高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷第二章A卷（含解析）

一、单选题
1．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
2．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A． B．
C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，.则，，的大小关系是
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数（），则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
10．设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，，满足，且，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设，，若，则的最小值为__________．
14．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：A．；B．；C．；D．.其中正确的结论有___________.
15．如图建造一个容积为16，深为2，宽为2的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/，池壁的造价为80元/，则水池的总造价为___________元.
16．若，则的最大值为_______
四、解答题
17．比较大小.
（1）比较与的大小；
（2），，比较与的大小.
18．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；
（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
19．（1）设，试比较与的大小
（2）已知，，求的取值范围.
20．用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
21．已知关于x的不等式（）
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求实数a的范围．
22．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求a+4b的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
2．A
【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.
【详解】的图象都在轴上方，
①时，k＝－5或k＝1，
k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；
k＝1时，y＝3满足条件；
故k＝1；
②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，
则，解得；
综上，.
故选：A.
3．C
【分析】先求集合A,B，然后取并集即可.
【详解】
则
故选：C
4．D
【解析】根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围；
【详解】解：∵，，
∴
∴．
故选：D．
5．D
【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．
【详解】因为不等式对一切恒成立，
所以在区间上恒成立，
由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增，
且当时，，所以
故实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】方法点睛：一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式的符号即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.
6．A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
7．A
【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
正实数a，b不相等， ， ，
；
故选：A.
8．D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质及三角函数的单调性，即可得出的大小关系.
【详解】，，即，
则，，的大小关系是.
故选：D.
【点睛】本题考查的是比较大小问题，涉及的知识点包括指数函数的单调性、对数函数的单调性及三角函数的单调性，属于基础题.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
9．CD
【分析】先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.
【详解】解：因为，所以，，
由基本不等式：，
当且仅当即时，取等号.
所以，即，所以（），
当且仅当即时，取等号.
故该函数的最大值为：，无最小值.
故选：CD
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
10．ACD
【分析】选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.
【详解】A．因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误，
B．，当且仅当时，等号成立，故B正确，
C．
，当且仅当时，等号成立，因此，故C正确，
D． ，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故选：BC.
12．AD
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】因为实数，满足，且，可得
由，且，根据不等式的性质，可得，所以A正确；
由，可得，又由，所以，所以B不正确；
由，且，可得，所以C不正确；
由，可得，又由，所以，所以D正确.
故选：AD.
13．16
【解析】把乘以得到，后用均值定理
【详解】解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
故答案为：16
【点睛】考查均值定理的应用，基础题
14．BCD
【分析】利用函数图象，应用二次函数、不等式的性质，判断正误.
【详解】对称轴是直线，结合图象知：
，，且，
即，
即，
故答案为：BCD
【点睛】本题考查了二次函数的图象及不等式的性质，利用函数图象写出不等式，根据不等式性质证明不等式是否成立；
15．2880
【解析】求出水池的长，得出各面的面积即可得出总造价．
【详解】解：水池的长为，
水池的底面积为，水池的侧面积为，
水池的总造价为元．
故答案为：2880.
16．
【分析】由基本不等式求最大值．
【详解】∵，∴，∴，
当且仅当即时取等号，∴当时，有最大值.
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系；
（2）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系.
【详解】（1）因为，
又，
所以，
所以；
（2）因为，
又，，
所以，
所以.
18．（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
【解析】（1）依题意得到的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；
【详解】解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；
所以收益，
（2）由（1）可知，
其中，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
19．（1）；（2）.
【解析】（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；
（2）设，求出，根据题中条件，由不等式的性质，即可求出结果.
【详解】（1）
∵，∴，，
∴
∴
（2）设
则，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
【点睛】本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.
20．矩形的长、宽都为时，菜园的最大面积为.
【分析】根据给定信息，设出矩形的长、宽，再建立与的关系，借助均值不等式求解作答.
【详解】设矩形菜园的长为，宽为，则，即，矩形菜园的面积为，
而，由，可得，当且仅当时取“=”，
所以，这个矩形的长、宽都为时，菜园的面积最大，最大面积为.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）移项、配方、分解因式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可．
（2）转化为一元二次方程无实数根，利用判别式小于零列不等式求解即可．
【详解】（1）当时，不等式即为，
可得，即 ，
解得或．
即不等式的解集为．
（2）因为不等式的解集为，
所以恒成立
则函数的图象恒在轴上方，与轴无交点；
从而一元二次方程无实数根，
，
解得：．
即实数的取值范围为．
【点睛】结论点睛：解一元二次不等式时首项分解因式，若，则的解集是；的解集是.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）直接利用作差即可比较大小；
（2）根据条件得，再由展开后利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）∵，
∴.
（2）由，即，
所以.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.
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