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3.2.1双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 双曲线的定义
一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线
答案：D
解析：F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2.方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A.－10 C.k≤0 D.k>1或k<－1
答案：A
解析：∵已知方程表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)>0，解得－13.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案：B
解析：由双曲线的方程可知a＝1，c＝.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
4.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.1或－2 C.1或 D.
答案：A
解析：由题意知解得a＝1.
5.若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
答案：B
解析：由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)，故选B.
6.已知双曲线的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：C
解析：由双曲线的定义可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1.
7.(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
答案：CD
解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)，∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m
答案：C
解析：不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
9.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A.4 B.8 C.24 D.48
答案：C
解析：由解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，∴＝|PF1||PF2|＝24.
10.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
答案：A
解析：设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝|PF2|，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3.
二、填空题
11.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．
答案：－＝1
解析：设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得＝－1，∴·＝－1，∴c＝5.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点P(4，－3)，∴－＝1，又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线的标准方程为－＝1.
12.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．
答案：2
解析：由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．∵·＝0，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.∴|＋|＝＝＝2.
13.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
答案：16
解析：由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.
14.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________.
答案：22 －
解析：由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos∠F1PF2＝＝＝－.
15.关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)，m∈R所表示的曲线C的形状，下列说法中：① m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆；② m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)使曲线C不是双曲线；③ m∈R，曲线C一定不是直线；④ m∈(1,3)使曲线C不是椭圆.正确的是______.
答案：④
解析：对于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)，当m＝1时，方程为2y2＝0，即y＝0，表示x轴；当m＝3时，方程为2x2＝0，即x＝0，表示y轴；当m≠1，且m≠3时，方程为＋＝1，若3－m＝m－1，即m＝2，则方程为x2＋y2＝1，表示一个单位圆；若(3－m)(m－1)<0，即m>3或m<1，则方程表示双曲线；若(3－m)(m－1)>0且3－m≠m－1，即13或m<1时，方程表示双曲线，故④．
三、解答题
16.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
17.在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．
设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin∠CAB＝，sin∠CBA＝，sin C＝.
∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，
∴|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞)．
18.如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
解：由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.
∴＝|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2.
∴b2＝12，b2＝12.
由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
19.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意得解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得cos∠MF2F1＝＝＝－<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．
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3.2.1双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 双曲线的定义
一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线
2.方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A.－10 C.k≤0 D.k>1或k<－1
3.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.1或－2 C.1或 D.
5.若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
6.已知双曲线的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
7.(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A．17 B．7 C．22 D．2
8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m
9.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A.4 B.8 C.24 D.48
10.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
二、填空题
11.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．
12.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．
13.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
14.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．cos∠F1PF2＝________.
15.关于方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)，m∈R所表示的曲线C的形状，下列说法中：① m∈(1,3)，曲线C为一个椭圆；② m∈(－∞，1)∪(3，＋∞)使曲线C不是双曲线；③ m∈R，曲线C一定不是直线；④ m∈(1,3)使曲线C不是椭圆.正确的是______.
三、解答题
16.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
17.在△ABC中，已知|AB|＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．
18.如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．
19.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
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