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3.2.1双曲线及其标准方程
第2课时 双曲线及其标准方程的应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 共焦点双曲线的设法
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ知识点一 利用双曲线解决实际问题
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
答案：C
解析：设点C(1,4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1，
由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A′为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1≥|A′C|＋5＝5＋5＝10.
2.已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4
答案：C
解析：设F1是双曲线的左焦点，
根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|－|PF|＝2a，所以|PF|＝|PF1|－2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4，结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝＝5，当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P′处取得最小值，所以|PA|＋|PF1|－4≥5－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5－4.
3.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
答案：C
解析：如图所示，
设双曲线的右焦点为F2，连接P2F2，因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，根据双曲线的对称性，可得|P1F1|＝|P2F2|，所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线
答案：B
解析：由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
5.与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：方法一 由题意得椭圆的焦点为(0,3)，(0,－3)，所以双曲线的焦点为(0,3)，(0,－3)，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以解得所以双曲线的方程为－＝1.
方法二 设双曲线的方程为＋＝1(－25<λ<－16)，又因为双曲线过点(－2，)，可得＋＝1，解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20.所以双曲线的方程为－＝1.
6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，可得|AF1|－|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，因为∠F1AF2＝90°，所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，即(2c)2＝20，即c2＝5，又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1.
7.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则C的方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：∵F1(－5,0)，F2(5,0)，∴c＝5，|F1F2|＝10，∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，∴cos∠PF1F2＝＝，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线的方程为x2－＝1.
8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：B
解析：由已知条件，得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5①.∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得－＝1②.由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
9.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是双曲线上的一点，且1·2＝0，|1|·|2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：∵·＝0，∴⊥，即MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40.则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36.∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.∵c＝，∴b2＝c2－a2＝1.则该双曲线的方程是－y2＝1.
10.已知点P在曲线C1：－＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：C
解析：双曲线－＝1的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，且|PF1|－|PF2|＝8，而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心，且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1，所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10.
二、填空题
11.已知双曲线中，c＝，且经过点(－5,2)，焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程__________．
答案：－y2＝1
解析：方法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
方法二 ∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
12.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
答案：－y2＝1
解析：由 (|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故双曲线的方程为－y2＝1.
13.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
答案：
解析：由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2＝4.∴cos ∠F1PF2＝＝＝.
14.如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km.
答案：x2－＝1(x>0) 2－2
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－＝1(x>0)．根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2.当A，M，C共线时等号成立．
15.已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
答案：8
解析：如图所示，设圆心为C，双曲线右焦点为A′(3,0)，且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4，
所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号．
三、解答题
16.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(－，4))．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
17.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)如图所示，设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，
∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
18.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为所以tan θ＝.
又即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝≥＝2，
当且仅当c＝4时，取等号，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为－＝1.
19.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解：(1)椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意得解得a2＝3，b2＝2.
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得cos∠MF2F1＝＝＝－<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．
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3.2.1双曲线及其标准方程
第2课时 双曲线及其标准方程的应用
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 共焦点双曲线的设法
与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ知识点一 利用双曲线解决实际问题
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知A(－4,0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．9 B．2＋6 C．10 D．12
2.已知定点A(3,1)，F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A. B．5＋4 C．5－4 D.＋4
3.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
4.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是( )
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线
5.与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1
7.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则C的方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1
8.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
9.已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是双曲线上的一点，且1·2＝0，|1|·|2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
10.已知点P在曲线C1：－＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11.已知双曲线中，c＝，且经过点(－5,2)，焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程__________．
12.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
13.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.
14.如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是______km.
15.已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
三、解答题
16.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
17.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
18.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
19.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
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