高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷第二章A卷（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷第二章A卷（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 589.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-05 21:05:11 | ||
图片预览
文档简介
一、单选题
1．已知直线及圆，则“直线l与圆C有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
7．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
10．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
11．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若，则
12．若点在直线上，其中，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．
14．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
15．已知和点关于直线对称，则点坐标为________．
16．圆与圆的公共弦长为___________.
四、解答题
17．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
18．已知圆，直线．
(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点．
(2)若直线与圆的两个交点为，且，求m的值．
19．已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程．
20．已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平行．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线与圆相交所得的弦长．
21．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
22．直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】求得“直线l与圆C有公共点”时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.
【详解】圆的圆心为，半径为，直线的一般方程为，
当“直线l与圆C有公共点”时，圆心到直线的距离，
两边平方并化简得.
所以“直线l与圆C有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．C
【分析】由已知可得原点O到直线l的距离的最大值为1，利用点到直线的距离公式可得关于k的不等式，即可求解k的范围.
【详解】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是.
故选：C
3．D
【分析】根据已知条件把圆的一般方程转化为标准方程，从而可得到圆心坐标，再代入点到直线的距离公式即可.
【详解】由题意可得：圆的一般方程为，
转化为标准方程：，
即圆的圆心坐标为，
因为直线方程为，
所以圆心到直线的距离为
故选：D
4．C
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】圆，可化为，
∴圆心C的坐标，半径为
∴圆心到直线的距离为，
又圆心到直线的距离
∴，解得（舍去）或
故选:C
5．B
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，
所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；
故选：B
6．A
【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
7．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
8．C
【分析】先求圆A的方程，当最大时，直线PB是圆的切线，结合切线方程即可求出结果．
【详解】由已知，圆A的方程为，当最大时，
此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
故选：C．
9．BC
【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
10．ACD
【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.
【详解】对A;变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；
对于C;当时，，故两直线平行，C正确；
对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；
故选：ACD
11．AC
【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；
再根据两直线垂直列出方程，求出.
【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．
若，则，解得，C正确，D错误．
故选：AC
12．AD
【分析】先由题设条件得到：，再利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．
【详解】解：由题设可知：，
，，，即，，当且仅当时取“ “，故选项正确；
又由可得：，，，，故选项、错误；
，，，当且仅当时取“”，故选项正确，
故选：AD．
13．
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
【详解】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：
14．##
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
15．
【分析】设点的坐标为，则由线段的中点在直线上，，列方程组可求出点坐标
【详解】解：设点的坐标为，则
，解得，
所以点坐标为，
故答案为：
16．6
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到此直线的距离，然后可得答案.
【详解】因为圆与圆
所以两式相减得
圆到直线的距离为1
所以公共弦长为
故答案为：6
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.
（1）
证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
（2）
解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简直线，得到直线恒过点，结合点与圆的位置关系，即可求解；
（2）根据题意，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
(1)
证明：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为2，
由于直线，即，
令，解得，，所以恒过点，
所以，
则点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点．
(2)
解：由圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，
因为直线与圆的两个交点为，且，
可得，解得，
又由圆心到直线的距离，可得，所以.
19．.
【分析】由题设知圆心，且在已知直线和y轴上，列方程求参数D、E，写出一般方程，进而可得其标准方程.
【详解】由题意知：圆心在直线x＋2y－4＝0上，即－－E－4＝0.
又圆心C在y轴上，所以－＝0.
由以上两式得：D＝0, E＝－4，则，
故圆C的标准方程为.
20．（1）；（2）8.
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组可得圆的一般式方程，再化为标准方程即可；
（2）设出直线，求出，结合点到直线的距离和勾股定理可得弦长.
【详解】（1）设圆的方程为，,
则
解得
则圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，代入可得，，
直线的方程为：，
故圆心到直线的距离,
故直线与圆形成的弦长为．
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
（1）
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
22．
【分析】先求出的垂直平分线方程，再联立解出交点坐标即可.
【详解】易得在的垂直平分线上，的中点坐标为，又，则的垂直平分线斜率为，
则方程为，即，由解得所以点坐标为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．已知直线及圆，则“直线l与圆C有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知直线：与圆相交于，两点，若，则非零实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
7．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
10．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
11．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若，则
12．若点在直线上，其中，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题
13．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．
14．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
15．已知和点关于直线对称，则点坐标为________．
16．圆与圆的公共弦长为___________.
四、解答题
17．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
18．已知圆，直线．
(1)证明：直线l与圆C恒有两个交点．
(2)若直线与圆的两个交点为，且，求m的值．
19．已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程．
20．已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平行．
（1）求圆的标准方程；
（2）求直线与圆相交所得的弦长．
21．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
22．直线：上的一点到和两点的距离相等，试求点坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】求得“直线l与圆C有公共点”时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.
【详解】圆的圆心为，半径为，直线的一般方程为，
当“直线l与圆C有公共点”时，圆心到直线的距离，
两边平方并化简得.
所以“直线l与圆C有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．C
【分析】由已知可得原点O到直线l的距离的最大值为1，利用点到直线的距离公式可得关于k的不等式，即可求解k的范围.
【详解】因为直线上存在一点P，使得，
所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，
即k的取值范围是.
故选：C
3．D
【分析】根据已知条件把圆的一般方程转化为标准方程，从而可得到圆心坐标，再代入点到直线的距离公式即可.
【详解】由题意可得：圆的一般方程为，
转化为标准方程：，
即圆的圆心坐标为，
因为直线方程为，
所以圆心到直线的距离为
故选：D
4．C
【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；由弦长，利用勾股定理，即可求出实数k的值.
【详解】圆，可化为，
∴圆心C的坐标，半径为
∴圆心到直线的距离为，
又圆心到直线的距离
∴，解得（舍去）或
故选:C
5．B
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，
所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；
故选：B
6．A
【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
7．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
8．C
【分析】先求圆A的方程，当最大时，直线PB是圆的切线，结合切线方程即可求出结果．
【详解】由已知，圆A的方程为，当最大时，
此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
故选：C．
9．BC
【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
10．ACD
【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.
【详解】对A;变形为
令，则，因此直线过定点，A正确；
对于B;当时，，故两直线不垂直，故B错误；
对于C;当时，，故两直线平行，C正确；
对于D;当时,则满足，此时则两直线距离为，故D正确；
故选：ACD
11．AC
【分析】根据两直线平行列出方程，求出或，经检验，不合要求；
再根据两直线垂直列出方程，求出.
【详解】令，解得：或．当时，与重合；当时，．A正确，B错误．
若，则，解得，C正确，D错误．
故选：AC
12．AD
【分析】先由题设条件得到：，再利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可．
【详解】解：由题设可知：，
，，，即，，当且仅当时取“ “，故选项正确；
又由可得：，，，，故选项、错误；
，，，当且仅当时取“”，故选项正确，
故选：AD．
13．
【分析】分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程.
【详解】设的重心为，垂心为
由重心坐标公式得，所以
由题，的边上的高线所在直线方程为，
直线，，所以的边上的高线所在直线方程为
所以
所以欧拉线的方程为，即.
故答案为：
14．##
【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
15．
【分析】设点的坐标为，则由线段的中点在直线上，，列方程组可求出点坐标
【详解】解：设点的坐标为，则
，解得，
所以点坐标为，
故答案为：
16．6
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到此直线的距离，然后可得答案.
【详解】因为圆与圆
所以两式相减得
圆到直线的距离为1
所以公共弦长为
故答案为：6
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.
（1）
证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
（2）
解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简直线，得到直线恒过点，结合点与圆的位置关系，即可求解；
（2）根据题意，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
(1)
证明：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为2，
由于直线，即，
令，解得，，所以恒过点，
所以，
则点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点．
(2)
解：由圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，
因为直线与圆的两个交点为，且，
可得，解得，
又由圆心到直线的距离，可得，所以.
19．.
【分析】由题设知圆心，且在已知直线和y轴上，列方程求参数D、E，写出一般方程，进而可得其标准方程.
【详解】由题意知：圆心在直线x＋2y－4＝0上，即－－E－4＝0.
又圆心C在y轴上，所以－＝0.
由以上两式得：D＝0, E＝－4，则，
故圆C的标准方程为.
20．（1）；（2）8.
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组可得圆的一般式方程，再化为标准方程即可；
（2）设出直线，求出，结合点到直线的距离和勾股定理可得弦长.
【详解】（1）设圆的方程为，,
则
解得
则圆的一般方程为，
所以圆的标准方程为．
（2）设直线，代入可得，，
直线的方程为：，
故圆心到直线的距离,
故直线与圆形成的弦长为．
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
（1）
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
22．
【分析】先求出的垂直平分线方程，再联立解出交点坐标即可.
【详解】易得在的垂直平分线上，的中点坐标为，又，则的垂直平分线斜率为，
则方程为，即，由解得所以点坐标为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页