高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第一章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，R，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（ ）
A． B． C．1 D．4
4．已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
5．下列说法中正确的是（ ）
A．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的充要条件
D．命题“平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题
6．若正实数满足，则的最小值为
A．4 B． C．5 D．
7．对于集合A，B，定义，.设，，则中元素的个数为（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
8．记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为则“t=1”是“为等边三角形”的
A．充分布不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
二、填空题
9．已知，且，则的最小值为_________．
10．如图，正方形的边长为1，点为边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为___________.
11．设，则的最小值为______.
12．正数满足，则的值为______．
三、解答题
13．已知函数.
(1)关于x的一元二次方程的两个根是，,当时，求实数m的取值范围；
(2)求关于x的不等式的解集.
14．已知是二次函数，不等式<0的解集是（0，5），且在区间[－1，4]上的最大值是12．
（1）求的解析式．
（2）作出二次函数y=在 [－1，4]上的图像并求出值域．
15．若实数，，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值
16．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围；
（3）若不等式的解集为，求的取值范围．
17．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
18．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10000公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知土地的征用费为，土地的征用面积为第一层的倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为，以后每增高一层，其建筑费用就增加，设这幢公寓楼高层数为n，总费用为万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）
（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？
（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】按所含元素的个数分为“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别求出相应的“互斥子集组”数.
【详解】①若、中各含一个元素时，“互斥子集组”数：个
②若含一个、含两个元素时，“互斥子集组”数:个
③若含一个、含三个元素时，“互斥子集组”数:个
④若、中各含两个元素时，“互斥子集组”数：个.
综上共有“互斥子集组”数50个.
故选:D
【点睛】此题关键在于恰当分类，属于中档题.
2．C
【分析】利用特殊值法：令可判断A、B、D的正误；利用分类讨论并结合不等式的性质可判断C的正误
【详解】当时：，故A错误；
，故B错误；
，故D错误；
当时，；当时，，即，则；
所以有，故C正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题.
3．B
【分析】分别解一元二次不等式并根据充分不必要条件的集合关系得是的真子集，进而得或，再依次讨论各选项即可.
【详解】解：解不等式，得 ．
解不等式得 或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，
∴ 或，解得：或，
则实数可以是ACD.
故选：B
4．B
【分析】先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.
【详解】因为，，
所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，
故选B
【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．D
【分析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确.
【详解】选项A,若命题“”为假命题，则命题至少有一个假命题，
即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，
所以“”可能是真命题，也可能是假命题，故A不正确.
选项B,命题“，”的否定是“，”,故B不正确.
选项C,，无法得出，故C不正确.
选项D, 原命题的否命题时“平面向量满足，则共线”，
因为，所以由可得.
所以，则或，即共线.故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一般方式.
6．A
【解析】正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8＝0，利用基本不等式的性质可得x+2y+（）2﹣8≥0，设x+2y＝t＞0，即可求出x+2y的最小值．
【详解】∵正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8＝0，
∴x+2y+（）2﹣8≥0，当且仅当x=2y取等
设x+2y＝t＞0，
∴tt2﹣8≥0，
∴t2+4t﹣32≥0，
即（t+8）（t﹣4）≥0，
∴t≥4，
故x+2y的最小值为4，
故选A．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，不等式的解法,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．C
【分析】根据新定义，先计算差集，再计算．
【详解】由已知，
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的新定义运算，解题关键是理解新定义运算，把新定义转化集合的交并补等已知运算求解．
8．B
【详解】试题分析：若为等腰三角形，如，此时，但此时不为等边三角形；当为等边三角形时，则，故选B．
考点：充分必要性．
9．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
10．
【解析】因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.连接，在中，由三角形的性质知.因为为定值，所以当，，三点共线时，的值最小，即可得答案；
【详解】因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.
连接，
在中，由三角形的性质知.
因为为定值，所以当，，三点共线时，的值最小，
此时.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查线段距离最小问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
12．；
【分析】由可因式分解得出的关系,再代入求解即可.
【详解】由题,可得,又正数,故,即,所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查二元函数的因式分解问题,属于基本技能题型.
13．（1）； （2）当时，解集为；当时，解集；当时，解集.
【分析】(1)设，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求解，得到答案；
(2)关于的不等式可化为，分类讨论，即可求解.
【详解】(1)由题意，设,
若方程的两个根满足，
结合二次函数的图象与性质，可得只需，即，
解得，即实数m的取值范围是.
(2)关于的不等式，可得，
即，
①当时，可得，解得，所以不等式的解集为；
②当时，解得或，所以不等式的解集；
③当时，解得或，所以不等式的解集.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．（1）； （2）见解析，值域为.
【分析】（1）设二次函数的解析式为，根据题意，得到，
且，列出方程组，求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）由函数，结合二次函数的图象与性质，得出函数的图象，进而求得函数的值域。
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
因为不等式的解集是，所以，且，
所以函数的对称轴的方程为，
又由函数在上的最大值为，即，
所以，解得，
即函数的解析式为。
（2）由题意，可得函数，
函数的图象如图所示，
由图象可得，函数的最小为，最大值为，
所以函数的值域为。
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次式的关系的应用，以及待定系数法求解函数的解析式，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题。
15．（1）4；（2）4.
【分析】（1）由于，，根据基本不等式得出，再结合一元二次不等式的解法，即可求出的最大值；
（2）根据题意，由，，根据基本不等式得出，通过解一元二次不等式，即可求出的最小值.
【详解】解：（1）∵，，
∴，即，
即，解得：，
（当且仅当时取等号），
∴的最大值为4.
（2）∵，，
，
即，
整理得：，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
所以的最小值为4.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围；
（3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为不等式的解集是或，
所以，和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理得，所以；
（2）由于不等式的解集是，
所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）由于不等式的解集为，
则不等式对任意的恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）把不等式化为，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，不等式，即，
即，解得，所以集合.
（2）由，可得，
当时，不等式的解集为.
由集合是集合的真子集可得，所以，
当时，不等式的解集为满足题意；
当时，不等式的解集为，
由集合是集合的真子集，可得，所以，
综上可得：，即实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
18．（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元
【分析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为=，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.
【详解】（1）每层建筑面积，土地的征用的费用万元；
建筑费用；
，，即．
（），所以这幢公寓楼最高可以盖16层；
（2）由（1）知
当且仅当时，即，为最小值．
所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．
【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案第1页，共2页
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