高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第三章B卷（含解析）

一、单选题
1．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义运算：①对，；②对，，，.若，则有（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为2 D．
5．若函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图像所有交点的横坐标之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
9．（1）；
（2）；
（3）.
10．已知函数（）.
（1）若函数在区间上的最小值为1，求实数m的值；
（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
11．
12．已知函数
（1）当时，求不等式的解集：
（2）若函数在上存在两个零点，求实数a的取值范围．
13．已知函数.
（1）当时，求满足的实数x的范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数m的范围.
14．求解下列问题
（1）已知函数，求函数的单调递增区间；
（2）已知函数，，求函数的值域.
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参考答案：
1．D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
2．A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】解：由图象可知：，
因为，所以由可得：，
由可得：，
由可得：，
因此有，
所以函数是减函数，，所以选项A符合，
故选：A
3．A
【分析】由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.
【详解】由，知是偶函数，
不等式等价为，
当时，，在区间上单调递增，
解得：.
故选：A.
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.
4．A
【解析】依据题中新定义化简，再对选项逐一判断即可.
【详解】依题意，=，
故，，即，函数的图象关于对称，A正确；
，由，复合而成，
时递增，此时单调递减，故在递减；
时递增，此时单调递增，故在递增，故B错误；
根据单调性知在时取得最小值，故C错误；
因为，根据单调性得，故D错误.
故选：A.
【点睛】本题解题关键是理解新定义并应用，化简，再研究函数性质即突破难点.复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.
5．B
【解析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项A，D，通过，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C即可.
【详解】令，
即，
则，
即，
由题意，
故时，时，排除A D；
当时，易知是减函数，
且当时，则，C明显不合题意，排除C；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，属于中档题.
6．B
【分析】根据题意，分析可得与的图像都关于直线对称，做出两个函数的图像，分析其交点情况，即可得答案.
【详解】由题意，函数满足可知，
函数的图像关于直线对称，
又函数为偶函数，所以函数的图像关于轴对称，
由函数可知，函数的图像关于直线对称，
画出函数与的图像如图所示：
设图中四个交点的横坐标为，
由图可知，，
所以函数与的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，指数函数图像与性质，考查数形结合思想和运算求解的能力，解题的关键是根据奇偶性和对称性做出函数图像，综合性较强，属中档题.
7．B
【分析】先分析每一段单调递增情况，再综合整个函数递增即可求出结果.
【详解】函数在上单调递增，
，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.
8．C
【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围．
【详解】解：函数，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在单调递增，在单调递减，
若，，则在处取得最小值，不符题意；
若，，则在处取得最小值，
且，解得，
综上可得的范围是，．
故选：．
【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
9．（1）0；（2）0；（3）100.
【分析】（1）把根式化为分数指数幂再计算；
（2）利用幂的运算法则计算；
（3）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算．
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的运算，解题时遇到根式一般先化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算即可．掌握幂的运算法则是解题基础．
10．（1）；（2）
【分析】（1）令，将函数化为二次函数，通过讨论二次函数对称轴的不同位置得到函数的单调性，从而利用最小值构造方程求得的值；
（2）由与，结合奇偶函数可构造方程组求得与解析式；采用分离变量的方式将不等式化为，令，根据对号函数的性质可求得的最小值为，从而得到，进而得到的取值范围.
【详解】（1）由题意得：
令
在上的最小值为
①当，即时，在上单调递减
解得：（舍）
②当，即时，在上单调递增
解得：
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增
，解得：（舍）或（舍）
综上所述：
（2）
当时，，即
令，则
令，，则在上单调递减，在上单调递增
，解得：
即实数的取值范围为
【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值、恒成立问题的求解等问题，涉及到一元二次函数最值的讨论、构造方程组法求解函数解析式、函数奇偶性的应用和最值的求解等知识；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过构造方程组和奇偶性相结合求得函数解析式，进而利用分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系.
11．或
【分析】将方程变形为，令，则解出，再计算出；
【详解】解：因为
令，则，解得或（舍去）
即则或
解得或
【点睛】本题考查指数方程的计算，指数的运算，属于中档题.
12．（1）
（2）
【分析】（1）设，由，得t的取值范围，再求x的取值范围即可；
（2）由函数在上存在两个零点等价于函数在存在两个不同解，可得，解不等式组即可得到本题答案.
【详解】设，
（1）当时，，
令，解得或
即或，解得：或，
所以原不等式的解集为；
（2）∵函数在R上单调递增
∴函数在上存在两个零点等价于函数在存在两个不同解，
此时，只需满足，解得，
所以，实数a的取值范围为．
【点睛】本题主要考查与指数相关的不等式和方程的求解问题，其中涉及到一元二次方程的根的分布问题.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，即可化简得，，由单调性即可得到；
（2）对任意的恒成立即对任意的恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令不大于最小值即可．
【详解】解：（1）当时，
即为，
化简得，，
解得．
则满足条件的的范围是；
（2）对任意的恒成立即为，
即对任意的恒成立，
由于，当且仅当取最小值2．
则．
故实数的范围是．
【点睛】本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．
14．（1）（2）.
【分析】(1)先令，求其减区间，然后由在定义域上为减函数，即可得出答案;
(2)令，然后求在上的值域.
【详解】(1)令则其减区间为， 由在定义域上为减函数，得的单调递增区间为:.
(2)令，由得， ∴，
∴函数在上为单调减函数，在上为单调增函数，
∴，， ∴，
∴当时，函数的值域为.
【点睛】本题考查了复合函数求单调区间，在给定区间上求值域的问题，考查了学生的运算能力，属中档题.
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