3.1.1 椭圆及其标准方程
对点1------椭圆的定义
1.(多选)设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线
2.设是椭圆上的点，到该椭圆左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为 ．
3.设椭圆的左焦点为，直线 与椭圆交于，两点，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
对点2-------椭圆标准方程
1.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
已知椭圆的中心在原点，，经过点，焦点在轴上，求椭圆的标准方程；
已知椭圆的中心在原点，过点和，求椭圆的标准方程．
3.已知椭圆的两个焦点分别是，，且．
求此椭圆的标准方程；
若点在这个椭圆上，且，求的余弦值．
对点3-----与椭圆相关的轨迹问题
1.已知圆：，动圆过点且与圆相切．求动圆圆心的轨迹的方程.
2.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
3.如图，设，两点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
对点4-----焦点三角形
1.若椭圆：的右焦点为，且与直线：交于，两点，则的周长为 ．
2.设为椭圆上的一个点，，为焦点，，则的周长和面积分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.设为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左，右焦点，，则的面积为( )
A. B. C. D.3.1.1 椭圆及其标准方程
对点1------椭圆的定义
1.(多选)设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线
【答案】BC
解析：，，，当且仅当，即时，等号成立.
当时，，此时点的轨迹是线段；
当时，，此时点的轨迹是椭圆．
故选BC．
提醒：要注意椭圆定义中的细节!
2.设是椭圆上的点，到该椭圆左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为 ．
【答案】
解析：设左右焦点分别为.
，.
=2，=8.
故答案：8
注：要能够根据椭圆方程的结构特点，进行a、b的识别.
3.设椭圆的左焦点为，直线 与椭圆交于，两点，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图，设椭圆的右焦点为 ，连接，．
，四边形是平行四边形，
， ．
故选C．
注：四边形的周长为定值4a，这个结论要记住！
4.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：a=3，=6.
=9，当且仅当，即=3时，等号成立.
的最大值为．
故选C．
注：两个正数的和为定值，求这两个整数之积的最大值，是基本不等式的重要应用.
对点2-------椭圆标准方程
1.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
解析：方程表示椭圆且
设A=，B=，则m，m，
是方程表示椭圆的必要不充分条件．
故选B．
注：表示椭圆.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
已知椭圆的中心在原点，，经过点，焦点在轴上，求椭圆的标准方程；
已知椭圆的中心在原点，过点和，求椭圆的标准方程．
解析：方法1------------从定义切入
设左右焦点坐标分别为、.
，，c=2.
==2，椭圆的标准方程为
方法2------待定系数法
设椭圆的方程为：.
解方程组，得，椭圆的标准方程为.
注：做题时要根据具体情况，选择合适的方法.
方法1------待定系数法分类讨论
当焦点在横轴上时，设椭圆的方程为：(a>b>0).
解方程组，得，椭圆的标准方程为1；
当焦点在纵轴上时，设椭圆的方程为：(a>b>0).
解方程组，得，舍去.
方法2------待定系数法不分类讨论
设椭圆的方程为.
解方程组，得，椭圆的标准方程为．
注：认真体会方法2的原理及优势！
3.已知椭圆的两个焦点分别是，，且．
求此椭圆的标准方程；
若点在这个椭圆上，且，求的余弦值．
解析：解方程组，得，椭圆的标准方程为；
注：此题求标准方程从a、b、c三者之间的关系入手.
解方程组，得.
中，2c=2，由余弦定理得：
=，的余弦值为．
注：第(2)问迁移进“余弦定理”，结合椭圆定义解题，是“小综合”.
对点3-----与椭圆相关的轨迹问题
1.已知圆：，动圆过点且与圆相切．求动圆圆心的轨迹的方程.
解析：如图，圆的圆心C坐标(－，0)，半径2.
，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆．
c=，b==1，圆心的轨迹的方程为
．
注：本体求轨迹的方法称之为“定义法”.
2.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
解析：设，，则．
为线段的中点，，得．
点在圆上，上，，即．
故点的轨迹方程为．
注：本体求轨迹的方法称之为“相关点代入法”.
如图，设，两点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．
解析：设点的坐标为.
，．
，整理，得．
点的轨迹方程为，是除去，两点的椭圆．
注：1.本体求轨迹的方法称之为“设点直接法”；
2.要注意，点的轨迹不是整个椭圆.
对点4-----焦点三角形
1.若椭圆：的右焦点为，且与直线：交于，两点，则的周长为 ．
【答案】
解：，b=2，c==2,
左焦点，直线：经过左焦点.
的周长=
.
=
.
=，
故答案为：．
注：挖掘出“已知直线过左焦点”是关键.
2.设为椭圆上的一个点，，为焦点，，则的周长和面积分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
解析：如图，，，.
设，.
，化简，得.
求周长：++=10+8=18；
求面积：变形②式：，代入①式，得，
mn=12，．
故选：．
注：此题没必要求出m、n的具体数值.
3.设为椭圆：上的点，，分别是椭圆的左，右焦点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：如图.，.
设.
，②代入③，得，，①代入④，得.
代入②，得，则.
的面积为．
故选D．
注：做这类题要有方程组的意识，且处理方程组时要灵活一些.
