高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷第一章A卷（含解析）

一、单选题
1．在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
3．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．
7．五星红旗的五颗星是最美的星，每颗五角星是由一个正五边形及五个全等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边与正五边形的边重合，如图，已知等腰三角形的顶角为36°，顶角的余弦值为，则五角星中间的正五边形的一个内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
二、多选题
9．关于正方体，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为
C．棱与平面所成角的正切值为
D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为
10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为平方米 D．正四棱锥的侧面积为平方米
11．如图，在棱长为1的正方体中（ ）
A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为
12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题
13．如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______．
14．若向量，，则__________．
15．若与垂直，则__________．
16．已知E F G H分别是正方体，边AB，CD，，的中点，则异面直线EH与GF所成角的余弦值为___________.
四、解答题
17．如图，在直角梯形中，，，，，平面，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的正弦值等于，求四棱锥的体积.
18．已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为.
(1)求证：平面；
(2)求直线BC与平面所成角的正弦值.
19．已知三棱柱中，∠ACB=90°，，平面ABC，AC=BC，E为AB的中点，D为上一点.
(1)求证：AD⊥CE；
(2)当D为的中点时，求二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，，平面平面ABCD，且，E为BC的中点.
(1)证明：平面平面PBD.
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
21．如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.
22．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，，．
(1)求证：；
(2)求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长，求出相关各点的坐标，利用向量的夹角公式求得答案.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA,DC, 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，
则 ,
则 ，
故 ，
故线与直线所成角的余弦值为，
故选：B
2．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
3．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，∴，，
∴，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A
4．A
【分析】将三棱锥放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM与CD夹角的余弦值．
【详解】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，，，
则，，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值．
故选：A．
5．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题知，
所以直线与直线所成角的余弦值为
故选：B
6．A
【分析】根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】解：因为三棱锥中，，，，
所以，
故选：A.
7．C
【分析】根据题意，结合已知角度的余弦值以及余弦的二倍角公式，即可求得结果.
【详解】根据题意可得：等腰三角形的每个底角为；
由题可知：，由余弦的二倍角公式可得：
；
又正五边形的一个内角和互为补角，是，
故.
故选：C.
8．A
【分析】取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；
【详解】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，
根据正方体的性质可得面即为平面，
对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；
对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；
其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面；
故选：A
9．ABD
【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．
【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
设平面的一个法向量，则有
令，则，即
∵，则，即
∴∥，则直线平面，A正确；
结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线
∴，则
∴l与所成角为，B正确；
∵，则
∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；
如图2，取棱的中点，连接
∵分别为的中点，则∥且
又∵∥且，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∵分别为的中点，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∴∥
同理可证：∥
∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形
∵，则其周长为，D正确；
故选：ABD．
10．AC
【分析】利用已知条件画出图像，设O为正方形的中心，为的中点，设底面边长为，利用线面角的定义得出，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积即可.
【详解】
如图，在正四棱锥中，
O为正方形的中心，为的中点，
则，
设底面边长为．
因为，
所以．
在中，，
所以，底面边长为6米，
平方米．
故选：AC.
11．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点到平面的距离为，则
，故D正确.
故选：BCD.
12．AC
【分析】A.利用空间向量运算求解判断；B. 利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积法求解判断；D.利用线面角的求解判断.
【详解】由题意，画出正三棱柱如图所示，
向量，故A正确；
假设存在点，设，，所以.因为，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面所成的角，.故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】利用向量数量积求得向量的模，即可求得线段的长
【详解】
则
即线段的长为
故答案为：
14．##
【分析】求出两向量的数量积为0，从而可求得其夹角．
【详解】解：因为，
所以，故．
故答案为：.
15．9
【分析】根据空间向量数量积的运算法则和垂直的定义计算.
【详解】因为与垂直，
所以，解得.
故答案为：9.
16．
【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，
，
设该正方体的棱长为，显然，
于是有，
所以，
，
所以，
因此异面直线EH与GF所成角的余弦值为，
故答案为：
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证，且，进而可得；
（2）根据空间向量处理二面角：，可以解得，进而求体积．
（1）
如图，作交于点，连接，取的中点，连接，.
由中位线定理得，且，
因为点是的中点，所以，且，故，且.
所以四边形是平行四边形.所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）
如图，作交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，.
由得.
所以，，，.
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得.
又平面的一个法向量为，依题意得，
所以，解得，即，，.
所以.
18．(1)证明过程见解析；
(2).
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.
(1)
连接交于，连接，显然是的中点，
因为E为AB的中点，所以，
而平面，平面，
所以平面；
(2)
设的中点为，连接交于，
因为为正三角形，所以也是正三角形，
所以有，因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，而平面平面，
所以平面，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以侧面是矩形，因此平面，
于是建立如图所示的空间直角坐标系，设，
所以，
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为平面，
所以设平面的法向量为，
因为二面角的大小为，
所以有（负值舍去），
则，
设直线BC与平面所成角的正弦值为，
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过线线垂直，证明线面垂直，从而得到线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，然后求相关平面的法向量，再运用向量的夹角公式可求解.
（1）
因为，E为AB的中点，
所以.
因为平面ABC，平面ABC，
所以.因为，且平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）
以C点为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，.
所以，.
易知平面的一个法向量为.
设平面ACD的法向量为，
则即亦即
令，则平面ACD的一个法向量为.
所以.
故二面角的余弦值为.
20．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式，结合面面垂直的判定定理进行计算证明即可；
（2）根据四棱锥的体积公式，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
（1）
如图，以D为坐标原点，以，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.
因为，E为BC的中点，所以.
因为平面平面ABCD且交于BC，所以平面ABCD，令.
（1）证明：因为，，，
所以，，所以，.
因为，平面PAE，所以平面PAE.
因为平面PBD，所以平面平面PAE；
（2）
因为，所以，即.
设平面PAD的法向量为，则
令，得.
取平面PAE的法向量为.
因为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）利用勾股定理证明，利用线面垂直的性质证明，再利用线面垂直的判定定理可得平面；
（2）以点为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可求出平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值，再由平方关系即可解出.
（1）
∵，，，
∴，∴．
∴，∴，∵平面，而AC在平面ABCD中，
∴，，且都在平面内，
∴平面．
（2）
以点为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，
∴，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
平面与平面所成二面角为，
∴，可取，
，可取
∴，则.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意利用勾股定理可证，结合面面垂直的性质定理理解证明；（2）利用空间向量，根据处理运算．
（1）
如图所示，设AC与BD的交点为O．
因为四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，
所以．
在中，，
即．又因为，所以，．
同理可得，．
因为，所以．
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．
所以平面PBD，
又因为平面PBD，
所以．
（2）
取OB，AB的中点E，F，连接PE，EF．
由（1）知平面PBD，又平面PBD，所以，所以．
因为，所以，
平面平面ABD，平面平面，平面PBD，
所以平面ADB，
．
又因为E，F为OB，AB的中点，所以．
以E为坐标原点，EF，EB，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，，，，，
所以，，．
设平面PBC的一个法向量为，
则，取，所以．
设直线CA与平面PBC所成的角为θ，
则．
所以直线CA与平面PBC所成角的正弦值是．
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