高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第二章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[-2,2] C．[0,4] D．[-4,4]
3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
5．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
7．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．定义一种运算（为常数），且则使函数最大值为的值是（ ）
A．-2或6 B．4或6 C．-2或4 D．-4或4
二、多选题
9．在同一坐标系中,函数和的图像不可能是
A． B．
C． D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
11．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．函数的最小值为 D．方程有无数个根
12．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的奇函数 D．函数为上的偶函数
三、填空题
13．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为____________.
14．已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为_____.
15．已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为__________．
四、解答题
17．已知函数对任意实数恒有，且当时，。
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是R上的减函数.
18．已知函数在上的最大值与最小值之和为20,记.
(1)求的值.
(2)证明:.
(3)求的值.
19．已知定义域在上的函数满足对于任意的，都有，当且仅当时，成立.
（1）设，求证；
（2）设，若，试比较x1与x2的大小；
（3）若，解关于x的不等式.
20．已知奇函数定义域为R，当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）求不等式在R上的解集；
（3）在的区间上，解不等式.
21．设函数是定义域为R的偶函数.
（1）求的值；
（2）若在上最小值为，求k的值；
（3）若不等式对任意实数x都成立，求实数m的范围.
22．已知函数.
(1)求f(2)，f(x)；
(2)证明：函数f(x)在[1，17]上为增函数；
(3)试求函数f(x)在[1，17]上的最大值和最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.
【详解】由，
可知函数关于对称
当时，，
可知在单调递增
则
又函数关于对称，所以
且在单调递减，
所以或，故或
所以或
故选：C
【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.
2．C
【分析】由题意不等式可化为，又可得函数在上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为和到对称轴的距离的大小的问题处理．
【详解】∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增，
∴函数f(x)在上单调递减．
由题意，不等式可化为．
又函数的图象关于对称，
∴，即，
解得，
∴x的取值范围是[0,4]．
故选C．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化．
3．B
【分析】根据题意，化简整理，可求得的周期，代入特殊值，即可求得a，b的值，即可得的解析式，代入所求，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得，，
所以①，
所以②，
①②联立可得：，即的周期为4，
又，，
所以且，解得，，即
所以.
故选：B
4．D
【分析】先由函数的奇偶性和对称性，求出是周期函数，周期，再结合时， ，求出，即一个周期的和，再计算所求的式子的项的个数，结合一个周期的和，得到答案.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则 ，
所以，则 ，得，
即，所以是周期函数，且周期 ，
由时，，则 ，
， ，
则，
则
故选：D
【点睛】本题主要考查函数的奇函数、周期性和对称性的应用，属于中档题.
5．C
【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，即的值域为[1,2]，
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，
当时，在上为增函数，所以，所以，
所以，解得，
当时，在上为减函数，所以，所以
所以，解得，
综上实数a的取值范围是，
故选：C
【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.
6．B
【分析】根据奇函数性质，令，即可判断A的正误；根据函数的对称性，可判断B的正误；根据奇函数及对称性，整理可判错C的正误；根据函数周期性，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，
所以，又，
令代入可得，故A正确；
对于B：因为，
所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C：因为为奇函数，
所以，
所以，则，故C正确；
对于D：由C选项可得，的周期为8，
所以，故D正确；
故选：B
7．C
【分析】由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，且，
可得，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
又由当时，，
则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．C
【分析】根据定义，先计算出在上的最大值为4时x的值，然后根据图像分析求得当时和时t的不同取值，即可得答案.
【详解】
因为在上的最大值为4，
所以，解得或，
所以要使函数的最大值为4，根据定义可知，
当时，即当时，，解得，
当时，即当时，，解得，
故选：C
【点睛】本题考查新定义的理解与应用，解题的关键是做出图像，再求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
9．ABD
【解析】已知函数和，对于选项A和D，通过幂函数过第一象限且是减函数对一次函数的图像与其是否相符进行判断，对于选项B，通过幂函数是增函数确定的正负性，进而对其进行判断，对于选项C，根据幂函数是偶函数且过一、二象限对其进行判断，进而得出最终答案.
【详解】对于选项A和D，由于幂函数的图像过第一象限，且是减函数，，与一次函数是增函数和一次函数在y轴上的截距为负矛盾，故错误；
对于选项B，由于幂函数的图像过第一、三象限，且是增函数，，与一次函数的图像不相符，故错误；
对于选项C，由于幂函数图像过第二象限，且是偶函数，，与-次函数的图像相符，故正确.
故选：.
【点睛】这是一道考查函数图像的题目，解题的突破口是对幂函数图像的性质进行应用，考查学生对幂函数的理解，是中档题.
10．ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，故D正确.
故选： ABD
11．ACD
【分析】根据的意义，画出的图象，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据符号的意义，讨论当自变量取不同范围时函数的解析式：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
画函数的图象如图所示：
：根据定义可知，，，
即，所以正确；
：从图象可知，函数最高点处取不到，所以错误；
：函数图象最低点处函数值为，所以正确；
：从图象可知与的图象有无数个交点，即有无数个根，
所以正确．
故选：.
12．ABD
【解析】由，可得推得，得到A是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B是正确的；由，可得推得函数是偶函数，得到D正确，C不正确.
【详解】对于A中，函数满足，可得，所以A是正确的；
对于B中，是奇函数，则的图象关于原点对称，
又由函数的图象是由向左平移1个单位长度得到，
故函数的图象关于点对称，所以B是正确的；
对于C、D，由B可得：对于任意的，都有，
即，可变形得，
则由对于任意的都成立，
令，则，即函数是偶函数，所以D正确，C不正确.
故选：ABD
【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：
1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.
13．
【解析】根据函数是定义域为R的偶函数，可得到是关于直线对称，画出简图，从而得到代数关系，进而求解.
【详解】解：∵函数是定义域为R的偶函数，
关于y轴对称，
向左平移1个单位得到，
关于直线对称，
在上单调递减，且，
在上单调递增，
，
即，
整理得：，
即，
解得：，
则不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，同时还考查了函数图象的对称性与函数图象的平移知识，绝对值不等式的解法等，考查了数形结合的思想.
14．
【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，
等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.
,,
的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.
,点A是直线与函数()的交点，
是、在轴右侧的交点.
由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.
直线必须且只需在点之间，
由，解得,
由解得,
∴实数的取值范围，
故答案为：.
15．
【详解】试题分析：由f（﹣x）=f（x），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，即可得到结论．
解：∵f（﹣x）=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，
∵f（0）=1＞0，
根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，
即，∴，
解得a＞2，
即实数a的取值范围（2，+∞），
故答案为（2，+∞）
考点：函数奇偶性的性质．
16．
【分析】构造新函数，求得函数为上的偶函数，得出，在由任意的都有恒成立，得到函数在为单调递增函数，结合函数的取值，即可求解.
【详解】由题意，设函数，
因为函数满足，即，
则，所以函数为上的偶函数，
又由，则，
因为对任意的都有恒成立，
则函数在为单调递增函数，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数，结合函数的奇偶性和单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
17．（1）奇函数； （2）见解析.
【分析】(1)取，求得，再取，得到，即可得到结论；
(2) 利用函数的单调性的定义，即可判定函数为单调递减函数.
【详解】(1)由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
取，因为，则，解得，
取，则，
可得对任意恒成立，
所以为奇函数．
(2) 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，
所以，即，
因为函数为奇函数，所以，
所以函数为的单调递减函数.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，以及合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）根据函数单调性可知最值在区间端点处取得，由此可构造方程求得；
（2）由（1）可得函数解析式，从而求得，整理可得结论；
（3）采用倒序相加的方式，根据（2）中结论即可求得结果.
【详解】（1）为单调增函数 ，解得：
（2）由（1）知：
（3）令
则
两式相加，由（2）可得：
即
【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用函数单调性求解参数值、函数解析式的性质、函数值的求解等知识；关键是能够通过函数的单调性确定最值点的位置，进而构造方程得到函数解析式.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析
【分析】
（1）取，代入已知等式即可证得结果；
（2）由，结合（1）中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；
（3）在已知等式中取特值求出，由（2）可知函数f（x）在定义域上是减函数，在不等式中，用替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求.
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
又，所以，
∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴，；
（3）解：代入得，即，
∴可得，
由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，
当时，，
所以恒成立；
故只需满足即成立即可；
即.当时，；当时，；
当时，；
综上可得：当时，；当时，；当时，
【点睛】
本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.
20．(1) ；(2) ；(3)
【分析】(1)根据奇函数满足求解即可.
(2)由(1)中的解析式分段对不等式求解即可.
(3)根据奇偶性与单调性求解不等式即可.
【详解】(1)因为奇函数定义域为R,故当时,.当时,因为,
故
故
(2)当时,有.
因为故.
当时满足.
当时,有.
因为故.
综上所述,
(3)因为奇函数故有
又因为在的区间上,均为增函数,且当时,故在上单调递增.
故 ,即
【点睛】本题主要考查了奇函数的应用以及分段函数的单调性与奇偶性求解不等式的问题,需要分段分情况进行讨论,同时注意定义域等.属于中等题型.
21．（1）2；（2）；（3）.
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求得答案.
（2）由（1）可得解析式，代入所求，即可得解析式，令，可得，根据x的范围，可得t的范围，利用二次函数的性质，分别讨论和两种情况，结合题意，即可求得答案.
（3）根据，原不等式可化为，令，可得t的范围，根据对勾函数的性质，即可求得的最小值，即可得答案.
【详解】解：（1）是偶函数，恒成立，
即恒成立，即，
（2）由（1）知，
，
令，为增函数，，则，
，，
为对称轴为直线，开口向上的抛物线，
①当时，在递增，所以，
，（不合题意），
②当时，，
，解得或（舍去）
的最小值为-4时，的值为.
（3）不等式，即
，当且仅当x=1时等号成立.
，
令，，则，，
又在上递增，，
故实数m的取值范围为
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、二次函数性质、对勾函数性质等知识，并灵活应用，利用对勾函数求解函数最值时，要注意自变量范围，结合单调性求解，综合性较强，属中档题.
22．（1）f(2)＝1；.
（2）见解析.
（3）当x＝1时，f(x)有最小值；当x＝17时，f(x)有最大值.
【分析】令，即可求得，运用换元法，令，则，代入即可求得函数的解析式
利用函数的单调性定义证明即可
利用的结论，即可求得最值
【详解】(1)令x＝1，则f(2)＝f(1＋1)＝1.
令t＝x＋1，则x＝t－1，
所以f(t)＝，即f(x)＝.
(2)证明：任取1≤x1≤x2≤17，
因为f(x1)－f(x2)＝－
＝.
又1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[1，17]上为增函数．
(3)由(2)可知函数f(x)在[1，17]上为增函数，
所以当x＝1时，f(x)有最小值；
当x＝17时，f(x)有最大值.
【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求法和函数的性质及运算，考查了运算能力，属于基础题，在运用定义法证明单调性时分五个步骤：一设，二作差，三化简，四定号，五结论．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页