高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册单元测试卷第五章A卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册单元测试卷第五章A卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 839.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-05 21:07:32 | ||
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文档简介
一、单选题
1．曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
6．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，且，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
10．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
12．如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（ ）
A．-2是函数的极值点；
B．函数在处取最小值；
C．函数在处切线的斜率小于零；
D．函数在区间上单调递增.
三、填空题
13．已知函数的极大值点是，则___________.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．
①；②是偶函数；③在上单调递增．
15．已知函数在处取得极值，则的极小值___________.
16．若直线是曲线的一条切线，则实数__________.
四、解答题
17．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
18．设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
20．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
21．设，函数.
(1)若函数为奇函数，求实数a的值；
(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由已知条件可得出，可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.
故选：C.
2．C
【分析】分析得出在点处的切线与直线平行，利用导数可求得结果.
【详解】如下图所示：
若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，
对函数求导得，令，可得，
，解得.
故选：C.
3．D
【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．C
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
5．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
6．B
【分析】根据函数在处有极值为，由，求解.
【详解】因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
7．B
【分析】确定函数的奇偶性排除两个选项，然后由导数确定函数的单调性得正确结论．
【详解】，所以是奇函数，排除CD，
又，所以是增函数，排除A，选B．
故选：B．
8．C
【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据单调性，比较函数值.
【详解】，
当时，，函数单调递增，
，且，
.
故选：C
9．CD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC选项的正误，取可判断A选项的正误，解方程可判断D选项的正误.
【详解】，该函数的定义域为，.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，故B选项错误，C选项正确；
当时，，此时，A选项错误；
由，可得，解得，D选项正确.
故选：CD.
10．ACD
【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案.
【详解】构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，故，当且仅当时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
所以，AC选项错误，，B选项正确.
构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，，D选项错误.
故选：ACD
11．ABD
【分析】A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
12．AD
【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断
【详解】根据导函数的图象可得，
当上，，在上，，
故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，所以A正确；
其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；
由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，
故选：AD
13．1
【分析】求导，由解出，检验是极大值点.
【详解】，由极大值点是，得，，.
此时， ，在上单调递增，
在上单调递减，极大值点是，满足题意.
故答案为：1.
14．（满足条件即可）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》
【详解】解：如，
，，故，
是偶函数，
又在上单调递增，
故答案为：（满足条件即可）
15．1
【分析】求出导函数，由极值点确定参数的值，再根据导数与单调性的关系得极值．
【详解】，
在处取得极值，则，，
，，
或时，，时，，
在和上递减，在上递增，
因此时，取得极小值，
故答案为：1
16．
【分析】求出切点坐标代入切线方程可得答案.
【详解】因为，所以，令，得，
所以切点为，代入，得.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数求出f（x）的最小值，即可得证；
（2）对f（x）求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出.
(1)
若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，
令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)
f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
18．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为，
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可
（1）
．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，
∴，解得．此时，满足题意．∴．
（2）
由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：
0 2
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．
（1）
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
（2）
由（1）可知．
①若，则，即，可得，
设，在上单调递减
所以至多有一解且，则，
代入解得．
②若，则，即，可得，
结合①可得，
因为，，
所以在存在一个零点．
当时，，
所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意
综上所述：．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象；
（2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论，然后画出、、的图象.
【详解】（1）由题意，等价于，令，
∴，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴，得证.
（2）由题设，等价于，等价于，
令，则，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
令，则，而，
∴时，，单调递增，
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
综上，，上恒成立.
21．(1)
(2)1
【分析】（1）求出，根据奇函数的概念得到，即可求出结果；
（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得，即可求出结果.
（1）
由已知，得，
，，∵为奇函数，
∴，，即，∴；
（2）
，
当x变化时，的变化情况如下表：
x a
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
∴，∴.
22．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；
（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.
（1）函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.由得；由得从而，函数减区间为，增区间为 所以函数极小值为，无极大值.
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
6．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，且，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．恒成立
B．是上的减函数
C．在得到极大值
D．只有一个零点
10．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在处取得极大值
C．当时， D．的图象关于点中心对称
12．如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（ ）
A．-2是函数的极值点；
B．函数在处取最小值；
C．函数在处切线的斜率小于零；
D．函数在区间上单调递增.
三、填空题
13．已知函数的极大值点是，则___________.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．
①；②是偶函数；③在上单调递增．
15．已知函数在处取得极值，则的极小值___________.
16．若直线是曲线的一条切线，则实数__________.
四、解答题
17．已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
18．设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若恰有一个零点，求a的值．
20．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（1），；
（2），．
21．设，函数.
(1)若函数为奇函数，求实数a的值；
(2)若函数在处取得极小值，求实数a的值.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由已知条件可得出，可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】设，则，直线的斜率为，
由题意可得，解得.
故选：C.
2．C
【分析】分析得出在点处的切线与直线平行，利用导数可求得结果.
【详解】如下图所示：
若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，
对函数求导得，令，可得，
，解得.
故选：C.
3．D
【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.
【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，
因为时，，
所以，
所以在点处的切线斜率为，
故选：D.
4．C
【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
5．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
6．B
【分析】根据函数在处有极值为，由，求解.
【详解】因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
7．B
【分析】确定函数的奇偶性排除两个选项，然后由导数确定函数的单调性得正确结论．
【详解】，所以是奇函数，排除CD，
又，所以是增函数，排除A，选B．
故选：B．
8．C
【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据单调性，比较函数值.
【详解】，
当时，，函数单调递增，
，且，
.
故选：C
9．CD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC选项的正误，取可判断A选项的正误，解方程可判断D选项的正误.
【详解】，该函数的定义域为，.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，故B选项错误，C选项正确；
当时，，此时，A选项错误；
由，可得，解得，D选项正确.
故选：CD.
10．ACD
【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案.
【详解】构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，故，当且仅当时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
所以，AC选项错误，，B选项正确.
构造函数，
，
所以在区间递增；在区间递减，
所以，，D选项错误.
故选：ACD
11．ABD
【分析】A由导数的几何意义即可求参数a；B利用导数研究函数的单调性，进而确定是否存在极大值；C根据B判断区间内的端点值、极值，进而确定区间值域；D令，则，即可确定对称中心.
【详解】A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；
故选：ABD.
12．AD
【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断
【详解】根据导函数的图象可得，
当上，，在上，，
故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，所以A正确；
其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；
由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确；
由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，
故选：AD
13．1
【分析】求导，由解出，检验是极大值点.
【详解】，由极大值点是，得，，.
此时， ，在上单调递增，
在上单调递减，极大值点是，满足题意.
故答案为：1.
14．（满足条件即可）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》
【详解】解：如，
，，故，
是偶函数，
又在上单调递增，
故答案为：（满足条件即可）
15．1
【分析】求出导函数，由极值点确定参数的值，再根据导数与单调性的关系得极值．
【详解】，
在处取得极值，则，，
，，
或时，，时，，
在和上递减，在上递增，
因此时，取得极小值，
故答案为：1
16．
【分析】求出切点坐标代入切线方程可得答案.
【详解】因为，所以，令，得，
所以切点为，代入，得.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数求出f（x）的最小值，即可得证；
（2）对f（x）求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出.
(1)
若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，
令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)
f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.
18．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为，
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可
（1）
．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，
∴，解得．此时，满足题意．∴．
（2）
由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：
0 2
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，结合，则，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意，分和两种情况讨论处理．
（1）
，
令，得．
因为，则，即原方程有两根设为
，所以（舍去），．
则当时，，当时，
在上是减函数，在上是增函数．
（2）
由（1）可知．
①若，则，即，可得，
设，在上单调递减
所以至多有一解且，则，
代入解得．
②若，则，即，可得，
结合①可得，
因为，，
所以在存在一个零点．
当时，，
所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意
综上所述：．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象；
（2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论，然后画出、、的图象.
【详解】（1）由题意，等价于，令，
∴，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴，得证.
（2）由题设，等价于，等价于，
令，则，而，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
令，则，而，
∴时，，单调递增，
故在上恒成立，即，
∴在上恒成立，
综上，，上恒成立.
21．(1)
(2)1
【分析】（1）求出，根据奇函数的概念得到，即可求出结果；
（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得，即可求出结果.
（1）
由已知，得，
，，∵为奇函数，
∴，，即，∴；
（2）
，
当x变化时，的变化情况如下表：
x a
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
∴，∴.
22．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；
（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.
（1）函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.由得；由得从而，函数减区间为，增区间为 所以函数极小值为，无极大值.
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.
答案第1页，共2页
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