高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第二章A卷（含答案解析）

一、单选题
1．定义，若，关于函数的四个命题：①该函数是偶函数；②该函数值域为；③该函数单调递减区间为；④若方程恰有两个根，则两根之和为0.四个命题中描述正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
3．设函数，则下列函数的对称中心为的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在上的偶函数，也是周期为的周期函数，且在区间上单调递减，则与的大小为（ ）
A． B．
C． D．不确定
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义运算 ，则函数的图象是
A． B． C． D．
7．为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（　　）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
8．若函数不是单调函数，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是定义在上的奇函数，且满足.若，记，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确为（ ）
A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
11．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在定义域上是增函数 D．的图象关于原点对称
12．(多选)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：(c1　c2)＝(a1　a2)×，其中c1＝a1b11＋a2b21，c2＝a1b12＋a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x)，对任意a，b∈R有：(y1　y2)＝(f(a)　f(b))×且满足f(ab)＝y1＋y2，则（　　 ）
A．f(0)＝0 B．f(－1)＝1
C．f(x)是偶函数 D．f(x)是奇函数
三、填空题
13．已知函数的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数的说法：
①；
②；
③；
④，不等式的解集为.
其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)
14．已知是上的奇函数，当时，，则_______.
15．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________
16．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__.
四、解答题
17．已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
18．设函数，且
（1）求的值；
（2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明；
（3）若求值域；
19．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，求：
（1）与的值；
（2）的值；
（3）的值.
20．已知函数.
（1）在给出的直角坐标系中，画出的图象；
（2）若，且，求的取值范围.
21．已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）画出函数的图像；
（3）设，根据图像若函数在区间上最大值与最小值的差为，求的值．
22．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据的定义可求得，从而得到函数图象；由图象可判断函数为偶函数、值域为，单调递减区间为；根据与两交点关于轴对称可知两根之和为，从而得到结果.
【详解】当时，；当时，或
可得函数图象如下图所示：
图象关于轴对称 为偶函数，①正确
由图象可知，值域为，单调递减区间为，②③正确
当与有两个交点时，交点关于轴对称，即两根之和为，④正确
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据新定义处理函数性质、值域、方程根的问题，关键是能够理解新定义的含义，得到函数的解析式和图象，利用数形结合来进行求解.
2．B
【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
3．C
【分析】结合反比例函数特点，先得到关于对称，再结合图像变换依次判断各个选项.
【详解】因为，由反比例函数关于知，关于对称，
选项A：由图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；
选项B：由图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；
选项C：由图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，所以对称中心为，满足题意；
选项D：由图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，所以对称中心为，不满足题意；
故选：C
4．A
【分析】由函数的单调性和周期性可得，，由函数的单调性可得，即可得解.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且周期为，
，.
在区间上单调递减，，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和周期性的应用，属于基础题.
5．A
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得时，有，排除，比较和（1）的值，排除，即可得答案．
【详解】根据题意，函数，
当时，有，时，，有，排除，
，，排除，
故选：．
【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
6．B
【分析】先根据定义将函数化为分段函数形式，再根据二次函数以及绝对值函数图象画图，即得结果.
【详解】由.
作出函数图象：
故选B.
【点睛】本题考查分段函数图象,考查基本分析识别能力.
7．D
【详解】表示不超过的最大整数,则,
所以,
即是周期为1的周期函数.
故选：D．
8．A
【分析】由题二次函数的性质，要使得函数在不是单调函数，得到，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴的方程为的抛物线，
要使得函数在不是单调函数，
则满足，解得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记一元二次函数的图象与性质，列出不等关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．ABCD
【分析】根据函数奇偶性，以及，判断函数以为周期，求出，，，利用周期性，逐项求解，即可得出结果.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足，，
所以，，则，，
所以，，
则是以为周期的函数；则，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】思路点睛：
利用函数的基本性质求解函数值（或函数值之和时），一般需要根据题中所给条件，判断函数的奇偶性、对称性、周期性等，再由所得性质，即可求解.
10．AC
【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，
所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选：AC
11．ABD
【解析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上是增函数，故C 错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
12．AD
【分析】根据定义得到，再对，分别赋值即可判断结论．
【详解】解：因为，
所以；
且；
；
令可得：，故A成立；
令可得：，
令可得： ，故B不成立，
令可得：，故C不成立，D成立，
故选：AD．
13．①③
【解析】根据图象，可求得的值，即可判断①的正误；根据图中数据及在上的单调性，可判断②的正误；分别讨论和两种情况，求得解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式解集，即求的根，根据解析式，即可判断④的正误，即可得答案.
【详解】对于①：由图象可得：，所以，故①正确；
对于②：，且在上为单调递增函数，所以，
所以，故②错误；
对于③：当时，，，满足图象；
当时，，，斜率，满足图象，故③正确；
对于④：由题意得的解集为，即的根为，
根据解析式可得，当时，令，解得，所以解集为，故④错误.
故答案为：①③
14．
【分析】由函数奇偶性，结合时函数解析式，即可求解.
【详解】由是上的奇函数，当时，，
则，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求值问题，其中熟记函数奇偶性的转化作用是解答的关键，属于基础题.
15．1
【解析】令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，
令，可得，
所以.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．.
【解析】对不等式进行参变量分离得到，然后令，，
即可以得到的取值范围.
【详解】由题意，可知：，可得：
令，.
在上单调减，在上单调增，而，.
.
根据题意
故答案为:.
【点睛】本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题.
17．（1）答案见解析（2）答案见解析
【分析】（1）根据函数解析式，分别作出各段图象即可；（2）由解析式可直接得出函数的定义域，由图观察，即可得到单调区间以及值域．
【详解】图象如图所示
（2）定义域为或或，
增区间为，减区间为，，，，
值域为．
18．（1）；（2）单调递减，证明见解析；（3）.
【分析】（1）由即可解得；
（2）利用函数单调性的定义可以判断、证明即可；
（3）利用函数的单调性求函数的值域即可.
【详解】（1）由得，.
（2）在上单调递减，
证明：由（1）知，，
设任意，则.
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
（3）由于函数在上单调递减，
所以，.
所以函数的值域为.
【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于简单题.
19．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）直接根据函数的解析式和函数的关系式，即可求得与的值；
（2）根据关系式和函数的奇偶性，即可求得的值；
（3）利用函数的奇偶性和关系式，求得函数是以4为周期的函数，进而求得的值
【详解】（1）当时，，所以，
因为，都有，所以.
（2）因为函数为偶函数，且，当时，，
所以.
（3）依题意，当时，都有，
可得当时，，
即时，函数是以4为周期的函数.
所以，
又由，，
故.
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，以及抽象函数性质的应用，其中解答中结合函数的奇偶性和周期进行转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
20．（1）图象见解析；（2）.
【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）由，求得，得到，结合，即可求得取值范围.
【详解】（1）由题意，函数，函数的图象，如图所示，
（2）因为，且，可得，所以，
所以，
由于，所以.
21．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据奇函数可知，从而得到；（2）分类讨论可得解析式，根据解析式可得函数图象；（3）根据图象可知在上单调递增，从而可求得最大值和最小值，利用可构造方程求得.
【详解】（1）定义域为，且为奇函数
，即，解得：
（2）由（1）知：
可得函数图象如下图所示：
（3）由（2）可知，在上单调递增
，
，解得：
【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到利用奇偶性求解参数值、分段函数图象、函数单调性和最值的关系、利用函数的最值求解参数值等知识.
22．（1），图象答案见解析；（2）单调递减区间为 ，函数的值域为；（3）答案见解析.
【解析】（1）由偶函数的定义即可求得时的函数f(x)的解析式，进而得到解；
（2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间；
（3）函数的图象与直线的交点个数，数形结合即可得解.
【详解】解：（1）因为时，，设，则，
，
又函数为偶函数，，
故函数的解析式为.
函数图像如图：
（2）由函数的图象可知，
函数的单调递减区间为 ，
函数的值域为.
（3）方程的实数根的个数就是函数的图象与直线的交点个数，
由函数的图象可知，
当时，方程的解的个数为0；
当，或时，方程的解的个数为2；
当时，方程的解的个数为3；
当时，方程的解的个数为4.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式的问题，考查了利用数形结合求单调区间以及值域问题.属于中档题.注意方程的根的个数常常转化为一个确定的函数的图象和一条变动的直线的交点个数问题.
答案第1页，共2页
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