高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷第三章B卷（含答案解析）

一、单选题
1．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
2．已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知、为双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于、两点，若，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
8．已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2
10．设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，…组成公差为d的递增等差数列，则（ ）
A．的最大值为
B．的面积最大时，
C．d的取值范围为
D．椭圆上存在点P，使
11．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A． B．若直线过点，则
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则
12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
三、填空题
13．如图，椭圆和在相同的焦点，，离心率分别为，B为椭圆的上顶点，，且垂足P在椭圆上，则的最大值是___________.
14．如图，已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为________．
15．已知是双曲线的左 右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，且满足，则的长等于______．
四、解答题
17．已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和．直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线、的斜率分别是和，求的取值范围．
18．已知椭圆E：的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.
(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的科率分别记为，，且，求证： APQ为直角三角形.
19．已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A的直线与椭圆相交于点，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与椭圆相交于M，N两点，且△ASM的面积是△HSN面积的倍，求直线l的方程.
20．已知椭圆C；的左右顶点分别为，，以线段为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P（，）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线M，交于点D，求证：点D在定直线l上，并求出直线l的方程.
21．已知椭圆经过点，点为椭圆的上顶点，且直线与直线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不垂直轴的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点在轴上方)，直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：.
22．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】设出的坐标，根据列方程，化简求得，结合抛物线的定义求得.
【详解】依题意.
设，，，，，，
，又，故，
∴，∴．
故选：D
2．D
【分析】根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，设，则，进而结合正切的差角公式和基本不等式可得，进而根据齐次式求离心率即可.
【详解】解：根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，如图，
记直线与轴的交点为，设，则，
由于，故，
所以，，
所以，
因为，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，
整理得，
所以，解得，
所以，即椭圆C的离心率为.
故选：D
3．B
【分析】根据几何关系，求得点的坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.
【详解】根据题意，作图如下：
因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，
又到的距离，即，又为中点，则，
设点，则，解得；由可得，
则由等面积可知：，解得，则，
则，又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，
故.
故选：B.
4．A
【分析】圆心是抛物线的焦点，设，因此，这样有，变形后利用基本不等式得最小值．
【详解】易知即为抛物线的焦点，即，设，∴
∴
当时，上式，取等条件：，
即时，取得最小值
故选：A．
5．B
【分析】结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.
【详解】由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
6．D
【分析】根据双曲线的性质得到，再根据，即可得到，在中，，设双曲线的半焦距为，即可得到，，再根据双曲线的定义及离心率公式计算可得；
【详解】解：依题意由双曲线的对称性可知，又，
所以，所以，在中，，
设双曲线的半焦距为，所以，，
则其离心率；
故选：D
7．C
【分析】结合椭圆的几何性质求出，由条件列方程求出，由此可求长轴长.
【详解】因为椭圆的左焦点为，所以，
又垂直于轴，在椭圆上，故可设，
所以，又，所以，
又
所以．，
解得从而，
故选：C.
8．B
【分析】由题意求出，，再由可求得，从而可求表示出，进而可求得离心率
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，
当时，，得，所以，
当时，，所以，
因为，所以，
所以，得，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B
9．AD
【分析】对于A，求出点的横坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；
对于B，根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出，即可判断，
对于C，，则，判断是否有解，即可判断；
对于D，根据，结合基本不等式即可判断.
【详解】解：抛物线的准线为，焦点，
若为中点，所以，所以，故A正确；
若，则，所以，故B错误；
设，则，所以，，
所以，所以与不垂直，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，
所以面积的最小值为2，故D正确.
故选：AD.
10．ABC
【分析】由题知，易判A正确；当P离横轴的距离最大时，
的面积最大，计算正切值即可；将的最大值、最小值代入公式即可
判断C选项；写出余弦定理公式并配方，得，由均值
不等式知,当且仅当时，此时最大，
此时，易得D不正确.
【详解】由椭圆方程 知， .
选项A：因为P为椭圆上的动点，所以，所以的最大值为
，故A正确；
选项B：当点P为短轴顶点时，的高最大，所以的面积最大，
此时，所以B正确；
选项C：设，，，…组成公差为d的等差数列为，所以，，，
故C正确；
选项D：因为
，又 ，
所以 ，而 ，
当且仅当 时取等号.此时 ，
故此时最大. 此时
故D不成立.
故选：ABC．
11．BCD
【分析】对于A，利用抛物线的定义求得抛物线的方程，然后将点的坐标代入即可求解；
对于B，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系以及向量数量积的坐标运算即可求解；
对于C，先写出点的坐标，然后得到直线与的斜率之和为0，从而得到直线平分，再根据三角形内角平分线定理即可得解；
对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到，然后利用抛物线的定义及基本不等式得到，结合即可得解．
【详解】由题意得，则，故抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程，得，解得，
所以A不正确；
设，，易知直线的斜率不为零，当直线过点时，
可设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
化简得：，则，，
所以，所以，
所以B正确；
易知，则由选项B得
，
所以直线平分，所以，
选项C正确；
因为直线过点，且斜率不为零，
所以设直线的方程为，与抛物线方程联立，
易得，所以．
因为，，且，
所以，又，所以，所以D正确．
故选：BCD．
12．AC
【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，则，
所以，，
因为，直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，
所以，，
所以，矩形的面积为，D错.
故选：AC.
13．
【分析】首先分别表示出，设，将表示成关于的三角函数，然后求其最值即可.
【详解】由图知，则，
设，则，
则，当且仅当时等号可取到.
故答案为：.
14．
【分析】设，利用双曲线的定义和，得到，再根据为等腰三角形，求得，如何在中，利用余弦定理求解.
【详解】解：设，
由双曲线的定义可得，
由，得，
即，
因为为等腰三角形，
所以，
解得（负值舍去），
在中，
，即，
所以．
故答案为：
15．3
【分析】令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.
【详解】令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
16．##1.5
【分析】过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，利用抛物线的定义及相似可得答案.
【详解】过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，则，，，由，∴，
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知及椭圆对称性求参数a，根据离心率及椭圆参数关系即可求解；
（2）联立椭圆C和直线方程，应用韦达定理直接计算即可.
（1）
由椭圆对称性知： ，
即，又，所以，，
所以椭圆的方程为；
（2）
将代入得，
设，，则，，
由（1）得，，
所以
，
将式代入上式得 ，
因为，，所以，
即的取值范围是；
综上，椭圆C的方程为，的取值范围是.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，结合求解；
（2）设，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，设直线AQ：，与圆方程联立，求得点Q的坐标，结合AQ与PQ斜率关系证明.
(1)
解：因为，
∴，
∵，
∴|PQ|的最大值为，
即，又，
∴，
解得，，
∴椭圆E的方程为；
(2)
直线，
联立方程组，消去y得，
则，.即，
直线AQ：，
联立方程组，消去y得，
则，，即，
，
∴，
即，
∴ APQ为直角三角形.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件联立方程解出，从而得到答案；
（2）首先求出直线AH的方程，以及S点的坐标，讨论直线l的斜率的存在与否，当斜率存在时，设直线l的方程为，，，联立解方程求出，，根据△ASM的面积是△HSN面积的，化简可以得到，进一步求出斜率k，从而得出答案.
(1)
根据题目列方程
解得，，
所以椭圆的方程为.
(2)
由已知得，所以，直线AH的方程为，
所以，S点的坐标为.
当直线l的斜率不存在时，，，
或，都与已知不符；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
由，得，
，，
，，
由△ASM的面积是△HSN面积的可得
化简，即，
又，所以，，即，也就是，
所以，，，，，
解得，，所以，直线方程为.
20．(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据点的坐标满足椭圆方程，以及直线的斜率为，即可求得，则椭圆方程得解；
（2）根据（1）中所得椭圆方程，设出直线的方程，联立韦达定理，结合以及三点共线，求得点的横坐标为定值，即可求得结果.
(1)
由椭圆C经过点，故可得，
由题意可知直线的斜率为，故可得，解得；
把得代人得，
所以椭圆C的方程为.
(2)
由（1）得，，设，
由题可知直线l的斜率不为零，设其方程为，
联立椭圆方程，可得
则
设，由，D，M三点共线，可得
所以，
由三点共线，同理可得
所以
所以，解得，所以点D在定直线上.
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定直线方程，解决第二问的关键是合理利用韦达定理，结合三点共线的应用，求得点的横坐标，即可求得结果.
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）依题意求得，由直线与直线垂直求得，进而得椭圆方程；
（2）依题意设直线，与椭圆方程联立，进而得，结合韦达定理可得结果.
【详解】（1）由，得.
直线与直线相互垂直，则，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意设直线，
联立和椭圆的方程得：，
设，则有.
，令，则，同理：.
所以.
则，
分子，所以.
22．(1)
(2)点在定直线上.
【分析】（1）解方程组可得答案；
（2）设， 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理代入，可得直线的方程、直线的方程，联立两直线方程得，由化简可得答案.
（1）
由题意得，解得，
所以椭圆的方程是.
（2）
点是在定直线上，理由如下，
由（1）知，设，
，将的方程与联立消，得，
则，得且，且，
因为，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
联立直线与直线的方程，得，
得，
所以
所以点在定直线上.
答案第1页，共2页
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