因为f(﹣x)=f(x)，所以f(﹣x)=f(x+2)，所以对称轴x1，即关于x=1对称，所以B正确；
由函数f(x)为偶函数关于y轴对称，又在[﹣1，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C不正确；
因为f(x+1)=﹣f(x)，令x可得f()=﹣f()可得f()=﹣f()，所以f()=0，所以D正确.
故选：ABD
13．
【分析】先判断出为减函数，列不等式组，解出a的范围.
【详解】因为对任意都有成立，
不妨设，则有，所以为减函数，
所以需满足：，解得：.
则a的取值范围.
故答案为：
【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：
(1)分段函数的每一段都单调；
(2)根据单调性比较端点函数值的大小.
14．
【分析】构造函数，然后利用函数的奇偶性求值．
【详解】设，则，所以是奇函数，
，所以，．
故答案为：．
15．
【分析】先设，得到，再代入原式，即可求出结果.
【详解】由题可设，∴，，
∴，
∴.
故答案为
【点睛】本题主要考查求函数的解析式，熟记换元法求解即可，属于常考题型.
16．或
【分析】当时，讨论的取值范围，判断单调递增，根据即可求解.
【详解】，
当单调递增时，则，解得，
当时，当时，，
对称轴，此时在上单调递增；
当时，，
对称轴，此时在上单调递增；
所以，
解得或.
故答案为：或
17．
【分析】当时，，利用已知结合奇函数性质可求得时解析式，即可得出.
【详解】当时，，所以，
因为为奇函数，所以，所以，所以，
所以的解析式为．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设，带入已知条件，对应系数相等，求出即可；
（2）换元法求函数的解析式.
【详解】（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;
（2）令，则，所以，即.
19．（1）；（2）每件的销售价定为55元时，最大销售利润为507元
【分析】（1）销售量乘以每件利润可得总利润；
（2）（1）中函数配方后可得最大值及相应的值．
【详解】（1）由题意得，每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为．
（2）由（1）得，则当时，．
即当每件的销售价定为55元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为507元．
【点睛】本题考查函数模型的应用，已知函数模型情况下直接由函数模型列出函数式是最基本的方法，本题属于基础题．
20．.
【解析】讨论和，直接代入数据计算得到答案.
【详解】.
当即时，.
当即时，.
【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
21．，函数的图象见解析，既不是奇函数也不是偶函数，在上递减.
【解析】设，代入点得到函数解析式，再画出图像，判断奇偶性和单调性得到答案.
【详解】依题意设，则，解得，所以.
函数的图像如图，
既不是奇函数也不是偶函数，函数在上递减.
【点睛】本题考查了幂函数的解析式，图像，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数知识的综合应用.
22．（1）定义域：，值域：；（2）在上是单调增函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据分式的性质进行求解即可；
（2）根据函数的单调性定义进行证明即可；
（3）由（2）的结论，根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）定义域：
∴值域：；
（2）函数在上是单调增函数.
证明如下：任取，且，
则
因为，且，所以，即.
所以在上是单调增函数.
（3）由（2）知在递增，所以，所以.
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