高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第五章B卷（含解析）

一、单选题
1．若，设函数 的零点为的零点为，则的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
3．已知函数f（x）＝e﹣x+x2﹣3x+1，则函数f（x）的零点个数为（　　　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．（3,5］ D．（1,5]
5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
6．已知，，，则实数，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．下列选项中，函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图像所有交点的横坐标之和为
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．已知函数.若方程无实根，则实数k的取值范围是___________.
10．已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.
11．函数满足对任意，都有，且，，则函数在上所有零点之和是________
12．已知下列命题：
①函数在上单调递减，在上单调递增；
②若函数在上有两个零点，则的取值范围是；
③函数在上单调递减；
④当时，函数的最大值为.
上述命题正确的是__________（填序号）.
三、解答题
13．海安市江淮文化园是以江淮历史文化为底蕴的人文景观，整个园区由白龙故里、先贤景区、凤山书院、中国名人艺术馆群四大景区组成．据估计，其中凤山书院景区每天的水电、人工等固定成本为1000元，另每增加一名游客需另外增加成本10元，凤山书院景区门票单价x（元）（x∈N*）与日门票销售量（张）的关系如下表，并保证凤山书院景区每天盈利．
x 20 35 40 50
y 400 250 200 100
（1）在坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，并确定y与x的函数关系式；
（2）求出的值，并解释其实际意义；
（3）请写出凤山书院景区的日利润的表达式，并回答该景区怎样定价才能获最大日利润？
14．已知函数对一切实数，都有成立，且， .
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
15．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 2 6 20
市场价y元 102 78 120
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.
16．已知函数的图象经过点．
（1）求得常数后在给出的直角坐标系中画出的图象，并写出的单调区间；
（2）若方程有两个解，求实数的范围．
17．设关于的方程.
（1）若常数，求此方程的解；
（2）若该方程在内有解，求的取值范围.
18．如图，用长为l的铁丝围成下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半圆直径的长为x，求此框架所围成图形的面积S关于x的函数解析式.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出，之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．
【详解】函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，
函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线对称，
直线与直线垂直，
故直线与直线的交点即是，的中点，
，
，
当等号成立，
而，故，
故所求的取值范围是，．
故选：B．
【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.
2．B
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故A正确．
由的周期为4，则，，
所以，故B错误；
令，可得，
作函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；
当时，，则，故D正确．
故选：B．
3．B
【分析】构造函数和，画出两函数的图象，即可判断零点个数．
【详解】函数，可得，即，
在坐标系内画出和的图象如图所示，
可知两个函数的图象有2个交点，
所以函数的零点个数为：2．
故选：．
【点睛】本题考查函数的零点个数的求法，考查指数函数和二次函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．C
【分析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，
则当时，则，函数，
又由对任意，都有，则，即周期为2，
又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，
即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，
又由，
则满足且，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．B
【分析】分别构造新函数，，，结合零点的存在定理，求得的范围，即可求解.
【详解】由题意，设，可得，
所以，根据零点的存在定理，可得，
设，可得，所以，
根据零点的存在定理，可得，
令，可得，
所以，可得，
综上可得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用，其中解答中根据题意设出新函数，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7．A
【分析】根据函数的奇偶性得出函数图像的对称性,再令,判断函数值,,进而判断函数图像大致走向,进行排除选择,得出答案.
【详解】由题知函数定义域为,且,得函数为奇函数,由奇函数的图像关于原点成中心对称,故排除和D;分别令,,则,,结合选项可得在的取值范围内函数值先有大于零再有小于零,故排除.
故选:.
【点睛】本题考查的是知式选图,解决此类问题常用以下方法:
①从函数的定义域和值域,分别判断图像的左右和上下位置;
②从函数的单调性或利用导数,判断函数的变化趋势;
③从函数的奇偶性判断函数的对称性;
④从函数的周期性,判断图像的循环性;
⑤特殊点验证,排除不合要求的图像.
是高考题常见题型,属于一般难度的题.
8．B
【分析】根据f（x）的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点个数．
【详解】∵f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），
∴f（x）的周期为2．
∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），
故f（x）的图象关于直线x＝1对称．
又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x＝1对称，
作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，
故选B．
【点睛】本题考查了函数图象变换，考查了函数对称性、周期性的判断及应用，考查了函数与方程的思想及数形结合思想，属于中档题．
9．
【解析】先画出线和函数的大致图像，结合图像可看出直线与曲线相切时为的最小值，利用导数求出此时直线斜率即可得结果.
【详解】画出直线和函数的大致图象如图，
设过点（0， 1）与曲线相切的直线为，其中为切点，将点（0， 1）代入得，即，故，此时切线的斜率为1，若方程无实根，只需直线和函数的图象没有交点，结合图象可知实数k的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】此题考查了利用数形结合求方程根的问题，熟练掌握数形结合的思想方法和函数的性质是解题的关键，属于中档题.
10．.
【解析】画出的图象，数形结合即可容易求得参数范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示，
当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数函数和对数函数图象的应用，属综合基础题.
11．5
【解析】由已知可知函数和有共同的对称中心，所以其交点也关于对称，据此可得在上所有零点和.
【详解】由可知，函数有对称中心，
又当时，，
所以与在上有四个交点关于对称，
又，点也是公共点，图像如下：
所以在上所有零点和.
故答案为:5
【点睛】此题需要根据已知函数的中心对称性，找到零点也关于中心对称的特性，整体求和，属于中档题.
12．①②③
【解析】根据复合函数单调性可判断出①正确；利用数形结合的方式可确定当与有两个交点时的范围，知②正确；利用整体对应法判断正弦型函数的单调性，可确定③正确；利用基本不等式可求得函数最大值，知④错误.
【详解】①在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，①正确；
②令，则在上有两个零点等价于与有两个交点；
在平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：
由图象可知：若与有两个交点，则，②正确；
③，
当时，，此时单调递减，③正确；
④当时，，
（当且仅当，即时取等号），
，④错误.
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查函数部分相关命题的辨析，涉及到复合函数单调性的判断、根据函数零点个数求解参数范围、正弦型函数单调性的求解、利用基本不等式求解函数的最值等知识；是对于函数值域、性质等知识的综合考查.
13．（1） ； （2）销售单价每上涨1元，日销售量减少10张；（3） （N*），当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．
【分析】（1）由题表作出四点的对应点，它们分布在一条直线上，据此可得函数解析式为（N*）．
（2）由（1）可得，然后解释其实际意义即可；
（3）由题意求得函数的解析式，然后结合二次函数的性质讨论该景区怎样定价才能获最大日利润即可.
【详解】（1）由题表在坐标纸中作出四点的对应点如图所示，它们分布在一条直线上，
设它们共线于，则取两点的坐标代入得：
.
所以（N*），
经检验，也在此直线上．
故所求函数解析式为（N*）．
（2）由（1）可得，实际意义表示：销售单价每上涨1元，日销售量减少10张．
（3）依题意: （N*）图象开口向下，对称轴为.
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 故当时，有最大值，答：当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，函数的实际意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）在中，令可求得结果；
（2）在中，令可得，从而可得的解析式；
（3）令,结合函数的图象将关于x的方程有三个不同的实数解转化为方程在内有一个实根，在内有一实根，再利用二次函数图象列式可求得结果.
【详解】（1）在中，
令，得，又，所以.
（2）在中，
令，得，得，
所以.
（3）令，则，
则函数的图象如图：
方程化为，即，即，
因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知，
方程有两个不等实根，不妨设，则，，
令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
15．（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）
【解析】(1)根据函数的单调性选取即可.
(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.
(3)参变分离后再求解最值即可.
【详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择.
（2）把点代入中，
得，
解得，
∴当时，y有最小值.
故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，
（3）由题意，令，
若存在使得不等式成立，则须，
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.
16．（1）作图见解析，增区间为，减区间为，；（2）．
【分析】（1）求出的值代入函数解析式，根据解析式画出函数图象，写出单调区间；
（2）根据图象，平移直线即可求解．
【详解】（1）将点代入函数，解得，
则，如图所示：
根据图象函数的增区间为，减区间为，.
（2）由方程有两个解，即函数和的图象有两个交点,
根据图象可得的取值范围为：．
【点睛】对于已知或解析式易画出其在定义域上的图象，函数的性质可借助图象进行研究：
（1）从图象的最高点，最低点，分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
17．（1）；（2）.
【解析】（1）将代入方程，得到，将其整理得到，集合指数函数的值域，得到，从而得到，求得结果；
（2）将式子整理得出，令，则，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.
【详解】（1）当时，方程即为，
化简得，即，
解得（舍去）或，
所以，所以，此方程的解为，
（2）由可得，
所以，
令，则，
所以，
由可得当时，最小值为，
当时，的最大值为，
所以，即，
所以的取值范围是.
【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.
18．，．
【分析】用表示出长，然后用半圆面积和矩形面积相加得出面积．
【详解】由题意，所以，
所以，
又，所以．
所以，．
【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是用表示出然后由面积公式可得出面积，解题中要注意求出的取值范围，需受实际意义的限制．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页