高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷第三章A卷（含解析）

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
2．已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的2倍，则（ ）
A． B． C． D．2
3．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B．（0，－1） C． D．
4．设是双曲线的左 右焦点.若双曲线C上存在点P满足且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．E的焦点到渐近线的距离为2 B．
C．E的实轴长为6 D．E的离心率为
7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是离心率等于的双曲线的左右焦点，过焦点的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若的周长20，则等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
二、多选题
9．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
10．已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
11．设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．当时，C的离心率是2
C．到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当时，C的实轴长是虚轴长的两倍
12．双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
三、填空题
13．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
15．已知椭圆长轴的一个顶点到直线的距离不小于2，则椭圆的离心率的取值范围为__________.
16．已知双曲线C：，直线与C交于A，B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴.若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为___________.
四、解答题
17．已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
18．在圆上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）斜率为且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为，射线OE交曲线C于点M，交直线于点N，且，求点到直线l的距离d的最大值．
19．已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
20．已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
21．已知双曲线的方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】待定系数法设双曲线方程后求解
【详解】若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为，
可列解得，其标准方程为
若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为
此时无解
综上，双曲线方程为
故选：B
2．A
【分析】根据双曲线的几何性质列式可求出结果.
【详解】由题意得,解得，即.
故选：A.
3．A
【分析】根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
4．B
【分析】根据双曲线的定义得出的关系，求得后可得渐近线方程．
【详解】由得，又，
所以，，
又，则，，，，
渐近线方程为，即．
故选：B．
5．D
【分析】根据题意列出满足的等量关系式，求解即可.
【详解】因为在双曲线的一条渐近线上，
故可得；
因为抛物线的准线为，故，
又；解得，
故双曲线方程为：.
故选：D.
6．D
【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果.
【详解】依题意可得，得，故B不正确；
,,,
所以E的焦点到渐近线的距离为，故A不正确；
因为，所以E的实轴长为，故C不正确；
E的离心率为，故D正确.
故选：D
7．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
8．D
【分析】由已知条件先求出的值，即可得实半轴长的值，然后利用双曲线的定义即可求解.
【详解】解：设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为，则，．
因为离心率，则，所以，，
由双曲线的定义知，，，则，
所以的周长，，
故选：D．
9．BCD
【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．
10．ABD
【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.
【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；
由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；
所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．
故选：ABD．
11．AC
【分析】由已知条件值，根据，，，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由双曲线的方程可得，，
所以，
因为，所以，
所以，可得：，故选项A正确；
对于选项B：当时，双曲线，此时，，
所以离心率，故选项B不正确；
对于选项C：中，由选项A知：，，，的渐近线方程为，
不妨取焦点，则到渐近线的距离，
所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；
对于选项D：当时，，，
所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出，，再利用双曲线的性质可求，关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于.
12．AC
【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解；
【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
故选：.
13．
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
14．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
15．
【分析】利用点到直线的距离可得的不等式，求出其解后可求离心率的取值范围.
【详解】长轴的顶点为，故即，
故离心率，
故答案为：
16．
【分析】根据三角形内心的性质得，从而得，于是有，再运用公式可求解
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，，则.因为，所以A是线段BD的中点，又轴，所以，，所以的内心G在线段EA上.因为G到y轴的距离为，所以，所以，因此，即，故.
故答案为：
17．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；
（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．
【详解】（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设出点的坐标和点的坐标，根据相关点法求出动点P的轨迹C的方程；
（2）联立直线l和椭圆方程，利用根与系数的关系求出线段AB的中点坐标，联立OE和椭圆方程，得出点坐标，代入已知方程，得出的关系，即可得直线恒过定点，进而可得点到直线l的距离d的最大值．
【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，则
，
且，
动点的轨迹的方程为
（2）设直线，，
联立得，
中点
由斜率公式可知，
联立得，，即

直线过定点
易知当定点与点的连线与直线垂直时，取得最大值.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，，解出；（2）设直线：，根据直线与椭圆相切可得，分别求出、坐标，计算整理．
(1)
设椭圆的半焦距为，，
将代入得，
所以，
因为点是椭圆上一动点，所以，
所以面积，
由，求得，
所以椭圆的方程为：.
(2)
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，
整理可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，得，
因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，
所以，
将代入直线可得，所以，
所以，
，将代入上式，
得，所以为定值.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得的值，即可得答案.
（2）设点 ，即可得M点坐标及直线OM的方程，与直线l联立，可得N点坐标，即可得坐标，结合数量积公式，即可得证
（1）
设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，
故C的方程为：；
（2）
设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
21．抛物线的标准方程为，准线方程为
【分析】求出双曲线的右顶点坐标，可得出的值，进而可求得抛物线的标准方程以及该抛物线的准线方程.
【详解】解：因为双曲线的右顶点坐标为，
所以，且抛物线的焦点在轴正半轴上，
所以所求抛物线的标准方程为，其准线方程为．
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得，然后利用离心率即求；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线的方程为，即证.
(1)
依题意，，
∴，
又，，
∴，∴
∴椭圆的标准方程为.
(2)
由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，
由得，，
∴，
∴，，
∴直线的斜率
∴直线的斜率，令得点坐标为，
∴直线的方程为，即
∴直线恒过定点.
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