高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第一章A卷（含解析）

一、单选题
1．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，求函数的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是
A．对于实数，有
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数的图象过定点
5．把分解因式为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤
二、填空题
9．不等式的解集为______.
10．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
11．如图建造一个容积为16，深为2，宽为2的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/，池壁的造价为80元/，则水池的总造价为___________元.
12．若集合，则集合中的元素个数为____________．
三、解答题
13．设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．
（1）求a的值及集合A、B；
（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．
14．已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
15．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
16．已知关于的不等式.
（1）求不等式的解集；
（2）若，，求实数的取值范围.
17．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：．
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素．
18．若，，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
2．A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】根据题意，由基本不等式，即可求出结果.
【详解】由，即，
所以，
当且仅当，即时取“=”.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型.
4．D
【分析】由于命题A,B为假命题，故排除A,B，选项C含存在量词，故排除C.
【详解】选项A是全称量词命题，，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有，函数的图象过定点，所以正确选项为D.
【点睛】本题考查含全称量词命题真假性判断，注意是必需同时考虑两个条件.
5．B
【分析】利用平方差公式即可得到结果．
【详解】原式＝，
故选：B.
【点睛】此题考查了因式分解﹣平方差公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
7．A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则.
故选：A.
8．C
【解析】设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.
【详解】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.
由题得.
即
故选：C
【点睛】本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.
9．
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】．
故答案为：．
10．
【分析】由题意可知是方程的根，求出的值，代入不等式，化简变形后解此不等式可得出结果.
【详解】已知关于的不等式的解集为，则是方程的根，则，解得，
代入不等式得，即，解此不等式得或.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
11．2880
【解析】求出水池的长，得出各面的面积即可得出总造价．
【详解】解：水池的长为，
水池的底面积为，水池的侧面积为，
水池的总造价为元．
故答案为：2880.
12．3
【解析】根据集合的元素关系确定集合即可．
【详解】解：A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，
∵x∈A，y∈B，
∴x＝1或x＝﹣1，y＝0或y＝2，
则z＝x+y＝﹣1，1，3，
即为{﹣1，1，3}．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．
13．（1）a=﹣5，A={2，}，B={2，﹣5}；（2）见解析
【分析】（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得，然后解方程可得集合A、B；（2）结合（1）中的结论得到（CuA）∪（CuB），然后写出它的所有子集即可．
【详解】（1）根据题意得2∈A，2∈B，
将x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，
解得a=﹣5，
∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．
（2）由题意得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，
∴（CuA）∪（CuB）= U（A∩B）={，﹣5}，
∴（CuA）∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{}，{﹣5，}．
【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题．
14．（1）最小值为；（2）.
【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
15．（1）4(x+4)(x 4)；（2）(a+3b)2(a 3b)2；（3）(x+1)2(x+3)(x 1)．
【分析】（1）提取公因子4，利用平方差公式分解因式；
（2）先完全平方，再利用平方差公式分解因式；
（3）利用十字相乘法因式分解，进而利用完全平方公式与十字相乘法彻底因式分解.
【详解】（1）原式=4(x2 16)=4(x+4)(x 4)；
（2）原式=(a2 9b2)2=(a+3b)2(a 3b)2；
（3）原式=(x2+2x+1)(x2+2x 3)=(x+1)2(x+3)(x 1)．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，一个多项式有公因子首先提取公因子，然后再利用其它方法因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
16．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）通过因式分解得：，然后分3种情况，当，，时，分别求出不等式的解集；
（2）根据，列出不等式组，可确定实数的取值范围.
【详解】（1），
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为.
（2）由上（1），时，，
所以，得，
所以，实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论是解决本题的关键；同时考查集合之间的包含的关系，可通过解不等式组来确定参数的取值范围，属于简单题.
17．（1） （2）交换律：，证明见解析 （3）
【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；
（2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立；
（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）因为对于中的任意两个元素，，
规定：．
所以．
（2）交换律：，证明如下：
由题知：，
，
∴．
（3）若中的元素，对，都有成立，
由（2）知只需．
故，即．
①若，显然有成立；
②若，则，解得．
∴当对，都有成立时，得，
易验证当时，对，都有成立，
∴．
【点睛】本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，属于常考题型.
18．证明见解析.
【分析】利用作差法，结合条件，即可得出结论．
【详解】证明：，
，，
，
．
【点睛】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
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