高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第六章A卷（答案含解析）

一、单选题
1．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为　　
A．2， B．4，3 C．4， D．2，1
2．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A．甲比乙的极差大
B．乙的中位数是18
C．甲的平均数比乙的大
D．乙的众数是21
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
4．已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．小李于年底贷款购置了一套房子，将通过年期每月向银行还数额相同的房贷，且截止年底，他没有再购买第二套房子．下图是年和年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小李一家年用于饮食的支出费用与年相同
B．小李一家年用于其他方面的支出费用是年的倍
C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍
D．小李一家年用于房贷的支出费用比年减少了
6．“一世”又叫“一代”.东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”.而当代中国学者测算“一代”平均为25年.另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的的家族企业只能传到第二代，约占总量的的家族企业只能传到第三代，约占总量的家族企业可以传到第四代甚至更久远（为了研究方便，超过四代的可忽略不计）.根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为（ ）
A．23年 B．22年 C．21年 D．20年
7．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
8．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
二、填空题
9．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
10．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.
11．南方某村的桔农携手电商，脱贫致富，建起房子，过上了有声有色的生活.某电商户对一个月内每天的下单单次（单位：百单）进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数是__________．
12．对某商店一个月（天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的众数是______.
三、解答题
13．来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿国道返乡过年，某市在该国道沿线设立了多个休息站．交警小李在某休息站连续天对进站休息的驾驶人员每隔辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示：
（1）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有名，则四川籍的应抽取几名？
14．对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：
分值
场数 10 20 40 30
（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.
（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.（结论不要求证明）
（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.
15．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过小时的名大学生，将人使用手机的时间分成组：，，，，分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：
使用时间/时
大学生/人
（1）完成频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图估计大学生使用手机的平均时间.
16．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．
（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 28 29 30 31 32 33
频数 3 4 6 6 7 4
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．
17．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
的分组
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：.
18．某电视台为了了解某社区居民对某娱乐节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该娱乐节目时间的频率分布直方图：
（1）求实数的值；
（2）根据统计结果，试估计观众观看该娱乐节目时间的中位数（结果保留一位小数）；
（3）从观看时间在，的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的观看时间都在中的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据平均数、方差的公式计算可得；
【详解】解：，，，的平均数是2，则．
数据，，，，的平均数是：，
所以，
．
故选：B．
2．B
【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；
【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；
对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；
对于C，甲的平均数为，
乙的平均数为，故C正确；
对于D，乙组数据中出现次数最多的为21，故D正确；
故选：B
【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.
3．C
【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4．A
【分析】利用平均数的定义求出与与的关系式，和题干中的对比，可得：，，结合，最终求出结果
【详解】由题意可得，，
，所以，.又，则
所以，故.
故选：A
5．B
【分析】根据条件可知年和年用于房贷的支出费用相同，由此根据的比例分配图可计算出年和年家庭收入情况，然后即可分析各选项是否正确.
【详解】由于小李每月向银行还数额相同的房贷，故可知年用于房贷方面的支出费用跟年相同，故D选项错误；
设一年房贷支出费用为，则可知小李的家庭收入为年小李的家庭收入为所以小李一家年的家庭收入比年增加了故C选项错误；
年，年用于饮食的支出费用分别为故A选项错误；
年，年用于其他方面的支出费用分别为故B选项正确；
故选：B
6．B
【分析】设“一代”为x年，根据约占总量的的家族企业只能传到第二代，约占总量的的家族企业只能传到第三代，约占总量的家族企业可以传到第四代，列出频率分布表，然后根据平均寿命其实只有26年，利用平均数的求法求解.
【详解】设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：
家族企业寿命 频率
又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，
所以家族企业的平均寿命为：，
解得，
故选：B
【点睛】本题主要考查频率分布表的应用以及平均数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
9．0．98.
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
10．2
【分析】根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】∵数据的平均数为4
∴，即.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
11．46
【分析】该样本共有30个数据，找出中间两个求平均值即可得出中位数的大小.
【详解】第15个数为45，第16个数为47，所以中位数为46.
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，属于容易题.
12．45
【解析】直接利用茎叶图，求出该样本的众数即可.
【详解】由题意可知茎叶图共有30个数值，出现次数最多的数是45，
故众数是45，
故答案为：45.
【点睛】本题考查该样本的众数的概念，茎叶图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题.
13．（1）系统抽样方法；（2）2名.
【分析】（1）直接判断可知，交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法；
（2）被询问了省籍的驾驶人员，广西籍的与四川籍的人数，求出比例，利用所抽概率相等求出结果.
【详解】(1)根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．
(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有 (人)
四川籍的有 (人)，
设四川籍的驾驶人员应抽取 名，依题意得，解得，
即四川籍的应抽取2名
【点睛】此题考的是折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，考查了抽样方法的选择，属于基础题.
14．（1）0.72；（2）甲更稳定；（3）.
【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算，即可得出结果；
（2）根据频率分布直方图与统计表，分析成绩的集中程度，即可得出结论；
（3）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平分值.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为；
即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为；
（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在，由乙的得分统计表可得，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定；
（3）因为组距为10，
所以甲在区间上得分频率值分别为，，，.
设甲的平均得分为，
则.
【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求概率，以及求平均值等问题，属于基础题型.
15．(1)见解析.(2) .
【分析】(1)根据题意得到频率分布直方表，进而画出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图的平均数计算的公式得到结果.
【详解】（1）根据题意，可将数据做如下整理：
使用时间/时
大学生/人 12
频率 0.1
频率/组距
（2）平均时间的估计值为（时）.
大学生使用手机的平均时间约为小时.
【点睛】这个题目考查了条形分布直方图的应用，平均数的计算；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.
16．(1) ,.
(2)平均数为59,方差为3.8.
【分析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；
（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可
【详解】（1）由题,当时,；
当时,,
所以,
（2）由题,则
利润 54 57 60 60 60 60
频数 3 4 6 6 7 4
所以平均数为；
方差为
【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想
17．(1) 增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为；（2）平均数；标准差.
【分析】(1)本题首先可以通过题意确定个企业中增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；
(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果．
【详解】(1)由题意可知，随机调查的个企业中增长率超过的企业有个，
产值负增长的企业有个，
所以增长率超过的企业比例为，产值负增长的企业比例为．
(2)由题意可知，平均值，
标准差的平方：
，
所以标准差．
【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题．
18．（1）0.03（2）41.7（3）
【分析】（1）根据每个条形图高的和等于，即可求得.
（2）设中位数为，，解方程即可；
（3）运用分层抽样求出各组的人数，进而求得概率.
【详解】解：（1）根据频率分布直方图可得.
（2）设中位数为，，则，解得.
（3）由题知，抽取的6人中观看时间在的有2人，记为，，在中的有4人，记为1，2，3，4，则从中随机抽取2人有，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34共15种，其中都在中的有12，13，14，23，24，34共6种，故所求概率.
【点睛】本题考查了分层抽样、频率分布直方图中平均数、中位数的求法，属基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页