高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷第二章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知，，，则的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
2．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
4．已知两正数、满足，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
5．正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数，记的解集为，若，则的取值范围
A． B． C． D．
7．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，真命题的个数是
① 若，则
②“”是“”的充分不必要条件
③若，则
④命题：“若，则或”
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知函数（）有且只有一个零点，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为（），则
D．若不等式的解集为（），且，则
12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（ ）
A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为
B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
三、填空题
13．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，，则该三角形面积的最大值为___________.
14．已知函数满足，则的取值范围是_________.
15．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}
（1）求a、b；
（2）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc＜0．
16．已知为正实数，则的最小值为__________．
四、解答题
17．请回答下列问题：
(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
18．解下列问题：
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求的最小值；
(3)已知，求代数式和的取值范围．
19．已知关于x的不等式，其中．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
20．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.
（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0.
22．设函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】化简得到，变换，利用均值不等式得到答案.
【详解】因为，，，所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换是解题的关键.
2．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
3．A
【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.
【详解】因为，
由基本不等得
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8
由题可知， 即 ，解得，
故选：A
4．D
【解析】转化条件为，换元后由对勾函数的性质即可得解.
【详解】由题意，，
令，则，当且仅当时，等号成立，
又函数在上单调递减，
所以当时，函数取最小值，
所以的最小值为.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为，再结合对勾函数的性质即可得解.
5．A
【解析】先求的最小值，再解一元二次不等式，即可解决．
【详解】解：因为正数满足，
所以，
当且仅当，时，等号成立．
故的最小值为8．
又因为对任意正数恒成立，
即，解得，
所以实数x的取值范围是．
故选：A
【点睛】关键点睛：根据不等式恒成立，把的问题转化为，然后，先求的最小值，再解一元二次不等式得到答案，属于中档题．
6．A
【分析】因为，且，所以解集；然后根据，得不等式组，可得的取值范围．
【详解】函数，抛物线开口向上，又，所以,则的解集为，得，解得，所以正确选项为A．
【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键．
7．D
【分析】利用基本不等式求出的最小值16，将所求问题转化为对任意实数x恒成立的问题即可.
【详解】因为，当且仅当时，等
号成立，故不等式对任意实数x恒成立，转化为
对任意实数x恒成立，又的最大值为6，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值以及不等式恒成立求参数范围的问题，考查学生等价转化及运算能力，是一道中档题.
8．C
【分析】①，举例说明该命题错误；
②，“”成立，则“”成立，“”成立，则“”不一定成立，所以该命题正确；
③，利用基本不等式说明该命题正确；
④，由于其逆否命题正确，所以该命题正确.
【详解】① 若，如：，则，所以该命题错误；
②“”成立，则“”成立，“”成立，则“”不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，所以该命题正确；
③若，则当且仅当时取等号.所以该命题正确；
④“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，由于其逆否命题正确，所以该命题正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查实数大小的比较，考查充分条件必要条件的判定，考查基本不等式的应用，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．BC
【解析】根据不等式的性质，逐一判断即可．
【详解】解：，
A错误，比如，，不成立；
B，成立；
C，由，
故C成立，
D，，故D不成立，
故选:BC.
【点睛】本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．
10．ACD
【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．
【详解】解：当时，，
当且仅当时取等号，解得，故A正确；
，当且仅当时取等号，
解得，故B错误；
当时，，则，
所以
，当且仅当时取等号，所以C正确，
当时，，当且仅当时取等号，
解得（舍负），故D正确．
故选：ACD．
11．ABD
【解析】因为（）有且只有一个零点，故可得，即，
再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.
【详解】因为（）有且只有一个零点，
故可得，即，
对A：等价于，显然，故正确；
对B：，故正确；
对C：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对D：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，，
故可得，
故可得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.
12．AB
【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；D．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断．
【详解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为 ，故A正确；
当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；
由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．
故选：AB
【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.
13．
【分析】计算得到，，，根据均值不等式得到，代入计算得到答案.
【详解】，，，，，
当时等号成立.
.
故答案为：.
14．
【解析】把用表示，可得,由，利用不等式的性质可得结论.
【详解】由题意得
解得
所以,
因为，
所以；
因为，
所以．
两式相加得，
故的取值范围是.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及对不等式的性质掌握的熟练程度，考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
15．（1）2，（2）见解析
【分析】（1）由题知，是方程的根，利用根系关系即可求出，的值.
（2）由（1）知不等式为，讨论和的大小，写出对应的解集即可.
【详解】（1）由题意知且，是方程的根，
所以，解得，.
（2）不等式可化为，即.
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为.
【点睛】本题第一问考查不等式的解法，第二问考查含参不等式的解法，分类讨论为解题的关键，属于中档题.
16．6
【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
17．(1)、
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）不等式为，即，讨论，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．
（1）
解：因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
（2）
解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
18．(1)
(2)9
(3)；
【分析】（1）由题意可得和3是方程的两个实根，则，从而可求出a，b的值；
（2）由已知可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（3）利用不等式的性质求解即可
（1）
∵不等式的解集为
∴和3是方程的两个实根，
∴
解得
（2）
∵，又
∴
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为9．
（3）
∵，
∴
由，得，① ．
由，得，② ．
由①②得，
19．（1）答案不唯一见解析；（2）可以，k=-3.
【解析】（1）根据相应二次函数的开口方向和二次方程根的大小关系，分，，，和五种情况讨论求解.
（2）根据解集A，结合B为有限集，则，在根据B中元素个数最少，则最大，利用基本不等式求解.
【详解】（1）当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
综上：当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
（2）若B为有限集，则此时，
要使B中元素个数最少，则最大，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以时，集合B中元素最少.
【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
20．.
【分析】要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.
【详解】由，则．
当且仅当即时取到最小值16．
若恒成立，则．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
21．（1）-1,6；（2）答案见详解
【分析】（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值；
（2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解.
【详解】（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得；
（2）原式因式分解可得，
当时，，解得；
当时，的解集为；
当时，，
①若，即，则的解集为；
②若，即时，解得；
③若，即时，解得.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.
22．（1）；（2）9．
【分析】（1）由不等式的解集．，3是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；
（2）由，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．
【详解】解析：（1）∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有 解得．
（2）∵a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝ (a＋b)= 5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值为9．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页