高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册单元测试卷第五章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若是函数的极值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．连续函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知.若在处取到最小值，则下列恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
8．已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，若，，，则（ ）
A．在上恒为正 B．在上单调递减
C．a，b，c中最大的是a D．a，b，c中最小的是b
10．已知函数（，且），则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，有且仅有一个零点
C．当时，有两个零点
D．存在，使得存在三个极值点
11．已知、，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：______．
①Sigmoid函数是单调递增函数；
②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；
④Sigmoid函数的导数满足：．
14．已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为___________.
15．曲线的一条切线的方程为，则实数______．
16．已知函数，写出一个同时满足下列两个条件的：___________.①在上单调递减；②曲线存在斜率为的切线.
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
(2)对于任意，，证明：若，则．
19．函数（且）．
（1）若，判断函数的单调性；
（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．
20．已知函数．
(1)求在R上的极值；
(2)求证：．
21．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当x>1时，恒成立，求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】解：令函数，则，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
当时，因为，所以，即，所以在上为单调递增，
，，，因为，所以，
根据在上单调递增，所以．即．
故选：D．
2．C
【分析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.
【详解】因为，
故可得，
因为是函数的极值点，故可得，
即，解得.
此时
令，解得，
由可得或；由可得，
所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为.
则的极大值为.
故选：C.
3．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
方法一：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
方法二：基本不等式法：
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．B
【分析】先把化为，利用为奇函数可排除C，再结合函数值的符号可排除A D，从而可得正确的选项．
【详解】，令，
则，故为上的奇函数，
故的图象关于对称，故排除C.
又当时，令，则，
故，故当时，，故排除D.
而，故排除A，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数解析式判断函数图象时，往往需要根据函数的奇偶性、单调性等来判断图象的性质，有时也需要根据函数值的正负来判断．
5．D
【分析】利用导数分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得；
当时，由可得.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为可得，即，
所以，解得.
故选：D.
6．C
【分析】利用导数结合函数零点存在性定理解决即可
【详解】，
令，
则
故g(x)在上单增，
在上存在唯一零点，且在上，，在上，
所以在上递减，在上递增，故在处取得最小值，
所以
又
所以
故选:C.
7．D
【分析】由对数函数的性质可比较出的大小，再构造函数，利用导数求出其单调区间，从而可比较出的大小和的大小，从而可得结果
【详解】，，由于，所以，
设，则，当时，，当时，，
所以f（x）在单调递增，在上单调递减，所以，
即，即，所以，
得：，即，
又，所以，得：，即，
综上：，
故选：D
8．B
【分析】根据函数是奇函数可求得，所以，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程．
【详解】由题意得，
∴函数为奇函数，
∴
，
∴．
∴，
∴，
∴，
又，
∴所求切线方程为，即．
故选B．
【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P处的切线”说明点P在曲线上且点P为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可．
9．AC
【分析】根据当时，即可判断A；
利用导数讨论函数在上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；
结合选项A和对数函数的单调性可得即可判断C；
利用作差法和结合选项B可得，根据C的分析过程可知，进而判断D.
【详解】A：当时，，所以，故A正确；
B：函数的定义域为，，
令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，故B错误；
C：由选项A可知，当时，所以，
因为，所以，即；
当时，，得，
因为，，
所以，，
即，所以中最大的是a，故C正确；
D：
，
所以，由选项B可知函数在上单调递增，
所以，即，
由选项C可知，有，所以中最小的是c，故D错误；
故选：AC
10．ABC
【分析】选项A，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C，结合选项A中的新函数进行判断；选项D，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D．
【详解】对于A选项，当时，，即，设，
则，故当时，，当时，，
所以，故A正确；
对于B选项，当时，单调递减，且当时，，，因此只有一个零点，故B正确；
对于C选项，，即，当时，由A选项可知，，
因此有两个零点，即有两个零点，故C正确；
对于D选项，，令，得，两边同时取对数可得，，设，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，因此最多有两个零点，所以最多有两个极值点，故D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数，利用函数在上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，
所以，，当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，B对；
对于C选项，取，，则
，此时，C错；
对于D选项，令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
因为，则，D对.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】函数有两个极值点和，令，则
判断函数的单调性，由题知与有两个交点，借助图像求出的取值范围，判断D；再根据零点存在性定理判断A；又根据，求出的取值范围，判断C；由，得，由于，，所以，从而判断B.
【详解】已知，则，
令，则
考虑函数，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故的图象大致如图：
依题意，若有两个极值点，则，即，因此选项D正确；
由图易知，，，故选项A正确；
又，故，因为，
所以，故选项C正确；
因为，即，
故，即.
由于，，所以，从而，故选项B错误.
故答案为：ACD.
13．①②④
【分析】由的单调性可得的单调性可判断①；利用，可判断②；由的单调性可判断③； 求出和可判断④.
【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确；
因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确；
因为为单调递增函数，且，，
仅当时，方程有且只有一个解，故③错误；
，
，所以，故④正确．
故答案为：①②④.
14．或
【分析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），结合导数的几何意义，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），
则，整理得，解得或，
当时，的方程为；当时，的方程为.
故答案为：或.
15．9
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据切点即在在曲线上也在切线上建立方程求解即可.
【详解】设切点为，
因为，所以，
又，
所以，即，解得，
所以.
故答案为：
16．（答案不唯一）
【分析】根据函数的单调性，切线的斜率求出满足条件的函数的解析式即可.
【详解】若同时满足所给的两个条件，则对恒成立，解得：，即，
且在上有解，即在上有解，由函数的单调性可解得：.
所以.
则（答案不唯一，只要满足（即可）
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）依题意可得对恒成立，参变分离可得对恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参数的取值范围；
(1)
解：因为，所以，
所以，，即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
(2)
解：因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，，
则
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
即在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即；
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数导数的几何意义求出切线斜率，点斜式求出切线方程，根据切线在坐标轴上的截距求出面积；
（2）设，利用导数求出函数在R上单调递增，可得当时， ，即可证明,
(1)
，所以．
因为，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
所以切线与坐标轴的交点坐标为和，
则所求的三角形面积为．
(2)
证明：设，则．
令，则，令，
令
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
所以在R上单调递增，
所以对于任意，，若，则，
即．
19．（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，分别解不等式和可求得函数的增区间和减区间；
（2）构造函数，利用导数证明出即可证得结论成立.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
，
令，可得或；令，可得.
因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）令，其中，
，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，
即，所以，恒成立，
即当时，的图象恒在函数的图象的下方．
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
20．(1)极大值，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据单调性即可确定极值；
（2）将不等式转化为，利用（1）得到以及，进而可证明不等式成立.
(1)
由已知，
令，得，令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
在处取得极大值，且无极小值；
(2)
，
由（1）得，，则，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
因此，即．
21．(1)
(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.
(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.
②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.
（1）
因为，所以
因为，所以
（2）
①的定义域是，
令，则.
设,因为在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上有唯一的零点，|
所以有有唯一解，不妨设为.
与的情况如下,
+ 0 -
增 极大值 减
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则
若存在a，使，则，所以
因为在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在,使得.
22．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导函数，再按a值分类讨论正负作答.
（2）利用（1）的结论，按值与1大小分类讨论计算作答.
（1）
函数的定义域为，求导得：，
当a=0时，恒成立，则在上单调递增，
当时，令得，，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
当a=0时，在上单调递增，则，
当时，，则在上单调递增，有，
当时，，则在上单调递减，在上单调递增，
则有，这与当时，恒成立矛盾，即不合题意，
综上得，，即，
所以a的取值范围为.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页