高中数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷第五章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．函数为奇函数
C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点上对称
6．已知点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，现将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上有10个零点
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．若函数对任意的恒成立，则
10．函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在区间上的零点之和为
11．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
12．对于函数，下列说法中正确的是（ ）．
A．该函数的值域是
B．当且仅当时，函数取得最大值1
C．当且仅当时，函数取得最小值
D．当且仅当时，
三、填空题
13．已知，点为角终边上的一点，且，则角________．
14．已知函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则__________.
15．已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是______.
16．已知，tanα=2，则=______________．
四、解答题
17．设.
（1）若，求函数的零点；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值.
20．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
21．已知.
（1）求函数的的最小正周期和单调递减区间；
（2）若关于x的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数m的取值范围.
22．已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项.
【详解】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中 是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.
2．C
【解析】令，求得函数的递减区间，结合选项，即可求解.
【详解】依题意，函数，令，
解得，
所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上先增后减.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理、计算能力以及化归转化思想.
3．A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
4．B
【分析】将给定函数变形成，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.
【详解】函数，由得：
，
所以函数的的单调递减区间是：.
故选：B
5．B
【分析】由图像可知，再将点的坐标代入函数中求出的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案.
【详解】解：由图像可知，
因为函数图像过点，
所以，
由得，
因为，所以或，
由图像可知图像向左平移超过了，即，
所以，则
由五点对应法得，得，
所以，
则的周期为，所以A错误；
为奇函数，所以B正确；
由，得，此时不是增函数，所以C错误；
因为，所以不是函数的图像的对称中心，所以D错误，
故选：B
【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题.
6．B
【解析】先由点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由在区间内单调求出φ.
【详解】由题意得: , 得,所以ω.
又在区间内单调,所以,得,所以ω
所以ω=4或5或6.
当ω=4时, ,有解得.
当ω=5时, ,有无解.
当ω=6时, ,有无解.
综上: .
故选:B
【点睛】求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
7．A
【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.
【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
要使该图象关于原点对称，则，，所以，，
又，所以当时，取得最大值，最大值为．
故选：A
【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.
8．B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
9．BC
【分析】由图象的平移变换可得的解析式，利用诱导公式可判断A；解方程可判断B；利用余弦函数的对称轴可判断C；分离可得，利用余弦函数的性质求得最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】将图象向右平移个单位可得，
对于A：因为，故选项A不正确；
对于B：令，可得，
所以，令，可得，
所以共个，所以函数在区间上有10个零点，故选项B正确；
对于C：令可得，所以直线是函数图象的一条对称轴，故选项C正确；
对于D：若对任意的恒成立，
则，
因为，所以，
，，所以，故选项D不正确；
故选：BC.
10．AB
【分析】利用图象求得函数的解析式，可判断AB选项的正误；计算的值，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断D选项的正误.
【详解】由题图可知函数的最小正周期为，则，
所以，，把代入得，则，得，
，，则AB选项均正确；
，当时，，不满足对任意的都有，C错误；
，，
则共有个零点，不妨设为、、、，且，
则，，
两式相加，整理得，
故的所有零点之和为，D错误，
故选：AB.
11．AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
12．ACD
【分析】画出函数的图象，根据图象判断出结论正确的选项.
【详解】画出函数的图象（如图所示），由图象容易看出，该函数的值域是．当且仅当或，时，函数取得最大值1．当且仅当，时，函数取得最小值．当且仅当，时，，故ACD正确．
故选：ACD
【点睛】本小题主要考查利用三角函数图象研究三角函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
13．．
【分析】由三角函数定义可得，已知等式用诱导公式变形得可得，结合角的大小及范围求得，然后由两角差的正弦公式求得后可得．
【详解】∵，∴，
∴，．
又，∴．
∵，∴，
∴，
∴
．
∵，∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．
14．2
【分析】先根据左右平移不改变最值求得，再根据三角函数平移规律得出平移后函数，从而可列出关于等量关系，再由同一三角函数商的关系得出，从而得出，最后根据两角差正切公式即可求得结果.
【详解】解：因为左右平移不改变最值，即与的最值相同，
则，所以，，
因为向右平移个单位得到：
，
而，
所以，
则，即，
从而.
故答案为：2.
15．
【分析】先作出函数的图像，再由函数的值域为，结合，，观察图像即可得解.
【详解】解：由，可知，因为且，所以要使的值域是，结合图象可知只要，即，
故答案为.
【点睛】本题考查了由三角函数的值域求参数的范围，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
16．
【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．
17．（1）的零点是或；（2）．
【分析】(1)求出的具体表达式，令即可求出函数的零点.
(2)分，两种情况进行讨论，分别求出函数的取值范围，结合恒成立可得关于实数的不等式，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由，令，
则，即或，，
解得或，
∴的零点是或.
（2）由可得，所以，
（1）当时，易得，由恒成立可得，
，即，解得，
（2）当时，可得，由恒成立可得
，即，解得，
综上可得，的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数零点的求解，考查了三角函数最值的求解.本题的易错点是第二问中没对进行讨论.
18．（1）；（2）．
【分析】（1）根据，得到，由利用平方关系求得，然后由求解.
（2）由（1）知，然后由求解.
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以，
所以，
.
（2）由（1）知，
所以，
因为，
所以
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，由此求得的最小正周期.
（2）根据求得的值，由二倍角公式求得的值.
【详解】（1）
，
∴.
（2）∵，，，
∴.
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期的求法，属于中档题.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
（1）
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
（2）
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
21．（1），；（2）.
【分析】（1）先利用诱导公式，两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式化简整理函数，求出周期，利用整体代入法求出单调递减区间即可；（2）利用（1）的结论，分离出参数，不妨，令，把问题转化为直线与函数在区间上恰有两个不同的交点问题，画出图像即可得出结果.
【详解】（1）
，
则函数的的最小正周期为，
由，
得：，
则函数的单调递减区间为：；
（2）由（1）得，
又，
则，
又，
不妨，令，
则，
所以方程在区间上恰有两个不同的实根，
即直线与函数在区间上恰有两个不同的交点；
画出直线与函数的图像，
由图像得实数m的取值范围是：，
即实数m的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数的周期以及单调性，利用方程有根求解参数的取值范围问题.把利用方程的根的个数求参数的问题转化为求两函数的交点问题，利用数形结合的思想求解是解决本题的关键.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）将函数利用三角公式化为，即可求出结果.
（Ⅱ）根据所给定义域得到，进而有，由此即可求出函数在上的值域.
【详解】（Ⅰ）由
，
，
.
即的最小正周期为.
（Ⅱ）因为，
所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
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